课时授课计划（教案）四川工商学院五、时域卷积若()F(s), f(1)<>F(s),则有f()*f()<F(s)F(s)六、微分定理若f(t)→F(s)，Re[s]>oo,则f(t)→sF(s)=f(0~)f, (t) → s2F(s) - sf(0) -f' (0~)f@(t) s"F(s) -Zs"--" f(m)(0_)m=0若f(t)为因果信号，则r(n)(t)→s"F(s)例：：ε(t): 8(t) s . 1 - 8(0) = 18(t) 台 sS(n)(t) s"七、时域积分特性（积分定理）若f(t）F(s)（单边拉氏变换)，Re[s]>，则(1) f(-1)(t)=[ f(t)dt E) +1 f(-1)(0_)(2) f(-1(t)=[ f(t)dt Fe)结论要求f(-1)(t)的单边拉氏变换的收敛域Re[s]>0.证:", r(dt J (t)dthe"dt = r(r)dtest= ±e"f, f(r)dtt = 0=0 -+r(0)e"dt=F+17°f(t)dtf(-1)(t)的收敛域Re[s]>0或f(t)波形净面积为零时，结论（(1）成立；积分下限为0_时，结论2）成立。例求图（a)所示信号f(t)的单边拉氏变换。(f()Af(t)e(t)+y(t)(2)0-1)(a)(b)(c)解方法一由于f(t)a(t)=s(0)-E(t-1)F(s)=(0)=()6()-e")根据单边拉氏变换的定义，得年月日第 页备课日期：
四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 五、时域卷积 1 1 2 2 1 2 1 2 若f t F s f t F s f t f t F s F s ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 则有 六、微分定理 若 f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 则 f’(t) ←→ sF(s) – f(0 - ) f’’(t) ←→ s 2 F(s) – sf(0 - ) –f’(0 - ) 若 f(t)为因果信号，则 f (n)(t) ←→ s n F(s) − − = 1 1 ' ( ) 例： ( ) ( ) (0 ) 1 ( ) ( ) s s n n t t s t s t s 七、时域积分特性（积分定理） − - 0 t t (-1) (-1) (-1) 1 F(s) s s - - 0 ( 1) F(s) s 若 f(t) F(s)(单边拉氏变换)，Re[s]> ，则 (1) f (t)= f( )d + f (0 ) (2) f (t)= f( )d 结论要求f t( )的单边拉氏变换的收敛域Re[s]>0. − − − − − − − − − − − − − − − − − − = = = − = = + 1 0 0 1 1 0 0 ( ) 1 ( 1) - 证： ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) 0 ( ) ( )的收敛域Re[s]>0或 ( )波形净面积为零时，结论（1）成立；积分下限为0 时，结论（2）成立。 t t t st st s t st st s s F s s s f d f d e dt f d de t e f d f t e dt t f t dt f t f t 例 求图 (a)所示信号 f(t)的单边拉氏变换。 解 方法一 由于 f t t t t ( ) ( ) ( ) ( 1) = − − 根据单边拉氏变换的定义， 得 (1 ) ( ) [ ( )] [ ( ) ( )] s e F s L f t L f t t s − − = = 1 (n) n 1 ( ) 0 f (t) s F(s) (0 ) n n m m m s f − − − − = —
课时授课计划（教案）四川工商学院方法二f(0)=-1，f(t)的一阶导数为t=28()-8(t-1)f(1) (t)的单边拉氏变换为 F(s)=LI"()]=2-e" Re [s] >-1-e-得 F(s)=L(0)=()二+2-stass八、S域微分dF(s)d"F(s)若 f(t) +→ F(S),Re[5]>00. 则 (-1)(0)-(-1)"f(0)←dsdsa例1：求t2e-2ts(t）的象函数-e-2tg(t) +→ 1/(s+2)所以 t2e-2tg(t) +解：ds(s+2($+2)九、S域积分f(t)J"F(n)dn若 f(t) → F(s), Re[S>00 则 十、初值定理若信号f(t)不包含冲激函数S(t)及其各阶导数，并且f(t)F(s)，则信号f(t)的初值为(0*)=limf()=limsF(s)十一、终值定理若f(t)在t-8o时极限f()存在，并且f(t)→F(s)Re[s] >00: -8<00<0则f(t)的终值为(0)=lim()=limsF(s)例: f(t)=e- cost·ε(t),求f(O+)和f(c0)s解：cost(t)5? +1$+1.. F(s) = L[f(t))=(s + 1)? +1s(s + 1)f(0+)= lim sF(s) = lim -s-→ (s +1)2 +10s(s + 1)f(0) = lim sF(s) = lim=0s→0 (s +1)2 +13>04.3拉普拉斯反变换直接利用定义式求反变换一复变函数积分，比较困难。通常的方法（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开年月日第页备课日期：
