同,即 C(s)= 这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t),因为g()=L[G(s)],其表达式为 C(1)=e t≥0 (3-5) 323一阶系统的单位斜坡响应 Unit-ramp Response of first-order Systems 当R(s)=1 C(s)=p(s)R(s)=_111T TS+1 s ss 1+TS 对上式求拉氏反变换,得 (1)=1-7(1-e)=t-T+7e (3-6) 因为e(1)=r(1)-c(t)=T(1-eT) (3-7) r(t c(t) 图3-5一阶系统的斜坡响应 所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为en=lime()=T 上式表明:①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时,输入和输出信号的变化率完全相 同r(t)=1,c()=1
54 同，即 1 1 ( ) TS C s 这时相同的输出称为脉冲响应记作 g(t)，因为 ( ) [ ( )] 1 g t L G s ,其表达式为 0 1 ( ) e t T c t T t （3-5） 3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应 Unit-ramp Response of first-order Systems 当 2 S 1 R(s) TS T S T TS S S C s s R s 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 对上式求拉氏反变换，得： t T t T c t t T e t T Te 1 1 ( ) (1 ) （3-6） 因为 ( ) ( ) ( ) (1 ) 1 t T e t r t c t T e （3-7） r(t) c(t) r(t) c(t) t 0 图3-5 一阶系统的斜坡响应 所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为e e t T t ss lim ( ) 上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相 同 ( ) 1 , ( ) 1 t r t c t
②由于系统存在惯性,c(t)从0上升到1时,对应的输出信号在数值上要滞 后于输入信号一个常量T,这就是稳态误差产生的原因。 ③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度,还可减少系统跟踪斜坡信 号的稳态误差。 3.24一阶系统的单位加速度响应 r() R(s)= S C(s)=p(s)R(s)=( 11 AB C D 1 T T2 T2 T+T2(1 (t≥0) (3-8) e()=r()-c()=T-7(-e7) 上式表明,跟踪误差随时间推移而增大,直至无限大。因此,一阶系统不能实现对加速 度输入函数的跟踪。 表3-1一阶系统对典型输入信号的响应式 输入信号 输出响应 传递函数 (t≥0) 微 分 分 1(t) 1-ert≥0 t-T+Tert≥0 TS+1 t2-T+72(1-e7)t≥0 等价关系:系统对输入信号导数的响应,就等于系统对该输入信号响应的导数; 系统对输入信号积分的响应,就等于系统对该输入信号响应的积分:积分常 数由零初始条件确定。 线性定常系统的一个重要特性,适用于任何阶线性定常系统,但不适用于线性时变系统
55 ②由于系统存在惯性， c(t)从 0 上升到 1 时，对应的输出信号在数值上要滞 后于输入信号一个常量 T，这就是稳态误差产生的原因。 ③减少时间常数 T 不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信 号的稳态误差。 3.2.4 一阶系统的单位加速度响应 2 2 1 r(t) t 3 1 ( ) S R s T S T 1 1 T S T S T S T S T S D S C S B S A TS S C s s R s 1 1 1 1 ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 2 2 3 3 2 3 2 (1 ) ( 0) (3 8) 2 1 ( ) 1 2 2 c t t Tt T e t t T ( ) ( ) ( ) (1 ) (3 8) 1 2 t T e t r t c t Tt T e 上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速 度输入函数的跟踪。 表 3-1 一阶系统对典型输入信号的响应式 输入信号 输出响应 传递函数 微 分 (t) 1 ( 0) 1 e t T T t 微 分 1 1 TS 1(t) S 1 1 0 e t T t t 2 1 S 0 t T Te t T t 2 2 1 t 3 1 S (1 ) 0 2 1 2 2 t Tt T e t T t 等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常 数由零初始条件确定。 线性定常系统的一个重要特性，适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统
