西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（电子讲稿）线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis

第13讲 第5章线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1频率特性及其表示法 5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3典型环节的幅相曲线的绘制 5.4稳定裕度和判据 5.3极坐标图( Polar plot,),幅相频率特性曲线,奈奎斯特曲线 5.3.1积分与微分因子 5.3.2一阶因子 5.3.3二阶因子 5.3.4传递延迟 Im a e Jor Im 0 0 低频区 Jo 图5-33(a)传递延迟的极坐标图 图5-33(b)e-j0和1+/OP的极坐标图 G(j)=e可以写成G(jo)=1/cosO7- jsin OT 因为的幅值总为1,而相角随线性变化,所以传递延迟的极坐标图是一个单 位园圆,如图5-33(a)所示。在低频时,传递延迟与一阶环节的特性相似, 如图5-33(b)所示 当 时 √o/、 ≈1-JT 35

135 第 13 讲 第 5 章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1 频率特性及其表示法 5.2 典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3 典型环节的幅相曲线的绘制 5.4 稳定裕度和判据 5.3 极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线 5.3.1 积分与微分因子 5.3.2 一阶因子 5.3.3 二阶因子 5.3.4 传递延迟 Re Im   0  1 0 Re Im   0  1 jT 1   j T e   低频区 图 5-33(a) 传递延迟的极坐标图 图 5-33(b) j T e   和 1 jT 1 的极坐标图 j T G j e    ( )  可以写成G( j)  1 cosT  jsinT 因为的幅值总为 1，而相角随线性变化，所以传递延迟的极坐标图是一个单 位园圆，如图 5-33(a)所示。在低频时，传递延迟与一阶环节的特性相似， 如图 5-33(b)所示。 当 T 1   时， e j T j T      1

1+,≈1-/m7 当O>上时,两者存在本质的差别。 5.3.5极坐标图的一般形状 Im 0 n-m=2 2型系统 Re 1型系统 0型系统 图5-34(a)型1型和2型系统的极坐标图(b)高频区域内的极坐标图 Go) K(1jO+1)(z2jo+1)…(zmjO+1) (o)(T;j+1)T2jo+1)…(Tn-O+1)"m =0即0型系统:极坐标图的起点OD=0是一个位于正实轴的有限值。 对应于O三的极坐标图曲线的终点位于坐标原点,并且这一点上的 曲线与一个坐标轴相切。 v=11型系统:在总的相角中,-90的相角是jo项产生的。在低频时,极 坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段。当O三∞时,幅值为零, 且曲线收敛于原点,且曲线与一个坐标轴相切。 =2即2型系统:在总相角中-180°的相角是由(0)2项产生的 0型、1型和2型系统极坐标图低频部分的一般形状如图5-34(a)所示。如 果G(jO)的分母多项式阶次高于分子多项式阶次,那么G(jO)的轨迹

136 j T j T      1 1 1 当 T 1   时，两者存在本质的差别。 5.3.5 极坐标图的一般形状 Re Im   0   1型系统 0型系统 2型系统  0 0   0  Re  0 nm1 nm 2 nm3 图 5-34(a)0 型 1 型和 2 型系统的极坐标图(b)高频区域内的极坐标图 ( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2                      j T j T j T j K j j j G j n m   n  m   0即 0 型系统：极坐标图的起点  0 是一个位于正实轴的有限值。 对应于   的极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的 曲线与一个坐标轴相切。   1 1 型系统：在总的相角中， 90的相角是 j 项产生的。在低频时，极 坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段。当   时，幅值为零， 且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。   2即 2 型系统：在总相角中180的相角是由 2 ( j) 项产生的。 0 型、1 型和 2 型系统极坐标图低频部分的一般形状如图 5-34(a)所示。如 果G( j) 的分母多项式阶次高于分子多项式阶次，那么 G( j) 的轨迹

将沿者顺时针方向收敛于原点。当O=∞时,G(m)轨迹将与实轴 或虚轴相切如图5-34(b)所示。 极坐标图曲线的复杂形状都是由分子的动动态特性引起的。由分子的 时间常数决定的。 5.4对数幅-相图( Nichols Char尼柯尔斯图 Nichols Chart 10 Open-Loop Phase(deg) 图5-34二阶因子对数幅-相图 5.5奈奎斯特稳定判据( Nyquist Stability Criterion) R(s) C(s) G(s H(S) 图3-35闭环系统 考虑图5-35所示的闭环系统,其闭环传递函数为 C(s) R(s 1+H(SG(s) 137

