定理41(教材p115) 设y=g(x是连续函数,n=g(2): )ξ是离散型随机变量,其分布律为 P(=x)=P,t=1,2, 若∑|g(x)<+∞, 则E()=E[(=∑g(x,) 2)ξ是连续型随机变量,其概率密度为x), 若∫g((x)x<+∞, 则联(O)=Eg()=「8(x(x)x
定理4.1 (教材p115) 设y=g(x)是连续函数，=g()： 1) 是离散型随机变量，其分布律为 2) 是连续型随机变量，其概率密度为f(x)， P( = xi ) = pi ，i =1，2， 则 。 若 ， i i i i i i E E g g x p g(x p = = = = + 1 1 ( ) [ ( )] ( ) ) 则 。 若 ， E g g x )f x dx g(x) f x dx E( ) [ ( )] ( ( ) ( ) + − + − = = +
推广(教材p116): 设y=8(x,y)是连续函数5=(5,52)n=g(5,2) l)ξ是离散型随机变量,其分布律为 Pn=P(51=x,52=y,i,j=1,2, 若∑g(x,y 01<+0, 则E(O)=Eg(5,52)=∑g(x,y)P 2)ξ是连续型随机变量,其概率密度为∫(x,y) Oo-+OO 若∫g(x,y)(x,y)ah<+∞, ∞O+O 则E(7)=Eg(552)=∫∫g(x,y)(x,y)b
推广（教材p116）： 设 是连续函数， 1) 是离散型随机变量，其分布律为 2) 是连续型随机变量，其概率密度为 y = g(x，y) = (1 ， 2 )， = g(1 ， 2 )。 pi j = P( 1 = xi ， 2 = y j )，i，j =1，2， ( ) [ ( )] ( ) . ( ) 1 1 2 1 j i j i j i i j i j i j E E g g x y p g x y p 则 ， ， 若 ， ， ， ， = = = = + f (x，y)。 + − + − + − + − = = + ( ) [ ( )] ( ) ( ) . ( ) ( ) E E g 1 2 g x y f x y dxdy g x y f x y dxdy 则 ， ， ， 若 ， ， ，
例5.设二维随机变量(ξ,η)的概率密度为 f(x,少xx+y,当 0≤x≤1,0≤y≤l; 其它 试求ξn的数学期望 定理42(教材pl19) 1.设a,b,c为任意常数,若a≤≤b,则a≤E()≤b 特别,E(c)=co 2线性性:设a,a,…,an和b为任意常数,贝 EC∑a45+b)=∑aE(5)+b 3若5,52…,5n相互独立,则 E(52…n)=E(951)E(2)…E(n)
例5. 设二维随机变量(，)的概率密度为 试求的数学期望。 0 . 0 1 0 1 ( ) { ， 其它 ，当 ， ； ， + = x y x y f x y 定理4.2 (教材p119) 1. 设a，b，c为任意常数，若 特别，E( c)=c。 a b，则a E() b。 2. 线性性：设 a1 ，a2， ，an 和b 为任意常数，则 ( ) ( ) . 1 1 E a b a E i b n i i i n i i + = + = = 3. 若 1 ， 2 ，， n 相互独立，则 E(1 2 n ) = E(1 )E( 2 )E( n )
性质设8(x),t=1,2,…,n为连续函数5,2…,n 为相互独立的随机变量,则81(51),82(2,…,gn(5)也是 相互独立的随机变量。 由此可得 E[81(51)g2(52)…gn(n=E8(51)E[82(52)…Egn(5n 例6.(2003年数学一考研试题十一题) 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格 品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产 品放入乙箱后,求: 1)乙箱中次品数X的数学期望 2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率
性质 设 为连续函数， 为相互独立的随机变量，则 也是 相互独立的随机变量。 g x i n i ( )， =1，2，， 1 ， 2 ，， n ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 n n g ，g ，，g 由此可得 [ ( ) ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )]. E g1 1 g2 2 gn n = E g1 1 E g2 2 E gn n 例6. (2003年数学一考研试题十一题) 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格 品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产 品放入乙箱后，求： 1) 乙箱中次品数X的数学期望； 2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率
例7.(2002年数学三、四考研试题十二题) 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布, 平均无故障工作的时间(EX)为5小时。设备定时开机,出现 故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机。 试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)
例7. (2002年数学三、四考研试题十二题) 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布， 平均无故障工作的时间(EX)为5小时。设备定时开机，出现 故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。 试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)