湖南大学：《线性代数与解析几何》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 矩阵理论

例1 设 A B 5-1 求3A-2B 43 假3A-2B 1-10 301 5-1-3 129-31「2-20 903|10-2-6 1011-3 129 ‖第三章矩阵理论

例 1 第二章 矩阵理论       − − − −      − = 5 1 3 1 1 0 2 3 0 1 4 3 1 3 A −2 B 3       − − − −      − = 10 2 6 2 2 0 9 0 3 12 9 3 . 1 2 9 10 11 3       − − = 设 , 3 0 1 4 3 1       − A = 求 3 A − 2 B . , 5 1 3 1 1 0       − − − B = 解 上一页

52矩阵的运算 三矩阵与短阵的乘法 定义3 设矩阵A=(a1h)mx,B=(b)xm则定义A与B的乘积C为 C=AB (a1b1 J b 2 注意:只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘 ‖第三章矩阵理论

定义3 第二章 矩阵理论 三. 矩阵与矩阵的乘法 设矩阵 A = ( aik )m  s , B = ( bkj )s  n , 则定义 A 与 B 的乘积 C 为 C = A B ( ) . = ai1 b1 j + ai2 b2 j +  + ai sbsj mn 注意：只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.                       =                   s j j j i i i s b b b a a a 2 1 1 2 §2.矩阵的运算

例2 设矩阵A B=-11,求乘积AB和BA 4 103 AB 210 2×3203x2 1×4+0×(-1)+3×21×1+0×1+3×0 101 2×4+1×(-1)+0×22×1+1×1+0×0 6112 103 BA=-11 210 20 206 3×2 由例2可知矩阵乘法不满足交换律,有时甚至A与B可以相乘,而B与A不 能相乘.故通常把AB说成“A右乘以B”或“B左乘以A” ‖第三章矩阵理论

例 2 第二章 矩阵理论 设矩阵 , 2 1 0 1 0 3       A = , 2 0 1 1 4 1           B = − 求乘积 A B 和 B A . 3 2 2 3 2 0 1 1 4 1 2 1 0 1 0 3             −       AB = = 14+0(−1)+32 24+1(−1)+02 11+01+30 21+11+00 , 7 3 10 1 22       = 解 2 3 3 2 2 1 0 1 0 3 2 0 1 1 4 1                   BA = − 3 3 2 0 6 1 1 3 6 1 12            = − 由例 2 可知矩阵乘法不满足交换律, 有时甚至 A 与 B 可以相乘，而 B 与 A 不 能相乘. 故通常把 A B 说成 “ A 右乘以 B ” 或 “ B 左乘以 A ”. 上一页

例3 21 设A= B C D 25 试证:(1)AB=O;(2)AC=AD 远1)AB 21 00 O 「23 30 AC 30 AD 故C=AD 由例3知矩阵乘法不满足消去律,且两个非零矩阵的乘积可能是零阵 ‖第三章矩阵理论

例 3 第二章 矩阵理论 设 , 1 1 1 1       − − A = , 2 1 2 1       − − B = , 1 3 2 3       − C = . 2 5 1 5       − D = 试证：(1) A B = O ; (2) A C = AD . 1)       − −       − − = 2 1 2 1 1 1 1 1 AB       = 0 0 0 0 = O ; 2)       −       − − = 1 3 2 3 1 1 1 1 AC , 3 0 3 0       − =       −       − − = 2 5 1 5 1 1 1 1 AD , 3 0 3 0       − = 故 A C = A D . 由例 3 知矩阵乘法不满足消去律，且两个非零矩阵的乘积可能是零阵. 证 上一页

比较:1)在数与数的乘法中:ab=ba(交换律), 在矩阵的乘法中:AB≠BA 2)在数与数的乘法中:ab=ac(a≠0)→b=c(消去律), 在矩阵的乘法中:AB=AC台B=C 3)在数与数的乘法中:ab=0→a=0或b=0, 在矩阵的乘法中:AB=O台A=0或B=O 虽然矩阵乘法不满足交换律、消去律等,但可以证明它满足下列运算规律: (1)结合律:(AB)C=A(BC); (2)分配律:A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA (3)A(AB)=(λA)B=A(λB),λ为常数 第二章矩阵理论

第二章 矩阵理论 1) 在数与数的乘法中：a b = b a ( 交换律 ) , 在矩阵的乘法中： A B  BA ; 比较： 2) 在数与数的乘法中：a b = a c ( a  0 )  b = c ( 消去律 ) , 3) 在数与数的乘法中：a b = 0  a = 0 或 b = 0 , 在矩阵的乘法中： A B = O  A = O 或 B =O . 虽然矩阵乘法不满足交换律、消去律等，但可以证明它满足下列运算规律: (1) 结合律：( A B ) C = A ( B C ) ; (2) 分配律：A ( B + C ) = A B + A C ，(B+C) A =B A+C A ; (3)  ( A B ) = (  A ) B = A (  B ) ,  为常数. 上一页 在矩阵的乘法中： A B = AC  B = C ;