137 将沿者顺时针方向收敛于原点。当   时， G( j) 轨迹将与实轴 或虚轴相切如图 5-34(b)所示。 极坐标图曲线的复杂形状都是由分子的动动态特性引起的。由分子的 时间常数决定的。 5.4 对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图 Nichols Chart Open-Loop Phase (deg) Open-Loop Gain (dB) -180 -135 -90 -45 0 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 图 5-34 二阶因子对数幅-相图 5.5 奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) R(s) C(s) G(s) H(s) 图 3-35 闭环系统 考虑图 5-35 所示的闭环系统，其闭环传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H s G s G s R s C s  

为了保证系统稳定,特征方程 1+H(SG(s=0 的全部根,都必须位于左半s平面。虽然开环传递函数H(S)G(s)的极点 和零点可能位于右半s平面,但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s 平面,则系统是稳定的。 奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应H(O)G()与 1+H(s)G(S)在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方 法无须求出闭环极点,得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的 开环频率特性曲线,均可用来进行稳定性分析。 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的。 假设开环传递函数H(S)G(s)可以表示成s的多项式之比。对于物理 上可实现的系统,闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子 多项式的阶数,这表明,当s趋于无穷大时,任何物理上可实现系统的 H(s)G(S)的极限,或趋于零,或趋于常数。 551预备知识 F(S)=1+H(s)G(s)=0 可以证明,对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线,在 F(S)平面上必存在一条封闭曲线与之对应。F(S)平面上的原点被封闭曲 线包围的次数和方向,在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围 的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数: (S+1)(S+2) 其特征方程为 138

138 为了保证系统稳定，特征方程 1 H(s)G(s)  0 的全部根，都必须位于左半 s 平面。虽然开环传递函数 H(s)G(s) 的极点 和零点可能位于右半 s 平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半 s 平面，则系统是稳定的。 奈 奎 斯 特 稳 定 判 据 正 是 将 开 环 频 率 响 应 H( j)G( j) 与 1 H(s)G(s) 在右半 s 平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方 法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的 开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析。 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的。 假设开环传递函数 H(s)G(s) 可以表示成 s 的多项式之比。对于物理 上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子 多项式的阶数，这表明，当 s 趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的 H(s)G(s) 的极限，或趋于零，或趋于常数。 5.5.1 预备知识 F(s) 1 H(s)G(s)  0 可以证明，对于 S 平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在 F(s)平面上必存在一条封闭曲线与之对应。 F(s)平面上的原点被封闭曲 线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围 的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数： ( 1)( 2) 6 ( ) ( )    s s H s G s 其特征方程为：

6 F(Ss)=1+H(s)G(s)=1+ (S+1)s+2) (S+1.5+j24)(S+1.5-j2.4) (S+1)(S+2) 函数F(S)在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点, F(S)平面上必有一点与之对应。例如S=1+j2,则F(S)为: 6 F(1+j2)=1+ 1.115-j0.577 (2+j2)(3+j2) 这样,对于s平面上给定的连续封闭轨迹,只要它不通过任何奇点,在F(s) 平面上就必有一个封闭曲线与之对应。 S平面 F()平面 a 139

139 ( 1)( 2) 6 ( ) 1 ( ) ( ) 1       s s F s H s G s 0 ( 1)( 2) ( 1.5 2.4)( 1.5 2.4)         s s s j s j 函数 F(s)在 s 平面内除了奇点外处处解析。对于 s 平面上的每一个解析点， F(s)平面上必有一点与之对应。例如 s  1 j2，则 F(s)为： 1.115 0.577 (2 2)(3 2) 6 (1 2) 1 j j j F j        这样，对于 s 平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在 F(s) 平面上就必有一个封闭曲线与之对应。 S 平面 F(s)平面 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -4 -3 -2 -1 0 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 A B C D A1 B1 C1 D1 （a）