四川工商学院：《信号与系统》课程授课计划（教案）第6章 离散信号与系统的z域分析

课时授课计划（教案）四川工商学院授课班次与时间：班次时间课题名称：第6章离散信号与系统的z域分析教学重点、难点和教学方法设计：·本章重难点z反变换的求解z域系统函数的求解z域系统函数的应用，离散系统稳定性的判定教学方法本章采用讲授为主，自学为辅的教学方法。对重点内容和难点内容，课堂概念+例题分析+课后作业。本章共用2学时。说明：、教案还应包含教具、幻灯、电化教学使用手段的说明：新课内容小结；作业布置：后记二、课时授课计划（教案）以一次课（2学时）为单元编写，每一单元有一首页三、教学内容，小结，作业布置，后记等书写在竖直线左边，其它内容书写右边四、青年教师需提供板书设计（最后）年月日第页备课日期：

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 授课班次与时间： 班 次 时 间 课题名称： 第 6 章 离散信号与系统的 z 域分析 教学重点、难点和教学方法设计： ⚫ 本章重难点 z 反变换的求解 z 域系统函数的求解 z 域系统函数的应用， 离散系统稳定性的判定 教学方法 本章采用讲授为主，自学为辅的教学方法。对重点内容和难点 内容，课堂概念+例题分析+课后作业。本章共用 2 学时。 说明： 一、教案还应包含教具、幻灯、电化教学使用手段的说明；新课内容小结；作业布置；后 记 二、课时授课计划（教案）以一次课（2 学时）为单元编写，每一单元有一首页 三、教学内容，小结，作业布置，后记等书写在竖直线左边，其它内容书写右边 四、青年教师需提供板书设计（最后）

课时授课计划（教案）四川工商学院教学主要内容：7.1z变换一、z变换的定义由拉氏变换到z变换对连续信号f（t）进行理想抽样，得到抽样信号x(t)= x(t)0, (0)=x(0) 8(t-nT)= )Z(kT)S(t-nT)取双边拉氏变换得 F(s)=L[x(0)=≥x(nT)e"r≥x(nT)=”称x(2z)为序列x(n)的双边z变换，若(s=→lnz)得X(a)=>令z=eTIX(=)=x(nT)"称X(z)为序列x(n)的单边z变换。n=0fX(=)"-d==z[X(=)]称为X(z)的双边z逆变换。x(n)由复变函数理论可得2元/注：单边z交换是双边z变换的特例。二、z变换的收敛域x(n)z80绝对可和条件1.存在条件（充要条件）：2.收敛域：X(z)是z-1的无穷级数。使级数收敛的z的取值范围称为X(z)的收敛域。三、常用序列的z变换>01. (n)12. (n)台三>13.a"s(n))=| > [a]I=|>0.5例：(0.5)"ε(n)2-0.5(-0.5)"ε(n)[|>(-0.52+0.57.2z变换的主要性质与定理一、线性 者岛多a<=<2度则 (k)+α(k)F(3)+(I)二、移位特性1.双边移位（双边序列一移位一双边变换）若 (k)F(=) α<<β则 f(k±m)α<=<β"F(=)2.单边移位（双边序列一移位一单边变换）年月日第 备课日期：页

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 教学主要内容： 7.1 z 变换 一、z 变换的定义 由拉氏变换到 z 变换 对连续信号 f ( t )进行理想抽样，得到抽样信号 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T n n x t x t t x t t nT f kT t nT      =− =− = = − = −   取双边拉氏变换得 ( ) [ ( )] ( ) snT n F s L x t x nT e  − =− = =  1 ( ln ) sT T 令z e s z = = 得 ( ) ( ) n n X z x nT z  − =− =  称 X(z)为序列 x (n)的双边 z 变换，若 0 ( ) ( ) n n X z x nT z  − = =  称 X(z)为序列 x (n)的单边 z 变换。 由复变函数理论可得   1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 n C x n X z z dz Z X z  j − − = =  称为 X(z)的双边 z 逆变换。 注：单边 z 交换是双边 z 变换的特例。 二、z 变换的收敛域 1．存在条件（充要条件）： ( ) n n x n z  − =−    绝对可和条件 2．收敛域：X (z)是 z -1 的无穷级数。使级数收敛的 z 的取值范围 称为 X (z)的收敛域。 三、常用序列的 z 变换 1．  ( ) 1 0 n z   2． ( ) 1 1 z n z z    − 3． ( ) n z a n z a z a    − 0.5 ( ) 0.5 0.5 0.5 ( ) 0.5 0.5 n n z n z z z n z z     − −   − + 例：（ ） （ ） 7.2 z 变换的主要性质与定理 一、线性 若 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) f k F z z f k F z z           则 1 1 2 2 1 1 2 2     f k f k F z F z ( ) ( ) ( ) ( ) +  + 二、移位特性 1.双边移位（双边序列—移位—双边变换） 若 f k F z z ( ) ( )      则 ( ) ( ) m f k m z F z z        2.单边移位（双边序列—移位—单边变换）

