或写为内积形式 (Cg,)-(=0,对一切U 2.15 方程(214)就是二端不受约束杆件的平衡方程.事实上,任 取断而5它将杆件分为Ω,叶+两部分(图3a),每一部分可建立 一个平衡方程 :f1+dA=0 ;一0A+f2≌0 将 EE= E L 代人上式即为(2.14)式 平衡方程(214)的系数阵C也就是应变能二次型的系数阵, 即刚度阵它是奇异的因为其行列式 det c 所以方程组(214)不一定有解.相应的齐次方程组 c(v一Ut 有通解 为任意常数。显然可 见,非齐次方程组(214)有解的充要条件为右端载荷向量f与U 正交 (f:)=以f四) f+f2=0 它表示两端外载荷的自身平衡,这是无约束杆件平衡的先决条件: 或称为相容条件,在此条件下,平衡方程有解.其特解为
这时通解 +2 所以解不唯一,可以相差一个a①)3相当于刚性平移.但应力解则 是唯一的: f2/d 由此可见应力a在整个杆件上是均匀的,因此对应力高仍是单自 由度的问题,但对位移言则有两个自由度x12m2 现在将左端载荷改为弹性支承,设此端受至支承的弹性反力 与位移的偏差成正比 c1(1-)=-c1十f;f曰c1; 此处c1>0为支承的弹簧常数,为基准位移,为已知值.因 此支承力可以视为弹性反力一c及与位移a无关的载荷f c11之和.这时体系的总应变能除了杆件的应变能c(n2-a) 外,还要加上支承的弹性能1c1,即 P(a)=P(t1:a)=1c(m2-x1)2+1c 2 =(Cu, u 此处 c十c C (217 是刚度阵,显然为对称正定 外功势能仍为 F(u)=-(fu) 体系的总势能为 J(a)=(n1,n2)=±(ca,u)-(f,∞) 与前面讨论过的两类情况一样:这时仍有三种等价的数学提法: 12·
1J(a)=(Cu. u)-(f,u=Min 2°(C,U)一(f,υ)一0。对一切υ 3°Ca=F, 218) 要验证由变分原理导出的方程(218)就是平衡方程,只要将 杆件分割为谢部分Q,9,分别写出平衡方程 C-Guu,+fi)+od A十f=0 再将应力σ用位移E当2了“替代即可 平衡方程(218)的系数阵C就是刚度阵(217),它是正定的, 所以有唯一解 f十 土十在十左 (219) 相应的应力解为 所以应力在整个杆件中仍然是均匀的 由以上讨论可以看出二点:1°.刚度阵总是对称正定或半正 定,并且有两种含义,一是作为应变能二次型的系数阵,二是作为 平衡方程的系数阵,2°.凡加上端点几何约束或弹性支承都能提 高刚度阵的正定性,亦即提高应变能二次型的正定性 上述关于均匀杆伸缩的分析可以立即推广到分段均匀杆以及 平面抗拉杆系,下面两节分别讨论这两种情况 23分段均匀杆 设杆件x≤x≤x分为N-1个区段:[x13x2],[x2 x3],,[xN-x].每一没【x-x]具均匀的材料常数E 和断而积A2长度为L:=x;x,在各个交界断面x=x1… xN上们载荷f1;…·,.在每段内部不再有载荷,这就保证在每段 [x-13x]内部应力和应变都是均匀的:
而位移为线性的.于是,从整体看,a(x)与e(x)均为分段常 数,t(x)为分段线性,即为由节点位移a1;…,wN所决定的折线 分布(图5) 图5 下面写出这个组仑杆件的应变能,它等于各段的应变能之和 而区段[x;-x;的应变能,根据(211),等于 c;(;--) E;:4; 所以总应变能 (u)m P(u ;(t (Cu, u 这里位移向量a=(n12…,),上标T恒示向量或矩阵的 转置,而矩阵 0 C一[c];,;=1,…N (221) 为三对角线带状对称阼,称为这个组合杆件的刚度阵.因为 P(u)≥0对一切a,所以C为半正定的 44
体系的外功势能为一F(a), F(u)=FCa ,= 所以总势能 1 U V U 根据最小势能原理,平筷态位移使总势能取极小值 J(u)=Min 另一方面,由于刚度阵C对称半正定根据微积分中的多元函数极 值理论可知下列三个问题是等价的,即或者同时有相同的解或者 同时无解: J(u) I. LI (224) 2°(CU,υ)-(f,U)=0,对一切U=(n1,……,N)r,(2,25) c;4li-f,=0,i=1 (226) 二次型 〔C,0)=1∑;v1-;-) 2,…,N,亦即1=t2 vN=a(任意常数),所以刚度 阵C是退化的,行列式等于0.齐次方程 ∑m0 N 的非零通解为 N=a(相当于刚性平移).根据线代数的 基本理论,退化方程组(226)有解的充要条为其右端向量f与 齐次方程组的通解υ=(a,…,a)正交 (F,)=a(f+…+f)=0 即 f1十……+f=0 15