四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 方法二 f(0- )=-1，f(t)的一阶导数为 (1) f t t t = − − 2 ( ) ( 1) f (1)(t)的单边拉氏变换为 (1) 1 ( ) [ ( )] 2 s F s L f t e− = = − Re［s］＞-∞ 得 1 (0 ) 1 2 1 ( ) ( ) [ ( )] s s f e e F s F s L f t s s s s s − − − − − − = = + = + = 八、S 域微分 若 f(t) ←→ F(s) , Re[s]> 0 , 则 d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d n n n F s F s t f t t f t s s − → − → 例 1：求 t 2 e -2t (t) 的象函数 解： e -2t (t) ←→ 1/(s+2) 所以 t 2 e -2t (t) ←→ 2 2 3 d 1 2 ( ) d ( 2) s s s 2 = + + 九、S 域积分 若 f(t) ←→ F(s) , Re[s]> 0 , 则 ( ) ( ) s f t F d t → 十、初值定理 若信号 f(t)不包含冲激函数δ(t)及其各阶导数， 并且 f t F s ( ) ( ) ，则信号 f(t) 的初值为 0 (0 ) lim ( ) lim ( ) t s f f t sF s + + → → = = 十一、终值定理 若 f(t)在 t→∞时极限 f(∞)存在，并且 f(t) ←→ F(s) Re［s］＞σ0 ; -∞＜σ0 ＜0 则 f(t)的终值为 ( ) lim ( ) lim ( ) t s f f t sF s → → = = 2 2 2 2 0 0 ( ) cos ( ), (0 ) ( ) cos ( ) 1 1 ( ) [ ( )] ( 1) 1 ( 1) (0 ) lim ( ) lim 1 ( 1) 1 ( 1) ( ) lim ( ) lim 0 ( 1) 1 t s s s s f t e t t f f s t t s s F s L f t s s s f sF s s s s f sF s s − + + → → → → = + + = = + + + = = = + + + = = = + + 例： 求 和 解： 4.3 拉普拉斯反变换 直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。通常的方法 （1）查表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开
课时授课计划（教案）四川工商学院若象函数F(s)是s的有理分式,可写为 F(a)-+b++hs+若m≥n（假s"+a.-,s"-l+..+a,s+a.分式），可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。D(s)$+8s*+25s*+31s+152s2 +3s +3F(s)= N(s)+A(s)例如F(s)== (s +2) +s+6s+11s+6s+6s+1ls+6下面主要讨论有理真分式的情形。A(s)=0 的所有根为单实根F(s)= B=+,K,K.]=e* (t)K, = (s-s,)F(s)-L'=+++A(s) S-SS-SS-s,S-S.例：已知F(s)=10($+2)s+5)求其逆变换s(s +1)(s + 3)解：部分分解法F(0)=≤+益+与$+1$+310(s+2)(s+5)_100其中k, =sF(s)l3(s + 1)(s+ 3) o10(s+ 2)(s + 5)k, =(s+1)F(s)/=20s(s + 3)10(s + 2)(s + 5)10k, = (s+3)F(s)l2s(s + 1)2010100.. F(s) =3ss+1 3(s+3)(10020e_ 10-. f(t)=e(0)34例：已知F(s)=+5°*+9s+7求其逆变换(s+1)(s+2)解：长除法F(s)s+2 s? +3s+2)s* +55?+9s+75 +352 +2s2s°+7s+725 +6s+45+3: F(s)=$+2+<+k$+1$+2S+3其中k,=(s+1).= 2(s + 1)(s + 2): F(s)=$+2+2.1$+1$+2: f(t)=8 (t)+28(0)+(2e-e-2)s(t)二、A(s)=0 具有共轭复根年月日第备课日期：页
四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 若象函数 F(s)是 s 的有理分式，可写为 1 1 1 0 1 1 1 0 . ( ) . m m m m n n n b s b s b s b F s s a s a s a − − − − + + + + = + + + + 若 m≥n （假 分式）,可用多项式除法将象函数 F(s)分解为有理多项式 P(s)与有理真分式之和。 ( ) ( ) ( ) ( ) D s F s N s A s = + 例如 4 3 2 2 3 2 3 2 8 25 31 15 2 3 3 ( ) ( 2) 6 11 6 6 11 6 s s s s s s F s s s s s s s s + + + + + + = = + + + + + + + + 下面主要讨论有理真分式的情形。 一、 A(s)=0 的所有根为单实根 1 2 1 1 2 ( ) 1 ( ) . . ( ) ( ) [ ] e ( ) ( ) i i i n s t i i s s i n i B s K K K K F s K s s F s L t A s s s s s s s s s s s − = = + + + + + = − = = − − − − − 例： 10( 2)( 5) ( ) , ( 1)( 3) s s F s s s s + + = + + 已知 求其逆变换 1 2 3 1 0 0 2 1 1 3 3 3 ( ) 1 3 10( 2)( 5) 100 ( ) ( 1)( 3) 3 10( 2)( 5) ( 1) ( ) 20 ( 3) 10( 2)( 5) 10 ( 3) ( ) ( 1) 3 100 20 10 ( ) 3 1 3( 3) 100 ( ) 20e 3 s s s s s s k k k F s s s s