课时授课计划（教案）四川工商学院2若 (k)F() 则 (k-m)2"F(=)+(k-m)="k(1)k-0F(k+m)2"F(=)-Zf(k)="-k(2)例：已知双边序列f(h)=ak，求f(k)=f(k-3),f(k)=f(k+3)的单边=变换。解： de(0)AF()= a(k-3) α F(c)=2* F(=)+ f(-3)+ f(-2)=* + f(-1)=-2-+(a+a+a:)-a实际上(k)==()=F(=)=三三、单边周期性F()且 Z[6()-F()则 J(k)=Z(k-mN)分-Jf(k) 0≤k<N若(k)=to其余四、尺度变换α<<β则d(k)F()a若 F(k)F(=)五、卷和定理[(k)F(=)<β若(良则()*()F()F()六、z域微分α<<β则(k)(-)F k"(k)4若 (k)αF(=)七、2域积分rFd若 (k)F(=)k+r八、k域反转α<<β则(-k)F(=")若(k)台F(=)-1-1例: αte(k)a*e(-k)αa--le(-k-1))al-ab'e(--1)a*e(-k-1) )-F-=2-a-l-a九、部分和若(k)F(=)α<日<β则 g(k)=-F() max(α,1) <-|<β若 f(k)s(k)台F(=)α<<β则 g(k)-()-F(=) max(α,1)<<β年月日第备课日期：页

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 若 f k F z ( ) ( )  则 1 0 ( ) ( ) ( ) (1) m m k k f k m z F z f k m z − − − = −  + −  1 0 ( ) ( ) ( ) (2) m m m k k f k m z F z f k z − − = +  − 例：已知双边序列 f (k)=a k，求 1 2 f k f k f k f k z ( ) ( 3), ( ) ( 3) = − = + 的单边 变换。 解： ( ) ( ) k z a t F z z a   = − ( 3) 3 1 2 1 3 3 3 2 1 1 2 ( ) ( ) ( 3) ( 2) ( 1) ( ) k a F z z F z f f z f z z a z z a a z a z z a z a − − − − − − − − − − −   = + − + − + − = + + + = − − 实际上 3 3 3 3 1 1 ( ) ( ) ( ) k k z f k a a a F z a F z a z a − − − − = =  = = − 单边 三、单边周期性 若   1 1 1 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 b f k k N f k Z f k F z    = =   且 其余 则 1 1 0 ( ) ( ) ( ) 1 N N m F z f k f k mN z  − = = −  −  四、尺度变换 若 f k F z z ( ) ( )      则 ( ) 0 k z a f k F a a z a a             五、卷和定理 若 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) f k F z a z f k F z a z            则 1 2 1 2 f k f k F z F z ( ) ( ) ( ) ( )   六、z 域微分 若 f k F z z ( ) ( )      则 ( ) ( ) ( ) dF z kf k z dz  − ( ) ( ) ( ) m m d k f k z F z dz    −     七、z 域积分 若 f k F z z ( ) ( )      则 ( ) ( ) z f k F d k       1 ( ) ( ) m z m f k F z d k m      + +  八、k 域反转 若 f k F z z ( ) ( )      则 1 f k F z ( ) ( ) − −  1 1 z     例： ( ) k z a k z a   − 1 1 1 ( ) 1 k z a k z a az  − − − −  = − − 1 ( 1) 1 k z a k az  − − − −  − 1 1 ( 1) 1 k az z z a k az a z z a  − − − − − −  = = − − − ( 1) k z b k z b  − − −  − 九、部分和 若 f k F z z ( ) ( )      则 ( ) ( ) ( ) 1 k i z g k f i F z =− z =  −  max( ,1)     z 若 f k k F z z ( ) ( ) ( )       则 0 ( ) ( ) ( ) 1 k i z g k f i F z = z =  −  max( ,1)     z