和非线性系统。因此,研究线性定常系统的时间响应,不必对每种输入信号形式进行测 定和计算,往往只取其中一种典型形式进行研究 3.3二阶系统的时域分析 二阶系统:凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统,称为二阶系统 3.3.1二阶系统的数学模型 随动系统(位置控制系统)如图3-6所示。 输入电位计 输出电位计 ,驴 反馈信号 ac 发送 输入装置 RI 负载 吴差测量装置 放大器电动机齿轮传动 图3-6随动系统原理图 1)该系统的任务:控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。 (2)工作原理:用一对电位计作系统的误差测量装置,它们可以将输入和输出位置信号, 转换为与位置成正比的电信号 输入电位计电刷臂的角位置O,由控制输入信号确定,角位置已就是系统的参考输入量 而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比,输出电位计电刷臂的角位置θ,由输出轴 的位置确定。 电位差e=K,(en-e)就是误差信号。K,桥式电位器的传递函数 该信号被增益常数为KA的放大器放大,(KA应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗 放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上 电动机激磁绕组上加有固定电压。 如果出现误差信号,电动机就产生力矩以转动输出负载,并使误差信号减少到零 (3)当激磁电流固定时,电动机产生的力矩(电磁转距)为: M=C. M(s)=CmI,(s (3-10) C:电动机的转矩系数 n:为电枢电流
56 和非线性系统。因此，研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式进行测 定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究。 3.3 二阶系统的时域分析 二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。 3.3.1 二阶系统的数学模型 随动系统（位置控制系统）如图 3-6 所示。 + 图3-6 随动系统原理图 输入电位计 输出电位计 θr θc 发送 反馈信号 SM θc ia 输入装置 e1 KA KAe La R1 R1 R2 θ i 放大器 电动机 齿轮传动 负载 误差测量装置 Ra ⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。 ⑵工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号， 转换为与位置成正比的电信号。 输入电位计电刷臂的角位置r，由控制输入信号确定，角位置r就是系统的参考输入量， 而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置 c，由输出轴 的位置确定。 电位差 ( ) s r c e K e e 就是误差信号。 : Ks 桥式电位器的传递函数 该信号被增益常数为 KA的放大器放大，（ KA应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗） 放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。 电动机激磁绕组上加有固定电压。 如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。 (3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为： m a M C i M (s) C I (s) m a （3-10） : Cm 电动机的转矩系数 : a i 为电枢电流
对于电枢电路 L-a+Ri+k=kke (3-11) (LS+RI(s)=KKsE(s)-k,sO(s) Ln:Rn:电动机电枢绕组的电感和电阻。 K:电动机的反电势常数,O:电动机的轴的角位移 电动机的力矩平衡方程为: d-o de (3-12) dt (S+ fS)e(s)=M(s) J:为电动机负载和齿轮传动装置,折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置,折合到电动机轴上的粘性摩擦系数 6=-6 6(s)=:6(s) (3-13) 3-1 3-10 3-12 E1(s) la(s)m( (s) L astra KbS 图3-7随动系统方块图 根据图3-7,可以求出系统的开环传递函数(即前向通路传递函数)因为反馈回路传递 函数为1 G(s) 6(s)H(s) E(s =KsKd LaS+Ra。"Js-+f1 KsK,C/ Cm. KBs i(L,S+RS+S)+CnK,S 3-14) (L,S+ROS+S) 如果略去电枢电感L
57 对于电枢电路 K K e dt d R i K dt di L a a b A s a a （3-11） (L S R )I (s) K K E(s) K S (s) a a a A S b : : La Ra 电动机电枢绕组的电感和电阻。 : Kb 电动机的反电势常数， :电动机的轴的角位移。 电动机的力矩平衡方程为： m a M C i dt d f dt d J 2 2 （3-12） ( ) ( ) ( ) 2 JS fS s M s J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。 i c 1 ( ) 1 ( ) s i s c （3-13） Ks KA Cm i 1 KbS θr(s) E(s) E1(s) Ia(s) M(s) θ(s) θc(s) 3-11 3-10 3-12 KbSθ(s) 图3-7 随动系统方块图 根据图 3-7，可以求出系统的开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递 函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) E s s H s G s c L S R JS fS C K S K K C i i L S R JS fS C K S JS fS C L S R K K a a m b S A m a am b m a a S A ( )( ) 1 ( )( ) 1 1 1 2 2 2 （3-14） 如果略去电枢电感 La