ta U U ′A 0 0 0 0 U 0 0 0 现在将1号杆的应变能二次型(K)U1),Um)与外功势能的 反号(F),U71)排成类似的表格形式,表中方块部份实际上就是 Uk| VA Ua vsFc单元刚度阵K,最后一列是载荷列阵 F1).将此表中各元素依次迭加到(KU, U与(F,U的大表中相应的位置上 A00000 去。例如,行U4与列UB的交叉处元素 为 将此元素与大表中行UA与列 V800090 UB的交叉处元素(谪为0)迭加并记入 大表中,又如行U与列F)的交叉处的元素为f),将此元素与 大表中行U与列F的交叉处元素(目前也为0)迭加并记入大表 中,等等 再对2号杆、3号杆作完全同样的处理。三个杆件迭加完毕 后,得到一张大表(见下页).表中的方块部份就是待求的总刚度 阵K,下三角部分元素由于对称性没有写出,最后一列是总载荷 列阼F. 这种机械而又单调的运算步骤恰好很适应于在电子计算机上 进行, °考察无应变状态 因为 (KVV=0<>(K)v,V4) (Kv,V2)(Kv,W)
Uc uI Leevi Cr 0 f3-方f fa crt"c f5-5tb 4 f 对称 fC 4中4 3 [U4= U B Uc+ Vr= 0 U c Y,ae 0 这组方程有六个未知数UAVA2U,Vg,Uc。V,但只有三个独 立方程,所以有三个线性无关的解: ()UA=Ua=Uc=1,pA=VB=Vc=0,力学上表 示X方向平移 (IUk=UxUc=0,VA=V=Vc=1.力学上表 示Y方向平移。 lIt) U 0, v=0; U, 第三个解在力学上表示为绕A点的无穷小(在杆系所在的平 面内)旋转.关于这一点可以直接验证如下:设平面坐标系XOY 上的点(X。Y)绕原点O作无穷小旋转,转角为,在此旋转下
CX.Y) 图8 点(X,Y)变为点(X',Y).根据坐标变换关系有 X aa Xcos co -y sin ca Y′= X sin co+ Y cos o 于是,点(X,Y)取得位移 U(X, y)=X+X e X (cos ao-1)-Y sin ca, V(X, Y)=Y-Y= X sin co +Y(cos o-1) 当转角很小时,coa≈1,sin如≈如,所以 U(X, y)-Yo, V(X, Y)=Xc 243) 今A点的坐标为Xx=YA=0,所以 Ua=v= 0 B点的坐标为XB→L(杆长),YB=0,所以 0.V C点的坐标为X Y2=y√2L,所以 U C Loo, v, L 2 2 由此可见,当三角形ABC绕A点作无穷小旋转时,三个顶点所 产生的位移与解(I])只相差一个常数因子L 以上三个线性无关的解也就是这个三角形杆系的三个独立的 无应变状态:二个平移、一个旋转.将它们依次简记为v,V v.于是,平衡方程KU一F有解的充要条件为 (F,V)=0,i=1,2,3 具体写出即是 28·
(F,V)=f一+侣 2 f8) 表示x方向的外力平衡; (F,v)= oa+vf2+vfe 化简得 (+f8)十(f份)+恐)=0 表示Y方向的外力平衡; (F, v) 8 f8 2\2 化简得十恐=0,表示外力关于A点的力矩平衡 这三个关于载荷自身的平衡条件还可以写成另一种等价的形 式.为此,将由(F,V)=0中得出的f+恐〓0代入 (F,ⅴ)蛔0式中,得到十恐〓0.再将+恐一0与 P+恐=0二式代人(Fv)〓0式中,得到P十份=0 后面这三个条件表示每根杆件上的轴向载荷自身平衡。这两组关 于载荷良身的平衡条件是等价的 当载荷自身的平衡条件满足时,无约束的杆系平衡方程有解, 但位移解不唯一:可以相差一个任意的无应变状态,在此例中就是 平面刚性位移.为了消除这种任意性,只要定位移向量U的六 个分量中的三个(或其线性组合).换言之,增加三个几何约束条 件,可以使总刈度阵由半正定变成正定.从力学上看就是要给出 个移约束使二角形杆系不能作平面刚性运动 至于固定位移的处理可以采用前面已经介绍过的任一种方
法 最后一步是解对称正定的代数方程组,我们在此不去讲 述了,可参阋线代数计算方法有关书 籍 例2矩形杆系(图9 为了简单起见、假设每个杆件的 抗拉刚度相同。此例中的四个杆件都 相互正交,所以可以不必取局部坐标 而直接写出整体坐标上的单元刚度阵 与载荷列阵.以下所有记号均同例1 1号杆:K)=c「1-1 11 U 2号杆:K(2) 3号杆:K)=c 0<3) f公 号杆:K( U44) 总刚度阵 10一100000 0Q0 1000.00 10-100 K=对称 10 F=(,f,,恐,恐3恐,份,f) Va vB,Uc vc, Up, VD? 无应变状态: