第10讲 3.6线性系统的稳态误差计算 3.6.1稳态误差的定义 3.6.2系统类型 3.6.3扰动作用下的稳态误差 以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差。事实上,控制系统除了受到参考输 入的作用外,还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响。例如负载力矩的变化、放 大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等,这些都会引起稳态误差。这种误 差称为扰动稳态误差,它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。对于扰动稳态误差的计 算,可以采用上述对参考输入的方法。但是,由于参考输入和扰动输入作用于系统的不 同位置,因而系统就有可能会产生在某种形式的参考输入下,其稳态误差为零;而在同 一形式的扰动作用下,系统的稳态误差未必为零。因此,就有必要研究由扰动作用引起 的稳态误差和系统结构的关系。考虑图3-23的系统,图中R(s)为系统的参考输入,N(s) 为系统的扰动作用。为了计算由扰动引起的系统稳态误差,假设R(s=0,则输出对扰动 的传递函数为(控制对象控制器) N(S) R(s E(s C(s) S G2(s) H(s) 图3-23控制系统 S c(s) G1(s) Hs M(s)=C(s) (3-71)G(s)=G1(s)G2(s) N(s)1+G1(s)G2(S)H(s) 由扰动产生的输出为 G2(s) Cn(s)=Mx(s)N(s1+1(s)G2(sH(s)(3-72)
91 第 10 讲 3.6 线性系统的稳态误差计算 3.6.1 稳态误差的定义 3.6.2 系统类型 3.6.3 扰动作用下的稳态误差 以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差。事实上，控制系统除了受到参考输 入的作用外，还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响。例如负载力矩的变化、放 大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。这种误 差称为扰动稳态误差，它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。对于扰动稳态误差的计 算，可以采用上述对参考输入的方法。但是，由于参考输入和扰动输入作用于系统的不 同位置，因而系统就有可能会产生在某种形式的参考输入下，其稳态误差为零；而在同 一形式的扰动作用下，系统的稳态误差未必为零。因此，就有必要研究由扰动作用引起 的稳态误差和系统结构的关系。考虑图 3-23 的系统，图中 R(s)为系统的参考输入，N(s) 为系统的扰动作用。为了计算由扰动引起的系统稳态误差，假设 R(s)=0，则输出对扰动 的传递函数为 （控制对象控制器） R(s) G(s) E(s) ( ) 1 G s G(s()) 2 G s H(s) C(s) N(s) 图 3-23 控制系统 - N(s) C(s) H(s) ( ) 2 G s ( ) 1 G s 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 G s G s H s G s N s C s M s N (3-71) ( ) ( ) ( ) 1 2 G s G s G s 由扰动产生的输出为 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 N s G s G s H s G s C s M s N s n N (3-72)
系统的理想输出为零,故该非单位反馈系统响应扰动的输出端误差信号为 En(S)=0-C,(s) G2(s) N(s)(3-73) 1+G1(s)G2(s)H(s) 根据终值定理和式(3-73)求得在扰动作用下的稳态误差为 esn=limE,(S)= SG2(s) N(s) (3-74) 1+G1(s)G2(s)H(s) 若令图3-23中的G()k形(s) sC2(s)。K2W2(S) (3-75) 为讨论方便起见假设H(s)=1 则系统的开环传递函数为G(s)=G1(S)G2(s)= K,W,(sK,W,(s) (3-76) v=v1+v2,W1(0)=W2(O)=1。将式(3-75)和式(3-76)代入式(3-73),得 E(s)= S"K22(S) N(s) S+KK2WI(s)w2(s) 下面讨论v=01和2时系统的扰动稳态误差。 1.0型系统(v=0) 当扰动为一阶跃信号,即m(1)=N0,N(s)=0。将式(3-75)代入式(3-74),求得 KN 在一般情况下,由于K1K2>>1,则式(3-78)可近似表示为 e 上式表明系统在阶跃扰动作用下,其稳态误差正比于扰动信号的幅值,与扰动作用点前 的正向传递函数系数近似成反比 2.I型系统(v=1) 系统有两种可能的组合:①v=1,v2=0;②v1=0,V2=1。显然,这两种不同的组 合,对于参考输入来说,它们都是I型系统,产生的稳态误差也完全相同。但对于扰动 而言,这两种不同组合的系统,它们抗扰动的能力是完全不同的。对此,说明如下 ①v1=1,v2=0。当扰动为一阶跃信号,即m()=N0,N(s)=N0,则由式(3-71)得
