这一条件表示外载荷的自身平衡.根据上述三个问题的等价性, 它也就是无约束分段均匀杆件达到平衡的充要条件,关于这一点 在讨论均匀杆时已经提到过 如果条件(227)得到满足,此时方程组(226)有解但不唯一, 可以相差一个常数(刚性平移): 为方程组的任一特解。位移解虽不唯一,但应力a2或应变64 仍是唯一的,因为刚性平移对应力和应变无贡軼.当对解a加以 约束条件 0 后则位移解也是唯一的 容易看出,问题3°的极值方程组(2,26)就是平衡方程。事实 上命x为区段【x-1x的中点列出各个还段[x-至;x1+41, i·2,…,N-1以及[x1,x},【x-x]上的力的平衡方 程,得到 2hz+f1=0 a242十叮3A3+f=0 228) ANt N =0 利用应力应变关系以及应变位移关系,上述以应力为未知量的方 程组(228)即转换为以位移为未知量的方程(2,26) 因此在这里也和均匀杆情况一样,刚度阵C为对称半正定, 它既是应变能二次型的系数阵也是平衡方程的系数阵, 如果杆件的左端固定“〓0,这时应变能 P(a)=P(n,…,姒)=1n+1∑c、n-4-)2 U、矿 2 刚度阵
0 十 (229) 0 N 成为对称正定的,这是由于 CU,υ)=0 2 亦即 外功势能 F(u)=~(f2 fAwn)s-(F iN)? 总势能 J(m)=P(a)一F(a) (Cu,) 由于矩阵C对称正定,所以类似于(224)—(2.26)的三个等价问 题有唯一解而且解是相同的. 如果左端改为弹性支承,支座力为-c11+f.这时体系的 应变能应加上左端支座弹性能1c妞,得 P(a)=P(1,…,x)-1c1n c(a,-a;-)2 Ra u N (230) 0 由于(CD,叫)=0>"1=0,n1--1=0,i=2,…,N, 亦即 17
所以矩阵C对称正定,外功势能 F(a)=-(f1+…+fxn)=-(f2) 总势能 J(x)≌P(a)一F(u)=1(cm,a)-(F,a) 于是跟左端固定时一样,三个等价问题都有唯一解,只是刚度阵 C路有不同,下标范围应为ij=1,N 由此可见,在两端无约束情况下,刚度阵是半正定的,若一端 固定或弹性支承,刚度阵成为正定的亦即增加几何约束或弹性支 承可以提高刚度阵的正定性 24平面抗拉杆系 上面我们讨论了分段均匀杆件的伸缩变形,这种组合杆件有 特点,即各杆件的轴向是一致,将所用的分析方法略作一些修 改就可用来进一步讨论由不全在同一轴向上的抗拉杆件组合成的 平面结构所谓平面抗拉杆系 假定杆系中的每个杆件是均匀的,载荷都作用在杆件的端点 〔简称结点)上,杆件之间都是铰接.各杆件只考虑轴向伸缩不芳 虑正交于轱向的弯曲变形 由于杆件的轴向不全相同,为了处理方便有必要引入各杆件 的自身坐标,或称局部坐标(x,y),约定x方向总取为杆件的轴 图6 18
向.局部坐标上的位移向量记为(M,以),因为不考虑横向弯曲, 所以y方向分量t=0.除了杆件的局部坐标系外。还需引入 套平面上的整体坐标(X,Y)作为整个杆系的参考坐标,整体坐 标上的位移向最记为(U,V 设有杆件L,两个端点记为P12P,局部坐标与整体坐标见 图6 两套坐标之间的变换关系为 x ma Coso y sin e Xsn日十Ycos日 与此相应,位移的局部分量与整体分量之间的变换关系为 t"Ucosθ+vsin, (231) U sine+ vcos 8 我门暂且不考虑固定端的情况。于是根据22节,设两端不 受约朿或弹性支承的杆件在局部坐标上的刚度阵为C(具体形式 见2.2节有关各式)2则其应变能 P(a)P(1,4)m1(ca,a), 外功势能 F(u)地一( ff2为作用于杆件两端P1,P2的轴向载荷。 现在将局部位移向量变换到整体坐标上去.由变换关系式 231) U cos 60 0 0csin0J/2/~RU,(2.32) 变换矩阵 R=/cos0 sin 8 0 0 233) : e sin e. U
于是,在整体坐标上杆件的应变能表达式为 P(U)=+(CRU, RU)=A(R'CRU, U (KU, U 234) 外功势能 RU)=-(RT,U〓-(FU.(2.35) 矩阵K←RTCR即为整体坐标上杆件的刚度阵,显然仍是对称 半正定的;F=R7f为相应的载荷列阵 设第讠个杆件在整体坐标上的应变能为 P(U)士(K,U) 外功势能为 F(U)-(F),U) 将所有各杆件的应变能及外功势能分别迭加起来,就得杆系的总 应变能及总外功势能 U) P(U) (KoUm),U()) (KU, U 236) F(U)→-∑F( ∑(F,U)=-(F,U 而总势能 J(U=P(U)-F(U∞1(KU,U)-(F,U),(237) 这里矩阵K是杆系的总刚度阵,F为总载荷列阵.注意,K仍然 是对称半正定的 根据上面多次提到过的等价性,下列三个问题 (KU,U一(F,U)如Mi (238) 2°(KU,V一(F,V=0,对一切V 3°KU=F 或者同时有解而且其解相同,或者司时无解.有解的充要条件为