西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（电子讲稿）频域分析法（第10讲，1/2）

第5章线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1频率特性及其表示法 幅相曲线对数频率特性曲线 5.2典型环节的幅相曲线 5.3稳定裕度和判据 已经学习了用线性常微分方程和传递函数描述线性定常系统,这两种 模型分别在时域和复频域中对系统进行了描述。下面介绍一种数学模型一 一频率特性函数,这种模型是对系统的一种频域刻画,在系统分析中有重 要作用。①判断系统是否稳定,②稳定程度一一稳定裕度。 应用频率特性硏究线性系统的经典方法称为频域分析法。(是以传递函 数为基础的又一种图解法。与根轨迹法相比较,根轨迹法是一种非常实用 的求取闭环特征方程式根的图解法,特别对于高阶系统)。 与其他方法相比较,频率响应法还具有如下特点 (1)频率特性具有明确的物理意义,它可以用实验的方法来确定,这 对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说,具有重要的实际意义。 (2)由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析, 因而具有形象直观和计算量少的特点。 (3)频率响应法不仅适用于线性定常系统,而且还适用于传递函数不 是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。 5.1频率特性及其表示法 5.1.1频率特性的基本概念 频率特性又称频率响应,它是系统(或元件)对不同频率正弦输入信号的 响应特性。设线性系统的输入为一频率为的正弦信号,在稳态时,系统的 输出具有和输入同频率的正弦函数,但其振幅和相位一般均不同于输入量, 且随着输入信号频率的变化而变化,如图5.1所示。 线性系统 图

97 第 5 章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1 频率特性及其表示法 幅相曲线 对数频率特性曲线 5.2 典型环节的幅相曲线 5.3 稳定裕度和判据 已经学习了用线性常微分方程和传递函数描述线性定常系统，这两种 模型分别在时域和复频域中对系统进行了描述。下面介绍一种数学模型— —频率特性函数，这种模型是对系统的一种频域刻画，在系统分析中有重 要作用。判断系统是否稳定，稳定程度——稳定裕度。 应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。（是以传递函 数为基础的又一种图解法。与根轨迹法相比较，根轨迹法是一种非常实用 的求取闭环特征方程式根的图解法，特别对于高阶系统）。 与其他方法相比较，频率响应法还具有如下特点： （1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这 对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 （2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析， 因而具有形象直观和计算量少的特点。 （3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不 是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。 5.1 频率特性及其表示法 5.1.1 频率特性的基本概念 频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的 响应特性。设线性系统的输入为一频率为的正弦信号，在稳态时，系统的 输出具有和输入同频率的正弦函数，但其振幅和相位一般均不同于输入量， 且随着输入信号频率的变化而变化，如图 5.1 所示。 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 线性系统 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 图

红一输入,蓝一全响应,黑一稳态响应 2 幅值0 -6 y(t) 红一输入,蓝一全响应,黑—稳态响应 0 -0.5 1. 5F.( 2 图5.2例5.1的输入u(t),全响应y(t)和稳态响应ysst

98 0 1 2 3 4 5 6 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 t/s 幅 值 u(t) y(t) yss(t) 红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 0 1 2 3 4 5 6 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 t/s 幅 值 u(t) y(t) yss(t) 红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 图 5.2 例 5.1 的输入 u(t)，全响应 y(t)和稳态响应 yss(t)

考虑系统传递函数为G(s)= 10s+50 s2+4s+3 l()=2cos(5t+30°)(1)=2co(201+30°) 设系统的传递函数为CS=G(=2(s) (s) 已知输入r(o)=Asm(am),其拉氏变换Rs)=,,,A为常量,则系统输出 s2+m2 为 C(S=G(SR(s) U(s A0 (s)s2+o2 (s) A (5-1) (s+p1(s+P2)…(s+pn)s2+ 式中,-p1-P2…-Pn为G(s)的极点。对于稳定系统,这些极点都位于s平 面的左方,即它们的实部均为负值。为简单起见,令G③)的极点均为相异 的实数极点,则式(5-1)改写为 C(S)=>b,- (5-2) =IS+Pi s+J@ $-Jo a,a和b(=12,…m)均为待定系数。对上式取拉氏反变换,求得 ie P 当1→时,系统响应的瞬态分量∑b"趋向于零,其稳态分量为 其中系数由下式确定 A a=G(s) (s+jo)s=-jo G(jo) (+0)=0(-/o)2(55) =G() jo)in =G(jo) (5-6) (s+jo(s-jo) 由于G(o)是一个复数向量,因而可表示为 G(o)=(o)+jb(o) =G(o) =A()e/(o) (5-7) c(o)+jd(o) 因为G(S)的分子和分母多项式为实系数,故a(o)和c(o)为关于o的偶次幂实