92 系统的理想输出为零，故该非单位反馈系统响应扰动的输出端误差信号为 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1 2 2 N s G s G s H s G s E s C s n n (3-73) 根据终值定理和式(3-73)求得在扰动作用下的稳态误差为 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) 1 2 2 0 N s G s G s H s sG s e sE s n s ssn (3-74) 若令图 3-23 中的 1 2 ( ) , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 s K W s G s s K W s G s (3-75) 为讨论方便起见假设 H(s) 1 则系统的开环传递函数为 s K W s K W s G s G s G s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 (3-76) , (0) (0) 1 1 2 W1 W2 。将式(3-75)和式(3-76)代入式(3-73)，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 1 N s s K K W s W s s K W s E s n (3-77) 下面讨论 0,1和2时系统的扰动稳态误差。 1. 0 型系统（ 0 ） 当扰动为一阶跃信号，即 s N n t N N s 0 0 ( ) , ( ) 。将式(3-75)代入式(3-74)，求得 1 2 2 0 1 K K K N essn (3-78) 在一般情况下，由于 1 K1K2 ，则式 (3-78) 可近似表示为 1 0 K N essn 上式表明系统在阶跃扰动作用下，其稳态误差正比于扰动信号的幅值，与扰动作用点前 的正向传递函数系数近似成反比。 2. I 型系统（ 1） 系统有两种可能的组合： 1, 0 1 2 ； 0, 1 1 2 。显然，这两种不同的组 合，对于参考输入来说，它们都是 I 型系统，产生的稳态误差也完全相同。但对于扰动 而言，这两种不同组合的系统，它们抗扰动的能力是完全不同的。对此，说明如下。 1, 0 1 2 。当扰动为一阶跃信号，即 s N n t N N s 0 0 ( ) , ( ) ，则由式 (3-74)得
een= lim sEn(s=- s sK,W2(s) No 0 S+K,WI(s)W2(s)s 当扰动为一斜坡信号,即n(1)=N0t,N(s) 相应的稳态误差为 m N eson= lim,(s)= S+K,,WI 2(S) ②v1=0,v2=1。当扰动为一阶跃信号,即m(1)=N0,N()= s K2W2(s) N e ssn=lim SEn(s)=s+KiK,W,(s)W2(s)s K, 当扰动为一斜坡信号,即川(1)=N01,N(s)=-2,相应的稳态误差为 essn=lim sEn(S)= s K22s) No s+K1K2W(s2(/=∞ 由上述可知,扰动稳态误差只与作用点前的G1(s)结构和参数有关。如G1(s)中的v=1 时,相应系统的阶跃扰动稳态误差为零;斜坡稳态误差只与G1(S)中的增益K1成反比 至于扰动作用点后的G2(s),其增益K2的大小和是否有积分环节,它们均对减小或消除 扰动引起的稳态误差没有什么作用。 3.II型系统(v=2) 系统有三种可能的组合:①v=2,v2=0;②v=1,v2=1;③1=0,v2=2。 根据上述的结论可知,按第一种组合的系统具有II型系统的功能,即对于阶跃和斜坡 扰动引起的稳态误差均为零。第二种组合的系统具有I型系统的功能,即由阶跃扰动引 起的稳态误差为零,斜坡产生的稳态误差为0。系统的第三种组合具有0型系统的功 K 能,其阶跃扰动产生的稳态误差为0,斜坡扰动引起的误差为∞。 3.6.4减小或消除稳态误差的措施 由前面的讨论可知,提高系统的开环增益和增加系统的类型是减小和消除系统稳态误差 的有效方法。但这两种方法在其他条件不变时,一般都会影响系统的动态性能,乃至系 统的稳定性。若在系统中加入顺馈控制作用,就能实现既减小系统的稳定误差,又能保 证系统稳定性不变的目的 (1)对扰动进行补偿
