二、二阶系统的单位脉冲响应)和单位阶跃响应 在不同阻尼系数下，二阶系统的单位脉冲响应和单位阶 跃响应如表3.4.1所示。 表3.4.1二阶系统的单位脉冲响应w)和单位阶跃响应 阻尼系数 单位脉冲响应() 单位阶跃响应 5=0 x()=1-cos0,1 无阻尼 w(t)=@,sin@t 0<5<1 es如a 1 欠阻尼 ()=- x(1)=1-e-i_ 5=1 w)）=ote x()=1-(1+o10e 临界阻尼 >1 x0= x(0=1 o。ee 过阻尼 2g9- 其中，o4=0nV-2，称o。为二阶系统的有阻尼固有频率： 5=-(5+V2-1)m:52=-(5-V2-1)m。 当取值不同时，二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线如图 3.42所示。由图可知，欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅 的正弦振荡曲线，且5愈小，衰减愈慢，振荡频率四愈大。故欠 阻尼系统又称为二阶振荡系统，其幅值衰诚的快慢取决于和。 （光称为时间衰减常数，记为。)：
二、二阶系统的单位脉冲响应w(t)和单位阶跃响应 在不同阻尼系数下，二阶系统的单位脉冲响应 和单位阶 跃响应如表 3.4.1 所示。 w(t) 表 3.4.1 二阶系统的单位脉冲响应 w(t) 和单位阶跃响应 阻尼系数 单位脉冲响应w(t) 单位阶跃响应 ξ = 0 无阻尼 w t t ω n ω n ( ) = sin x t t o ω n ( ) = 1− cos 0 < ξ < 1 欠阻尼 w t e t d n t n ω ξ ω ξω sin 1 ( ) 2 − − = ) 1 sin( 1 1 ( ) 1 2 2 ξ ξ ω ξ ξω − + − = − − x t e d t arctg t o n ξ = 1 临界阻尼 t n n w t te ω ω − = 2 ( ) t o n n x t t e ω ω − ( ) = 1− (1+ ) ξ > 1 过阻尼 ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 n s t s t o x t e − e − = ξ ω ( ) 2 1 ( ) 1 1 2 2 1 2 s e s e x t s t s t n o − − − − = + ξ ω 其中， 2 ω d = ω n 1−ξ ， 称 ω d 为二阶系统的有阻尼固有频率； n s (ξ ξ 1)ω 2 1 = − + − ； n s (ξ ξ 1)ω 2 2 = − − − 。 当 ξ 取值不同时，二阶欠阻尼系统的单 位脉冲响应曲线如图 3.4.2 所示。由图可知，欠阻尼系统的单位脉 冲响应曲线是减幅 的正弦振荡曲线， 且 ξ 愈小， 衰减愈慢， 振荡频率 ω d 愈大。 故 欠 阻尼系统又称为二阶振荡系统，其 幅值衰减的快慢取决于 ξω n （ ξω n 1 称为时间衰减常数，记为 σ ）
图3.4.2 912345 89101112 图3.4.3 当5取值不同时，二阶系统的单位阶跃响应如图3.4.3所示。 由图可知，二阶系统的单位阶跃响应函数的过渡过程随阻尼的 减小，其振荡特性表现得愈加强烈，当5-0时达到等幅振荡。在 5=1和>1时，二阶系统的过渡过程只具有单调上升的特性，而 不会出现振荡。在无振荡单调上升的曲线中，以5=1时的过渡过 程时间1，最短。在欠阻尼系统中，当5=0.4~0.8时，不仅其过渡过 程时间比=1更短，而且振荡也不太严重。因此，一般希望二阶 系统工作在ξ=0.4~0.8的欠阻尼状态。通过选择合适的特征参数 ⊙，5，可以使系统具有合适的过渡过程。 由于系统输入的不同，二阶系统的单位脉冲响应与单位阶跃 响应不同，但是它们随着阻尼比的不同而不同的振荡情况却是
图 3.4.2 图 3.4.3 当 ξ 取值不同时，二阶系统的单位阶跃响应如图 3.4.3 所示。 由图可知，二阶系统的单位阶跃响应 函数的过渡过程随阻尼 ξ 的 减小，其振荡特性表现得愈加强烈，当 ξ = 0 时达到等幅振荡。在 ξ = 1和 ξ > 1时，二阶系统的过渡过程只具有单 调上升的特性，而 不会出现振荡。 在无振荡单调上升的曲线中， 以 ξ = 1时的过渡过 程时间 ts 最短。在欠阻尼系统中，当 ξ = 0.4 ~ 0.8时 ，不仅其过渡过 程时间比 ξ = 1更短， 而且振荡也不太严重。 因此， 一般希望二阶 系统工作在 ξ = 0.4 ~ 0.8的欠阻尼状态。通过选择合适的特征参数 ω n ,ξ ，可以使系统具有合适的过渡过程。 由于系统输入的不同，二阶系统的单位脉冲响应与单位阶跃 响应不同，但是它们随着阻尼比的不同而不同的振荡情况却是一
致的。当系统为无阻尼系统时，均为等幅振荡；当系统为欠阻尼 系统时，均为减幅振荡：而当系统为临界阻尼或过阻尼系统时， 均不会出现振荡。 三、二阶欠阻尼系统响应的性能指标 二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应曲线如图3.4.4所示，其瞬 态性能指标包括上升时间，、峰值时间。、最大超调量M。、调整 时间1，、振荡次数N等。 1,上升时间(，：响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出 稳态值所需的时间定义为上升时间。 -arctan 1,= 当5一定时，0n增大，1，就减小；当o。一定时，5增大，1，就 增大。 r.( M/不 允许误差 0.05成002 图3.4.4 2,峰值时间t。：响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰 值时间。 6品 当5一定时，on增大，1，就减小；当0，一定时，增大，1n就 增大
致的。当系统为无阻尼系统时，均为等幅振荡；当系统为欠阻尼 系统时，均为减幅振荡；而当系统为临界阻尼或过阻尼系统时， 均不会出现振荡。 三、二阶欠阻尼系统响应的性能指标 二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应曲线如图 3.4.4 所示，其瞬 态性能指标包括上升时间 、峰值时间 、最大超调量 、调 整 时 间 、振荡次数 等 。 r t p t M p s t N 1．上升时间 ：响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出 稳态值所需的时间定义为上升时间。 r t d r t ω ξ ξ π 2 1 arctan − − = 当 ξ 一定时， ω n 增大， tr 就减小；当 ω n 一定时， ξ 增大， 就 增大。 r t 图 3.4.4 2．峰值时间 ：响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰 值时间。 p t d p t ω π = 当 ξ 一定时， ω n 增大， t p 就减小；当 ω n 一定时， ξ 增大， 就 增大。 p t