s s k sF s s s s s k s F s s s s s k s F s s s F s s s s f t = = = − = − = − = − − = + + + + + + = = = + + + + = + = = − + + + = + = = − + = − − + + = − 解：部分分解法 其中 10 3 e ( ) 3 t t t − − 例： 3 2 5 9 7 ( ) , ( 1)( 2) s s s F s s s + + + = + + 已知 求其逆变换 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 3 2 5 9 7 3 2 2 7 7 2 3 ( ) 2 1 2 3 3 ( 1) 2 1 ( 1)( 2) 1 2 1 ( ) 2 1 2 ( ) '( ) 2 ( ) (2e e ) ( ) s s t t F s s s s s s s s s s s s s s s k k F s s s s s s k s k s s s F s s s s f t t t t = − = − − − + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + = + = = = − + + + = + + − + + = + + − 解：长除法 ６ ４ 其中 二、 A(s)=0 具有共轭复根
课时授课计划（教案）四川工商学院F(s)包含共轭复根时(S1.2=-α±jp)N(s)N(s)F(s) =[(s+α)’ +β](s+α-jβ)(s+α-jβ)K,K,s+α-jps+a+jK, =[(s +α- jβ)F(s)].-a+)β =K, /eJ ° = A+jBK, = Ki--1Klea+K,le-1oK,K,F(s)=s+α-is+α+iβs+α-iBs+α+iB则f(t)=2|K,le-αtcos(βt+0)(t)若写为K1,2=A±jB，fi(t)=2e-αt[Acos(βt)-Bsin(βt)］c(t)s2 +3求其逆变换例：已知F(s)=(s2 +2s+ 5)(s+2)52 +3kkzL.ko解：F(s)=(s +1+ j2)(s +1- j2)(s + 2))s+1j2s+1+ j2s+2Pi,2 =-α±jβ, (α=1,β= 2)s2 +3-1 + j2即ki,2=A±jB,(A=-其中k,=B=55(s+1+ j2)(s +2)+/25 +35(s +1+ j2)(s +1- j2)l1+i215+/71.:. F(s)=s+1+ j2s+1-j25(s+2)2B="α=lβ=2A5427Le-21cOs(2t)-sin(2t)|+: f()=c(0)12e51515三、A(s)=0 含有重根若A(s）=0在s=p处有r重根KiekirF(s)=(s-py(s-py-k, =(s-p,)F(s) s=Pki,r-I=[(s- p,)F(s)-Pk,= [(s-p)F(s)=,i=r,r-1,,1或者年月日第 备课日期：页
四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 F(s)包含共轭复根时(S 1,2 = –±j) 2 2 1 2 j 1 1 2 1 j ( ) ( ) ( ) [( ) ] ( j )( j ) j j [( j ) ( )] | | e j s N s N s F s s s s K K s s K s F s K A B K K =− + = = + + + − + − = + + − + + = + − = = + = j j 1 2 1 1 1 | | e | | e ( ) j j j j K K K K F s s s s s − = + = + + − + + + − + + 则 f(t)=2|K1 |e-t cos(t+)(t) 若写为 K 1,2 = A ± jB，f 1 (t)= 2e- t[Acos(t)–Bsin(t)] (t) 例： 2 2 3 ( ) , ( 2 5)( 2) s F s s s s + = + + + 已知 求其逆变换 2 1 2 0 1,2 2 1 1 2 2 2 3 ( ) ( 1 2)( 1 2)( 2) 1 2 1 2 2 , ( 1, 2) 3 1 2 1 2 , ( , ) ( 1 2)( 2) 5 5 5 3 7 ( 1 2)( 1 2) 5 1 2 5 5 ( ) 1 2 s j s s k k k F s s j s j s s j s j s p j s j k A jB A B s j s s k s j s j j F s s j =− + = − + = = + + + + + − + + − + + + = − = = + − + = = = = − = + + + + = = + + + − − + − = + + + 1,2 ０ 解： 其中 即k 2 1 2 5 5 7 1 2 5( 2) 1 2 1, 2 , 5 5 1 2 7 ( ) 2e cos(2 ) sin(2 ) e ( ) 5 5 5 t t j s j s A B f t t t t − − − + + − + = = = − = = − − + 三、 A(s)=0 含有重根 若 A(s) = 0 在 s = p1 处有 r 重根 1 11 1, 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ( )! ( ) ( ) ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] , , 1, ,1 r r r r r i r i K k k s p s p s p r r d r s p s p ds d r i s p r i ds F s k s p F s s p F s k s p F s i r r − − − − − − − = = − = = + + + = − = − = − = − 1,r-1 k 或者