93 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) 0 1 2 1 2 2 2 0 s N s K K W s W s s sK W s e sE s n s ssn 当扰动为一斜坡信号，即 2 0 0 ( ) , ( ) s N n t N t N s ，相应的稳态误差为 1 0 2 0 1 2 1 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) K N s N s K K W s W s s sK W s e sE s n s ssn 0, 1 1 2 。当扰动为一阶跃信号，即 s N n t N N s 0 0 ( ) , ( ) 1 0 0 1 2 1 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) K N s N s K K W s W s s K W s e sE s n s ssn 当扰动为一斜坡信号，即 2 0 0 ( ) , ( ) s N n t N t N s ，相应的稳态误差为 2 0 1 2 1 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) s N s K K W s W s s K W s e sE s n s ssn 由上述可知，扰动稳态误差只与作用点前的 ( ) 1 G s 结构和参数有关。如 ( ) 1 G s 中的 1 1 时，相应系统的阶跃扰动稳态误差为零；斜坡稳态误差只与 ( ) 1 G s 中的增益 K1成反比。 至于扰动作用点后的 ( ) 2 G s ，其增益 K2的大小和是否有积分环节，它们均对减小或消除 扰动引起的稳态误差没有什么作用。 3. II 型系统（ 2） 系统有三种可能的组合： 2, 0 1 2 ； 1, 1 1 2 ； 0, 2 1 2 。 根据上述的结论可知，按第一种组合的系统具有 II 型系统的功能，即对于阶跃和斜坡 扰动引起的稳态误差均为零。第二种组合的系统具有 I 型系统的功能，即由阶跃扰动引 起的稳态误差为零，斜坡产生的稳态误差为 1 0 K N 。系统的第三种组合具有 0 型系统的功 能，其阶跃扰动产生的稳态误差为 1 0 K N ，斜坡扰动引起的误差为。 3.6.4 减小或消除稳态误差的措施 由前面的讨论可知，提高系统的开环增益和增加系统的类型是减小和消除系统稳态误差 的有效方法。但这两种方法在其他条件不变时，一般都会影响系统的动态性能，乃至系 统的稳定性。若在系统中加入顺馈控制作用，就能实现既减小系统的稳定误差，又能保 证系统稳定性不变的目的。 （1） 对扰动进行补偿
图3-26为对扰动进行补偿的系统方块图。系统除了原有的反馈通道外,还增加了 个由扰动通过前馈(补偿)装置产生的控制作用,旨在补偿由扰动对系统产生的影响。 图中Gn(s)为待求的前馈控制装置的传递函数;N(s)为扰动作用,且可进行测量。 令R(s)=0,由图3-27求得扰动引系统的输出为 N(s) G,(S) G1(s) G2(s) 图3-26按扰动补偿的复合控制系统 N(s) G(SIG(s) P1=-G2()△1=1 P2=Gn,(SG,(s)G2(s) L1=-G1(s)G2(s)△=1+G1(s)G2(s) C(s) P,A+P2A2 G2(S)[G, (SG,(s)-1 梅逊公式图3-27与图3-26对应的信号流图 C(s)=C(s)G(sG1(s)-1()(3-79) 1+G1(s)G2(s) 由式(3-79)可知,引入前馈后,系统的闭环特征多项式没有发生任何变化,即不会影响 系统的稳定性。为了补偿扰动对系统输出的影响,令式(3-79)等号右边的分子为零,即 有G2(S)Gn(S)G(s)-1l=0[分析 G,( (3-80) G1(s) 这是对扰动进行全补偿的条件。由于G1(s)分母的s阶次一般比分子的s阶次高,故式 (3-80)的条件在工程实践中只能近似地得到满足。 (2)按输入进行补偿 图3-28为对输入进行补偿的系统方块图。图中G()为待求前馈装置的传递函数。由于