99 考虑系统传递函数为 4 3 10 50 ( ) 2     s s s G s u(t)  2cos(5t  30) u(t)  2cos(20t  30) 设系统的传递函数为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V s U s G s R s C s   已知输入r(t)  Asin(t)，其拉氏变换 2 2 ( )     s A R s ，A 为常量，则系统输出 为 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      s A V s U s C s G s R s 2 2 1 2 ( )( ) ( ) ( )         s A s p s p s p U s  n (5-1) 式中， n  p , p , p 1 2 为 G(s)的极点。对于稳定系统，这些极点都位于 s 平 面的左方，即它们的实部均为负值。为简单起见，令 G(s)的极点均为相异 的实数极点，则式(5-1) 改写为  s j a s j a s p b C s n i i i        1 ( ) (5-2) a, a b (i 1,2, n) 和 i   均为待定系数。对上式取拉氏反变换，求得        n i p t i j t j t i c t ae ae b e 1 ( )   (5-3) 当t   时，系统响应的瞬态分量   n i p t i i b e 1 趋向于零，其稳态分量为 j t j t t c t ae ae       ( ) (5-4) 其中系数由下式确定 j A s j G j s j s j A s j G j s A a G s s j s j 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2                         (5-5) j A s j G j s j s j A s j G j s A a G s s j s j 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2                      (5-6) 由于G( j) 是一个复数向量，因而可表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        G j j G j e c jd a jb G j     ( ) ( )    j  A e (5-7) 因为 G(s)的分子和分母多项式为实系数 ，故a()和c()为关于 的偶次幂实

系数多项式,b()和d(a)为关于o的奇次幂实系数多项式,即a(o)和c(a)为o 的偶函数,b(o)和d()为o的奇函数。 (jo)2=jo(jo)2=-02(o)3=-jo3(j)4=o 02n+1n=0,2,4 0,2,4, (5-8) jn2+1n=135,… -o2n1n=135 a2(o)+b2(o) Vc2(o)+d(o) (5-9) G(a argtg o)arge (o) (5-10) a(o G(-/o)=a)-b(o) G(joye A(o)e-o(o)(5-11) co)-jd(o) A(o)=(o) 将式(5-5)、式(56)、式(5-7)和式(5-11)代入式(5-4),求得 c()=aem+ae/m=A(o)eob-m-+A(o)emoa4=A(o)Asm(om+9(o) (5-13) 以上证明了线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号 其输出与输入的幅值比为A(o)=G(o),输出与输入的相位差 Po) 下面以RC电路为例,说明频率特性的物理意义。图5-3所示电路的 传递函数为 C 图5-3RC电路 Uo(s) G(s)= 1+ RO 设输入电压u1()=Asin(on),由复阻抗的概念求得 100

100 系数多项式，b()和d()为关于 的奇次幂实系数多项式，即a()和c()为 的偶函数，b()和d()为 的奇函数。                                1,3,5, 0,2,4, ( ) 1,3,5, 0,2,4, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 3 4 4 n n j n n j j j j j j j j j n n n n n n               (5-8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2      c d a b G j    (5-9) ( ) ( ) arg ( ) ( ) arg ( )      c d tg a b tg G j   (5-10) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        G j j G j e c jd a jb G j       ( ) ( )    j A e   (5-11)        ( ) ( ) ( ) ( )      G j A G j (5-12) 将式(5-5) 、式(5-6)、 式(5-7)和 式(5-11)代入式 (5-4)，求得 ( ) sin( ( )) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )                         A A t j A A e e j A c t ae ae A e e j t j t j j t j j t (5-13) 以上证明了线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号， 其 输 出 与 输 入 的 幅 值 比 为 A()  G( j) ， 输 出 与 输 入 的 相 位 差 ( ) ( )    G j  。 下面以 R-C 电路为例，说明频率特性的物理意义。图 5-3 所示电路的 传递函数为 R 图5-3 R-C电路 C ui uo RCs G s U s U s io    1 1 ( ) ( ) ( ) (5-14) 设输入电压u (t) Asin( t) i   ，由复阻抗的概念求得

U。(o) =G(o) (5-15) U1(j) 1+RCo 1+Tjo 如上所述,G(jo)可以改写为 式中 P(o)=-arctgT@ G(O)称为电路的频率特性。显然,它由该电路的结构和参数决定,与输 入信号的幅值与相位无关。G(o)是G(o)的幅值,它表示在稳态时,电路 的输出与输入的幅值之比。(o)是G(jm)的相角,它表示在稳态时,输出信 号与输入信号的相位差。由于G(0)和叭()都是输入信号频率o的函数,故 它们分别被称为电路的幅频特性和相频特性。 综上所述,式(5-15)所示频率特性的物理意义是:当一频率为的正弦信号 加到电路的输入端后,在稳态时,电路的输出与输入之比;或者说输出与 输入的幅值之比和相位之差。 09 08 ======4====== 0.7 1------L 0.5 0.5 1522533.54455 (a)幅频特性

101      RCj Tj G j U j U j io      1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) (5-15) 如上所述，G( j) 可以改写为 ( ) ( ) ( )     j G j  G j e (5-16) 式中，T  RC ； 2 2 1 1 ( )   T G j   ； ()  arctgT G( j) 称为电路的频率特性。显然，它由该电路的结构和参数决定，与输 入信号的幅值与相位无关。 G( j) 是G( j) 的幅值，它表示在稳态时，电路 的输出与输入的幅值之比。() 是G( j) 的相角，它表示在稳态时，输出信 号与输入信号的相位差。由于 G( j) 和() 都是输入信号频率 的函数，故 它们分别被称为电路的幅频特性和相频特性。 综上所述，式 (5-15)所示频率特性的物理意义是：当一频率为 的正弦信号 加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比；或者说输出与 输入的幅值之比和相位之差。 (a) 幅频特性