(F,v)=0,i=1,2, (241) 这里V,i=1,…,4是齐次方程KV=0的所有线性无关的 解 因为 KV-0+(Kv.v 即应变能等于0,所以齐次方程Kv一0的非零解亦称无应 变状态, 平衡方程(240)的系数阵也就是杆系总应变能二次型的系数 阵,即总刚度阵.它是由作为杆系组成单元的各个杆件的刚度阵 通称单元刚度阵,按照杆件端点之间的联结关系以一定方式迭加 而成的.同样,载荷列阵F也是由各杆件单元的载荷列阵按同 规则达加产生的 以上我们没有考虑固定端的位移约束情况.下面介绍三种处 理这类几何约束的常用办法.假定第讠个杆件第一个结点的位移 分量为固定:V=V(已知值),并设位移分量v是向 量U的第k个分量 第一种方法:划去平衡方程KU一F巾的第行(包括右端 项),令左端第代列中的未知量T-T并移到右端,特别当 =0时,只要简单地划去第列.方程组的阶数降低一次 有几个固定位移分量就处理几次,每次使系数阵的阶数降1.这 种处理方法的优点是节省存贮.但程序上稍复杂些,因为要改变 方程组系数阵的排列方式 第二种方法:将总刚度阵K中第行,k列非对角各元素置 0,对角元素置1,并将右端向量F的第个分量置V.方程组 1)等价性证明如下:若Kv=0,则显然有(Kv,V=0;反之,若 (KV,V)=0,任取向量U及实数t,因为矩阵K对称半正定,所以二次型 (K(V +iD),V+EU=(KV, v+2(KV,U)+I(KU, >0, 因此关于t的二次方程的判别式 (KV, U<(KV,V(KU, U=0, (Kv,U0对一切U, 于是KV=0,证毕
阶数不变。这种办法的优点是程序较简单。但要浪费一些存贮及 工作量。 第三种办法:将K中第行,点列的对角元素置一大数L,右端 F的第个分量置LⅥ,其余各元素保持不变。这样第个方 程中除了对角项外,其他各项都相对为小量,不起什么作用,由此 得LV≈LW,郎V≈V。这种办法的好处是程序上更为 简单,但和第二种方法一样要浪费存贮及工作量,并将带来一定的 误差 此外,尚有一种直接处理固定端位移约束的办法即在写各单 元的刚度阵时,先区别此杆件是否有固定端点.如有,则应用带固 定端的单元刚度阵,例如左端固定,则杆件的应变能 P(u),pr、_cni,c为抗拉刚度, 单元刚度阵C〓c,位移向量a=a2,载荷向量一左整体坐 标上的单元刚度阵 cos20 sin 6 cose K sin e cosb sin 载荷列阼 F=「 2 cos 8 f2sin」 位移向量 co U U sin日 这样做的好处是紧凑,节省存贮.缺点是对每个杆件都要事先判 断为何种类型的刚度阵过程不如前面那样划 经过固定端位移约束处理后的总刚度阵可能成为正定的,这 时平衡方程有唯一的位移解.但也可能仍为半正定的,这时位移 解不唯一,可以相差任一无应变状态 综上所述,分析平面抗拉杆系的主要步骤可以归结为以下几 点:
选取整体坐标和各杆件的局部坐标 2°写出各杆件的单元刚度阵及载荷列阵并将它们变换到总 体坐标上去 3°将整体坐标上的各单元刚度阵及载荷列阵按一定方式迭 加起来形成总刚度阵及载荷列阵 固定端位移约束的处理。如果在写单元刚度阵时已考虑 到位移约束此点可省略。 5°解平衡方程一线代数方程组,确定各结点在总体坐标 上的位移。如要计算局部坐标上的位移分量,则用变换(232) 关于将单元刚度阵及载荷列阵迭加成总刚度阵及载荷列阵的 详细过程将通过下面的例子具 Y 体加以说明 例1等边三角形杆系 (图7) 设有三条均匀杆件,序号 1、2、3,组成等边三角形ABC,460°Xg 每个杆件的局部x向坐标用箭 头表出.整体坐标与1号杆的 图7 局部坐标重合。将作用于各结点的外力分解为相交于此结点的二 个杆件的轴向力。记1、2、3号各杆的二端轴向力分别为,份; ,恐);恐),;上标表示杆号,下标表示作用的结点号.抗拉 刚度分别为c1c2,cs 先不考虑固定端位移约束及弹性支承。按照上面总结的几个 步骤分析如下: 1°,2°写出各杆件的单元刚度阵与载荷列阵 记局部x坐标与整体X坐标的夹角为.于是,我们有 1号杆:02=0,cos1-1,sin,=0 变换阵 cos 61sin日2 00 cos, sin 8, 0010 23
局部单元刚度阵C=11J,荷列阵P”= 位移向量u= 总体单元刚度阵K()=RIC1R1=c 总体载荷列阵F=R1fF1)=(10,份,0)2, 位移向量U)=(U4V4UB2°B)T,u4)=R1C7 号杆:62=120°,cos02 s11 1 2 C,=e 0 3 4 K(2)= RIC2R 3 3 F2)= Rif f}3),-把) 2 2
U2=(UE VB, Uc, vs), u2)ea R2 Ut2). 3号杆:03=240°,cos3 R 0 1-1 1 4 4 K(3)=RC3R3=c3 3 F-RF-(-2,-2,一=2P 2 Uc, vc, UA, VAT raUS 3°形成总测度阵与载荷列阵 我们用图解的办法详细说明各单元刚度阵的迭加过程.设总 刚度阵为K,载荷列阵为F位移向量为U〓( Ua, va, Ua, v Uc,Vc)r,将总应变能二次型(KU,U)与外功势能的反号 (F,U)排成表格形式,开始时各元素置0