94 图 3-26 为对扰动进行补偿的系统方块图。系统除了原有的反馈通道外，还增加了 一个由扰动通过前馈（补偿）装置产生的控制作用，旨在补偿由扰动对系统产生的影响。 图中G (s) n 为待求的前馈控制装置的传递函数； N(s)为扰动作用，且可进行测量。 令 R(s) 0，由图 3-27 求得扰动引系统的输出为 + - - R(s) E(s) + N(s) C(s) 图3-26 按扰动补偿的复合控制系统 ( ) 2 ( ) G s 1 G s G (s) n -1 -1 G (s) n ( ) 1 G s ( ) 2 G s N(s) C(s) 1 1 1 ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) 1] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 G s G s p p G s G s G s N s C s L G s G s G s G s p G s G s G s p G s n n 梅逊公式图 3-27 与图 3-26 对应的信号流图 ( ) 1 ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) 1] ( ) 1 2 2 1 N s G s G s G s G s G s C s n n (3-79) 由式(3-79)可知，引入前馈后，系统的闭环特征多项式没有发生任何变化，即不会影响 系统的稳定性。为了补偿扰动对系统输出的影响，令式(3-79)等号右边的分子为零，即 有 ( )[ ( ) ( ) 1] 0 G2 s Gn s G1 s [分析] ( ) 1 ( ) 1 G s G s n (3-80) 这是对扰动进行全补偿的条件。由于 ( ) 1 G s 分母的 s 阶次一般比分子的 s 阶次高，故式 (3-80) 的条件在工程实践中只能近似地得到满足。 （2）按输入进行补偿 图 3-28 为对输入进行补偿的系统方块图。图中G (s) r 为待求前馈装置的传递函数。由于
G(s)设置在系统闭环的外面,因而不会影响系统的稳定性。在设计时,一般先设计系 统的闭环部分,使其有良好的动态性能;然后再设计前馈装置G,(s),以提高系统在参 考输入作用下的稳态精度。 E( G(s) 图3-28按输入补偿的复合控制系统 由图(3-28)得 C(s)=[E(s)+G1(s)R(s)]G(s)(3-81) 由于系统的误差表达式 E(s)=R(s)-C(s)(3-82) C(s) 1+G(s)]G(s) (3-83) 1+G(s) 如果选择前馈装置的传递函数 G1(S)= (3-84) G(s) 则式(3-83)变为 C(S)=R(s) (3-85) 表明在式(3-84)成立的条件下,系统的输出量在任何时刻都可以完全无误差地复现输入 量,具有理想的时间响应特性。 为了说明前馈补偿装置能够完全消除误差的物理意义,将式(3-81)代入式(3-82),可 1-G,(s)G(s) E() I+ G(s)-R(s 上式表明,在式(3-84)成立的条件下,恒有E(s)=0;前馈补偿装置G(s)的存在,相当 于在系统中增加了一个输入信号G(s)R(s),其产生的误差信号与原输入信号R(s)产生 的误差信号相比,大小相等而方向相反。故式(3-84)称为输入信号的误差全补偿条件 由于G(s)一般具有比较复杂的形式,故全补偿条件(3-84)的物理实现相当困难。在工程 实践中,大多釆用满足跟踪精度要求的部分补偿条件,或者在对系统性能起主要影响的
95 G (s) r 设置在系统闭环的外面，因而不会影响系统的稳定性。在设计时，一般先设计系 统的闭环部分，使其有良好的动态性能；然后再设计前馈装置G (s) r ，以提高系统在参 考输入作用下的稳态精度。 + - R(s) E(s) C(s) G (s) G (s) r 图 3-28 按输入补偿的复合控制系统 由图(3-28)得 C(s) [E(s) G (s)R(s)]G (s) r (3-81) 由于系统的误差表达式 E(s) R(s) C(s) (3-82) ( ) 1 ) [1 ( )] ( ) ( ) R s G s G s G s C s r (3-83) 如果选择前馈装置的传递函数 ( ) 1 ( ) G s G s r (3-84) 则式(3-83)变为 C(s) R(s) (3-85) 表明在式(3-84)成立的条件下，系统的输出量在任何时刻都可以完全无误差地复现输入 量，具有理想的时间响应特性。 为了说明 前馈补偿装置能够完全消除误差的物理意义，将式(3-81)代入式(3-82)，可 得 ( ) 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) R s G s G s G s E s r (3-86) 上式表明，在式(3-84)成立的条件下，恒有 E(s) 0；前馈补偿装置G (s) r 的存在，相当 于在系统中增加了一个输入信号G (s)R(s) r ，其产生的误差信号与原输入信号 R(s)产生 的误差信号相比，大小相等而方向相反。故式(3-84)称为输入信号的误差全补偿条件。 由于G(s)一般具有比较复杂的形式，故全补偿条件(3-84)的物理实现相当困难。在工程 实践中，大多采用满足跟踪精度要求的部分补偿条件，或者在对系统性能起主要影响的