课时授课计划（教案）四川工商学院例：求z(之a-2d=de() 且 ae(k)-：dA=-az-1 z-a(--=-a)0十、初值定理若 ()(k)F(=)a<<则 (0)=limF(-)十一、终值定理若 (k)(k)F()<月则 (0)=m(-1)F(-)7.3z反变换一、直接法：就是从象函数及其收敛域出发，直接利用f(k)～F(z)的关系求得原序列。二、部分分式展开法设象函数X(2)为z的有理分式X(-)=-+b+++。式中n，系数均D(=)a,-"+a.---l+...+a=+0为实数。可以想拉普拉斯反变换一样，先将上式分解为部分分式之和，然后反变换求得序列x(n)。注意：为保证基本分式中含有z，可以先对X(z)/z进行部分分式展开，再在展开式两边同乘z。1．仅含有一阶单极点-K+K+.+K-2KF(2)式中K,=(=-2)2-2,--2---2--[>[=IK,=e(n).. x(n) = Z-"[X(=)]=[<-I-K,="e(-n-1)2．仅含有重极点FK,X(=) Kim+Ko-(]式中K,m-1,.1)+...(n-1)!d---l（2--"（二二)-=n(n-1)(n-m+2)a-e(n)可以容易得到X（z）的反变换。由变换对(=-a"(m-D)"7.4离散系统的z域分析引信：LII连续系统，离散系统的分析思想都是基于信号的分解理论和系统的LTI特性。系统分析方法如下表分析方法基本响应计算数学工具信号连时域法卷积积分o(t)y,(t)=h(t)*f(t)结傅氏变换或法Y,Ga)=HG@)-F(ja)系统域法Y,()-H(s)-F($)拉氏变换卷积和时域法y,(k)=h(k)+f(k)福o(k)Z域法Y,(2) =H(2)-F(z)Z变换2年月日第备课日期：页

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 例：求 0 k i i Z a =        0 0 ( ) ( ) k k i i k i i z a a i a k z a   = = =  −   且 2 0 1 ( 1)( ) k i i z z z a = z z a z z a    = − − − −  十、初值定理 若 f k k F z z ( ) ( ) ( )       则 (0) lim ( ) z f F z → = 十一、终值定理 若 f k k F z z ( ) ( ) ( )       则 1 ( ) lim( 1) ( ) z f z F z →  = − 7.3 z 反变换 一、直接法：就是从象函数及其收敛域出发，直接利用f(k)～F(z)的关系求得原序列。 二、部分分式展开法 设象函数 X(z)为 z 的有理分式 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) m m m m n n n n N z b z b z b z b X z D z a z a z a z a − − − − + + + + = = + + + + 式中 m≤n ，系数均 为实数。可以想拉普拉斯反变换一样，先将上式分解为部分分式之和，然后反变换求得序 列 x(n)。注意：为保证基本分式中含有 z，可以先对 X(z)/z 进行部分分式展开，再在展开 式两边同乘 z 。 1． 仅含有一阶单极点 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) n n i i i n i i i X z F z K K K K K z z z z z z z z z z z z = z z = + + + = = − − − − −  = 式中   1 ( ) ( ) ( ) ( 1) n i i i n i i i K z n z z x n Z X z K z n z z   −    = =  − − −   2． 仅含有重极点 1 11 12 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 X( ) 1 ( ) ( ) ( , 1, ,1) ( ) ( ) ( 1)! n m m m m n n z d X z K K K K K z z n m m z z z z n z z z z z dz z z − − −   = + + + = − = −   − − − −   = + 式中 由变换对 1 1 ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( 1)! n m m z n n n m a n z a m   − − + − + − − 可以容易得到 X（z）的反变换。 7.4 离散系统的 z 域分析

