(KV,V=0<>(K 1)vi), Vu)m(K(2)v2),v) (K 3)V(), V3))ma(K(4v), v4)) UR. y Vc.U D D 所以共有四个线性无关的无应变状态: I UA=UB=Uc=Up=l,V=VB=Vc=Vp X方向平移 (Il UA U 0 VBEVc Vp=l Y方向平移 (II)UA=0,VA=0;U=0,V=1;Uc=-1,Vc=1; 1,VD=0 绕A点的无穷小平面旋转 (Iv)U4=0, Va=0; Us=0,VB=0; Uc 0:;U 1,V A,B二点不动,C,D二点向右作等距的水平滑动 将这四个独立的无应变状态依次记为v,V,VⅥ。于 是,无约束矩形杆系的平衡方程有解的充要条件为 (F2v)=0 或者 (F,v)〓+倡+恐{+〓0,X方向外力平衡 (F,v)=份B)+f+f2+恐)一0,Y方向外力平衡; (F,v=f一f)+恐)一份0,绕A点力矩平衡; (F,v)一f)+f〓0,3号杆上轴向栽荷平衡。 将f十灬=0代人(F,V)〓0与(F,V)一0,分别得 f)+把)-0,+份 此二式表示2号杆与1号杆上的轴向载荷平銜.再将f+f= 0代入(FV2=0中得到+投〓0,表示4号杆上的轴向 载荷平衡 因此只有当各杆件上的轴向载荷自身达成平衡时,无约束的
矩形杆系的平衡方程才有解,这个结论与上例的三角形杆系是完 全一样的.此时位移解不唯一,可以相差一个任意的无应变状态 在本例中共有四个独立的无应变状态即二个平移,一个旋转以及 一个滑动(一边不动,对边作平行的等距滑动) 为了使平衡方程有唯一的位移解,必须附加四个约柬条件来 消除上述四个无应变状态,不过,单是固定,例如。A,B二点的 四个位移分量还不足以做到这一点,因为此时C,D二点还可以 作水平滑动.所以这四个约束条件实际上并不是独立的其中只 有三个是独立的.但是,如果固定A点的二个位移分量3再固定E 点或C点的Y方向位移分量以及C点或D点的X方向的位移分 量,这时总刚度阵就成为正定的,平衡方程有唯一的位移解 3非均匀杆的伸缩 3.1变形模式 §2讨论了均匀或分段均匀的抗拉杆件的弹性变形问题。当 杆件除了承受端点载荷外还承受纵向的体载荷,或者断面S的面 积AA(x)为可变,这时杆体内的应力分布虽然在每个断面上 可以认为是均匀的(或者只关心其沿断面的平均值)。但沿纵向则 不是均匀的,可以是坐标x的函数 位移“(x)也不再是线性的.因此整个体系不再能用有限个自由 度来刻画,这就是无限自由度的问题 断面S的内力 o(r)= 4(r)o() (32 按照虎克定律d=EB,得到 g= Ao= EAs= eau (33) 这可以视为杆件伸缩变形模式下的虎克定律.内力Q与应变B成 正比比例系数E称为断面的抗拉刚度,可以依x而变化 根据52,杆件伸缩的应变能体密度为 一
E82 对断面5积分后得应变能线密度 W一i(x)一{wd EEl 并有 Q W W (34) 再沿杆长积分就得到杆件的总应变能 PCu) Wd 1 o(us(u)d EA&(u)dx 2JE.1u'dr 32变分原理 给定位移函数#=“(x)不论是否为平衡态,都有与之相应 的应变能 edi 所以P(x)是“函数a(x)的函数”,叫做泛函 引入记号 EAuv'd 显然D具有对称性 而且是双线性的,即对“变元”和分别都是线性的: D(H,t)=tD(a,t),对任意实数r 38) D(u+w,以)=D(巛,)+D(u,) 称D(“,v)为u2v的双线性对称泛函,于是应变能 P(u) D
并且有 D(ua)≥0,对一切位移函数u 回忆在分均匀拉伸杆时,应变能 P= pqu un) 是变元=(1,…;N)的二次齐次函数,而在此非均匀杆的 情形,应变能P=P()是变元a=t(x)的二次齐次泛函满足 D(11,;n)=t2D(#,#) 3.9 +v)=(u, u)+2D(u, v)+dcu, v) 另一方面,设杆件承受体载荷,折算为单位长度的力为f= f(x),则外功势能 (310) F(x)也是变元l=a(x)的泛函但为一次齐次的,即线性泛函, 满足 F(u=F(u) 311) F(u+)=F()+F(v) 所以总势能 J#) DCu, u)-P(u) 是x的二次非齐次泛函,它的二次齐次部份为应变能D(w2a), 一次齐次部份为外功势能一F(n). 在§2关于有限个自由度的平衡问题用矩阵表述的变分原理 的基础上我们现在把变分原理提成更为抽象的形式,为的是使下 面的理论普遍适用于各种平衡问题,而不问应变能和外功势能的 具体形式.应变能和外功势能的一般特征是 1°D(x2a)≥0,而且D(,)为双线性对称泛函,满足条 件(38 2°F(a)为绽性泛函,满足条件(3.1) 这两个要求在线性弹性力学中是普遍成立的 在些平衡问题中,对位移x往往还规定有儿何约束,例如在
边界点x一a处规定位移值a(a)一(巳知值)等等,将所有 满足规定约束的位移a的全体记为K 若位移a,w∈K,则增量v一a-w足相应于规定约束的 化零约東,例如规定约束为w(a)=动,则相应的化零约束为 )=纵a) 八a 在弹性力学中这种位移增量叫做虚位移。实际上就是在颊定约束 许可范围内的增量.将所有虚位移的全体记为K。于是。若 g∈K,v∈K0,则w+v∈K. 如果在问题中对位移没有约束,则K就理解为所有位移的全 体,而凡K=K 为了方便,引进下述定义 定义: 1°应变能〔略去因子,下同)D(v,)在规定约束下称 为非负的,如果D(v,)≥0,对一切∈K0. 2°应变能D(v,)在规定约束下称为正定的,如果D v)>0对一切t∈Kb,v与0 3°应变能D(v,v)在规定约束下称为退化的,如果存在 v∈K0妄0,使得D(v,)=0.这种v称为无应变虚位移,或 称无应变状态 最小势能原理说在规定约束下,使总势能达到极小的位移就 是平衡态 丌4)=1D(n,x)-F(x)=Mn. 此处及以下均设a∈K 命题1.1设D(2v)为非负,则下面两个变分问题的解是一 致的: D(u2)-F(n)=Min(最小势能原理) 2°D(4,t)一F(p)=0,对一切v∈K(虚功原理) 证明设是问题1°的解,即是Jx)的极小点.任取