再考虑Ω区段上的平衡(图3b)得 Q+f=0 即 d+f一0, 23) 这就是用应力表示的平衡方程,由此立即解出应力 杆件的弹性变形用相对伸长来度量,叫做应变,记为B,于是 虎克定律(21)可以用应力与应变表示为 8L E (24 6>0相当于拉伸变形,8<0相当于压缩变形.在上述均匀载荷 细长杆的条件下,应变8与应力a一样也是均匀的 如果应力a在杆内不是均匀的,则应变日也不是均匀的而是 个相对伸长的极限值.设在载荷作用下杆件发生变形,坐标为 x处的质点取得位移u(x),与x相邻近的点x=x+△x的位移 为a(x)=n(x+△x),于是相对伸长的极限为 um(x+△)-x(s)=n(x) △x 这样,在每一点x可以用位移a(x)的导数(x)作为应变的度 25) 当应变为均匀时,位移是x的线性函数 u(x)n1+4二4x, 26) L 其中 (0)=0 y(L)=8L 根据(25)与(25)式以及虎克定律(24),我们可以将用应 力表示的平衡方程(23)改写为 EA L
系数称为杆件的抗拉刚度.由此立即解出位移 Lf EA 平衡方程(27)以位移#作为未知量,先解出位移,再用(25) 式与虎克定律求应变与应力,这种按位移求解平衡方程的方法叫 做位移法。相反,平衡方程(23)以应力a为未知量,先解出应力, 再用虎克定律与25)式求应变与位移,这叫做力法.位移法和力 法是弹性力学中解平衡方程的两种常用方法.本书主要讨论位移 法 单独一个弹性模量E还不足以刻画材料的全部弹性性质.实 验表明,在纵向载荷导致纵向的拉伸〔压缩)变形的同时必伴以欖 向的压缩(拉伸)变形(图2b).事实上。上面定义的u2E3a只是对 纵向x而言,类似地还可以定义另外两个横向即y和z方向上的 位移",;应变8,0 2,e=。以及应力a,,对于上述 纵向载荷下纵向拉伸的虎克定律应写为 Eer 与此同时有横向压缩与纵向拉伸成比例 这里无量纲数也是只依赖于材料的常数,叫做泊松比.式中的 负号表示在纵向载荷作用下,纵向与横向的应变相反号.可以证 明,各向同性(即对于任意旋转具有不变性〕的固体材料的弹性性 质可以通过弹性模量E和泊松比两个常数来完全表达。但各向 异性材料则不然.例如对于立方晶体需要三个材料常数,而对于 般的三斜晶体则需要21个常数。对于泊松比v,后面将要证明 表1列出一些工程材料的弹性模量和泊松比.可以看到,E 是很大的数.这就是说,在通常的载荷条件下弹性应变是很微小 的.事实上描述应力与应变之间线性关系的虎克定律(即所谓弹
性定律)只是在微小应变时才成立,当应力增加到一定程度时,材 料开始屈服,无须显著地增加应力就会有显著的变形,材料成为 塑性的.当应变继续增加后最终会造成破坏.有些工程材料对 于拉伸和压缩的抵抗是不对等的例如混凝土能抗压而不甚抗拉。 此外,有些工程材料加载时在8-σ平面中沿一糸路径上升,而在卸 载时却沿着另一条路径下阵,只能部分地回到原来状态而遗留有 永久的变形。所有这些都是对于理想的线性弹性规律的偏离,虽 然在实践上都是常见的,但本书将不予讨论 丧1 材料 弹性模量E(达因/厘米3) 泊松比 铜 II.0×10 混凝土 2.7×10 橡皮 0.05×101 22变分原理与乎衡方程 现在我们从能量吕发,用变分原理对均匀杆件的伸缩变形作 进一步的分析 杆件在变形时内力作功,作为应变能贮存起来.在杆件内任 取单位断面积及单位长度的体元。 设想体内应力即单位面积上的力 由0变到σ,相应地应变即单位长 度的伸长e'由0变到(图4) 命 图 则z由0变到1.所以单位体元所 贮的应变能(或称应变能体密度)为 toEd=σ8ltdt 注意式中有因子1/2,因为纵向载荷对于同时产生的横向变形不
作功,故后者对于应变能无贡献 由(28)式,单位长杆元的应变能(或称应变能线密度)为 印=WA=1A0B=1EA2 所以杆件的总应变能(考虑到左端固定,即n1=0)为 PaWl=leale=1EA(u2-u2=lcu 2∑ ed 29) 另一方面,右端载荷f对当地位移n作功fx2所以外功势能 为一fax,于是杆件的总势能为 1 2 c的一f 这是单自由度的问题变元为a2.其形式与§1弹簧伸缩吋的势能 表达式(16)完全相同,因此仍有三种等价的数学提法(为了简 化,记 1°最小势能原理:J(w)、c2-fa=Min 2°虚功原理:cu一=0,对一切虚位移u: 3°平衡方程:cu 下面考察杆件的两个端点都受载荷f1,f2的情形。这时两端 位移m12w2都不受约束,应变能为 P(a)=P(m2)=1<(n2-n)一1(ca,a)(2.1) 此处 而(,v)表示向量a和U的内积.应变能二次型(2.11)的矩阵 C称为刚度阵,它是对称的,而且由于应变能P(n)≥0,所以C是 半正定的 外功势能为
F(a)=-(+242)=-(Fu、F1(212) 力z 于是杆件的总势能 J(a)=J(n1,42)=1(ca,m)-F(a),(213) Ju)是变元a,砌的二次函数,有两个一阶偏导数和四个二阶偏 导数 cu1-cu2-f1 14888 C au2 并且有展开式 八1十1n2+v2)=J(41,2) 02 +>i ou viti 由于一阶导数阵=C为半正定的,所以由上面的展开式可知 总势能J达到极小的充要条件为∫=0,即 J 6666 J 写成矩阵形式为 它也等价于虚功原理即J的一次微分恒等于零: a du +cn2-f2)v2=0: 对一切v2n 10