课时授课计划（教案）四川工商学院例已知离散系统输入为fi(k）=e（)时，其零状态响应为y（k)=3ke（K)，求输入为f2(K)=（k+1)(K)时的零状态响应yf2(k)。所以 H(a)=如=1解(1)求(2z)。因为F()=Yn()=,>32-1Yn(z) ~2-32-3(2) 计算 F()=2[(k+1)(k)=Z[s(k)*(k)=()或者 F()=2[(k)+ke(k)-+(-)是()=()Y()=H()5()号(-2(-%-3)-(-)号+yr2(k)=[号(3)*-]e(k)=[3k+1 -1]e(k7.5离散系统差分方程的z域解一、差分方程的z变换解1.n阶离散LTI因果系统描述方程——n阶后向差分方程含ba-,f(k-设an-i，bm-j均为实常数，初始观察时刻k=0。注意①系统方程描述系统的输入输出关系，其中kE（-，）②f（K)、y(k)均为因果序列，采用单边z变换。③差分方程求解，需要n个独立初始条件，y(-1)，y(-2)，，y(-n）或y(0)，y(1),"y(n-1)等。(-1)=y,(-)),1=1,",一般有()=()+对因果系统有2.z域解二阶系统： J(k)+a(k-1)+a(k-2)=b,f(k)+b,f(k-1)初始条件：(-1)=y(-1),J(-2)=y(-2)2 变换: Y(=)+α[="Y(=)+J(-1)]+a[=Y(=)+(-2)+(-1)="]=b,F(=)+b[="F(=)+0](1+a,=-l +a,=-*)Y(-) =-[(a +a=-)(-1) +a(-2)+(b, +b,--) F(=)Y()-+F(-)-Y()+,(2)-Y()+H(-)F()A(=) A(=)y(k)=Z-"[Y(=)] ,(k)=z"[Y(=)](k) = Z-'[Y(=)]3.k域解年日月备课日期：第 页

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 例 已知离散系统输入为 f1 (k ) =ε(k)时，其零状态响应为 yf1 (k) = 3kε(k)，求输入 为 f2 (k) = (k+1)ε(k)时的零状态响应 yf2 (k) 。 解（1）求 H(z)。因为 1 1 ( ) ( ) 1 3 f z z F z Y z z z = = − − 1 2 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 3 f f Y z z H z z Y z z − = =  − 所以 （2）计算     2 2 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 z F z Z k k Z k k z = + =  =    − 或者   2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 z d z z F z Z k k k z z dz z z = + = + − =   − − − 2 2 2 2 1 3 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 ( ) ( 1)( 3) 1 3 f z z Y z H z F z z z z z z z z z z − = =  − − = = − + − − − − 3 1 1 1 2 2 2 2 ( ) (3) ( ) 3 1 ( ) k k f y k k k   + = − = −         7.5 离散系统差分方程的 z 域解 一、差分方程的 z 变换解 1.n 阶离散 LTI 因果系统描述方程——n 阶后向差分方程 0 0 ( ) ( ) n m n i m j i j a y k i b f k j − − = =   − = − 设 an-i，bm-j 均为实常数，初始观察时刻 k=0。 注意 ①系统方程描述系统的输入输出关系，其中 k∈(-∞,∞) ②f (k)、y(k)均为因果序列，采用单边 z 变换。 ③差分方程求解，需要 n 个独立初始条件， y(-1)，y(-2)，.，y(-n) 或 y(0)， y(1)，.y(n－1)等。 一般有 ( ) ( ) ( ) x f y i y i y i = + 对因果系统有 ( ) ( ) 1,2, , ( ) 0 x f y i y i i n y i − = −   = − =  2.z 域解 二阶系统： 1 0 2 1 y k a y k a y k b f k b f k ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1) + − + − = + − 初始条件： ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) x x y y y y − = − − = − ， z 变换： 1 2 1 1 1 0 2 1 Y z a z Y z y a z Y z y y z b F z b z F z ( ) [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 2) ( 1) ] ( ) [ ( ) 0] − − − − + + − + + − + − = + + 1 2 1 1 1 0 0 0 0 2 1 (1 ) ( ) [( ) ( 1) ( 2)] ( ( ) a z a z Y z a a z y a y b b z F z − − − − + + = − + − + − + + ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x M z B z Y z F z Y z Y z Y z H z F z A z A z = + = + = + 3.k 域解     1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x f f y k Z Y z y k Z Y z y k Z Y z − − − = = =    