西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（电子讲稿）线性系统的频域分析法（Frequency-response analysis）

第14讲 第5章线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1频率特性及其表示法 5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3极坐标图( Polar plot)),幅相频率特性曲线,奈奎斯特曲线 5.3.1积分与微分因子 5.3.2一阶因子 5.3.3二阶因子 5.3.4传递延迟 5.4对数幅-相图( Nichols Chart)尼柯尔斯图 5.5奈奎斯特稳定判据( Nyquist Stability Criterion) 551预备知识 552影射定理 553影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 554奈奎斯特稳定判据 555关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 556G(s)H(s)含有位于JO上极点和/或零点的特殊情况 56稳定性分析 *56.1条件稳定系统 *562多回路系统 *56.3应用于逆极坐标图上的奈奎斯特稳定判据 *564利用改变的奈奎斯特轨迹分析相对稳定性 57相对稳定性 571通过保角变换进行相对稳定性分析 57.2相位裕度和增益裕度 例5-8一单位反馈控制系统的开环传递函数为 G(s) 式中K,T,T2和73均为正值。为使系统稳定,开环 (T12s2+72s+1)(T3s+1) 增益K与时间常数T1,72和73之间满足什么关系? 解 K G(O)= [712(o)2+72jo+1(T3jo+1)

152 第 14 讲 第 5 章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1 频率特性及其表示法 5.2 典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3 极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线 5.3.1 积分与微分因子 5.3.2 一阶因子 5.3.3 二阶因子 5.3.4 传递延迟 5.4 对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图 5.5 奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 5.5.1 预备知识 5.5.2 影射定理 5.5.3 影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 5.5.4 奈奎斯特稳定判据 5.5.5 关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 5.5.6G(s)H(s) 含有位于 j 上极点和/或零点的特殊情况 5.6 稳定性分析 *5.6.1 条件稳定系统 *5.6.2 多回路系统 *5.6.3 应用于逆极坐标图上的奈奎斯特稳定判据 *5.6.4 利用改变的奈奎斯特轨迹分析相对稳定性 5.7 相对稳定性 5.7.1 通过保角变换进行相对稳定性分析 5.7.2 相位裕度和增益裕度 例 5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为 ( 1)( 1) ( ) 2 3 2 1 2     T T s T s T s K G s 式中 1 3 K,T ,T 2和T 均为正值。为使系统稳定，开环 增益K 与时间常数 1 3 T ,T 2和T 之间满足什么关系？ 解 ： [ ( ) 1]( 1) ( ) 2 3 2 1 2         T T j T j T j K G j

K T172T3(10)3+(T172+72T3)jO)2+(72+73) 1-72(T1+T3)02+(T2+3-T1T273o2)joD K-1-72(h+3)-(2+73-7230)/0此式太复杂利用上式直接令虚部 -72(T1+73) (T2+73-717273 2)2 为零即可。 2+7-727o2=0[T2+13虚部为零与负实轴相交于 V TT273 K K (jo) 1-72(T1+T3)o2 o=21-72(T1+73) √-72)2+(o2]1+(ro3 T2 P(o) 73 7172O2 (0+)=K-j0G(0∞)=-0+j0 画出一半利用对称性画出另一半。 1-2(+73)2 (Ti+73 72+73 K+1=1,72=2,73=3,K TT 15

153 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1 2 3       T T T j T T T T j T T j K T T T  T T T T T  j K 1 ( ) ( ) 2 2 3 1 2 3 2  2 1  3     2 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 3 2 2 3 1 2 3 2 2 1 3 [1 ( ) ] ( ) 1 ( ) ( )       T T T T T T T T T T T T T T T T j K            此式太复杂利用上式直接令虚部 为零即可。 0 2 T2  T3  T1T2T3  1 2 3 2 3 T T T T T c     虚部为零与负实轴相交于 2 1 3 2 3 2 1 3 2 2 1 3 1 ( ) 1 ( ) ( ) T T T T T T T T K T T T K G j c c           ( ) 2 3 2 2 2 2 1 2 [(1 ) ( ) ][1 ( ) ] ( )       j e T T T T K G j          3 2 1 2 2 1 ( ) arctgT T T T arctg     G( j0)  K  j0 G( j)  0  j0 画出一半利用对称性画出另一半。 1 1 ( ) 2 1 3 2 3 2 1 3      T T T T T T T T K ( ) 1 1 3 2 3 1 3     K T T T T T T 1, 2, 3, 2 T1  T2  T3  K  1, 2, 3, 8 T1  T2  T3  K 

2 0 3 7 8 Real Axis 0 7 Real Axis 154

154 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real Axis Imag Axis -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real Axis Imag Axis

图5-45b例5-8题的极坐标图 G平面 K大时 K小时 图5-46G(jo) K(Tio+(T2o+)(m/+1)n>m的极坐标图 Go)(Tjo+lTJo+1).(Mm-yjo+D) 图5-46所示为3种具有不同开环增益值的G(j四)极坐标图。对于大 的K值,系统是不稳定的。当增益减小到一定值时,G(O)的轨迹通过 1+j0点。对于小的K值,系统是稳定的。 一般来说,G(o)的轨迹越接近与包围-1+j0-1+10点,系统响应的震 荡性越大。因此,G(jo)的轨迹对-1+j0点的靠近程度,可以用来度量稳 定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表 示

155 图 5-45b 例 5-8 题的极坐标图 Re Im 0  1 G平面 K大时 K小时 图 5-46 ( ) (( 1)( 1) ( 1)) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2                   j T j T j T j K T j T j T j G j n m   n  m的极坐标图 图５-46 所示为 3 种具有不同开环增益值的G( j) 极坐标图。对于大 的 K 值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，G( j) 的轨迹通过 1 j0点。对于小的 K 值，系统是稳定的。 一般来说，G( j) 的轨迹越接近与包围-1+j0 1 j0点，系统响应的震 荡性越大。因此，G( j) 的轨迹对1 j0点的靠近程度，可以用来度量稳 定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表 示

Positive Im plane Negative I Gain Margin Phase Margin G Plane Re G(o) Re G(o Positive Negative Phase Margin Gain Margin Stable System Unstable System Positive egative Gain Margin Gain Margin 0 180° 270 L Positive Phase Margin Negative Phase Margin Stable System Unstable System 图5-47稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度 ①相位裕度、相角裕度( Phase Margin)y 设系统的截止频率( Gain cross-over frequency)为a A(jOc)=G(jOC)H(jO =1 定义相角裕度为 y=180°+/G(o)H(o) 相角裕度的含义是,对于闭环稳定系统,如果开环相频特性再滞后γ度,则

156 Re Im h 1 G Plane   Positive Gain Margin Positive Phase Margin -1 1 Re Im h 1   Negative Gain Margin Negative Phase Margin -1 1 Stable System Unstable System G( j) G( j) G Plane 图 5-47 稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度 相位裕度、相角裕度(Phase Margin) 设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为c ( )  ( ) ( )  1 c c c A j G j H j 定义相角裕度为 180 ( ) ( ) c c     G j H j 相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度，则