第一章弹性变彩的简单模式 §1弹簧的简单伸缩 1.1变形模式 设有一长度为L的弹簧,一端O固定在另一端A加力使之拉 伸或压缩.设在外力f作用下,弹簧的伸长即A点的位移为a(图 1).规定“>0为拉伸,“< 0为压缩实验证明,在“0000 定的范園内,所加的外力f 与弹簧的伸长4成正比: ,(1)d9 c>0是弹簧常数,依赖于 弹簧的材料特性与几何尺 寸 弹簧的一端加力后,内 图1 部产生所谓弹性反力.根据作用与反作用互等原理,弹簧伸长 时的弹性反力为 R R是弹簧的内力,方向与外力相反,这就是虎克定律 因此,在外力f作用下,当弹簧伸长为时,其合力为 FR+fa-cu+ f 符别当合力F0时,弹簧处于平衡状态即 十f=0 (1.3) 这是质点d的平衡方程。由此解出平衡态的位移 f 再由虎克定律得到d点的弹性反力
R Fact f. 再考察弹簧的合力F.当一质点在外力F作用下移动距离 da,若力与位移的方向一致,则所作的功等于 dw a fdu 质点的势能dJ3按照习惯表为功的反号,即 d=-dw aaa- Fdu 或者写为 =-F (14) 积分后得 J=一}Fd+Jo (15) 其中J是一个积分常数,表示某一基准势能,不妨取J=0.因 此,若已知势能丿则微分一次并取反号即得力F,反之着已知 力F,则积分一次并取反号即得势能J 今弹簧的合力 F=F()=-c+f 而受力方向又与伸缩方向一致所以其势能 J(a)= Fdu =cu-fu (16) 这就是弹簧在外力f作用下伸长#时所具有的势能(不管是否为 平衡态) 弹簧的合力F是由两部分组成的.一部分是内力,一部分是 外力,分别记为 F内=R F=F十F 与之相应,势能J也可分为两部分 丿〓l内十J 并且有 F 内 =一c F d u d
内是弹簧内部的弹性能是位移的二次函数,而且是正定的,即 内≥0,j=0当且仅当4=0时, 注意式中有因子±。孙称为外功势能,是“的一次函数,并有负 号 12变分原理与乎衡方程 以上是从直观的力的平衡原理来推导平衡方程.重要的是 弹性力学中的平衡方程还可以从全然不同的途径即根据最小势能 原理导出 事实上根据(14)3势能与力的关系为 dj 因此,平衡方程F=0等价于“0.由于二阶导数 >0 d u2 所以平衡态位移H使势能J取极小值。反之,使势能取极小值的 状态必为平衡态,这就是最小势能原理 这样,力学上的平衡问题归结为数学上的极值问题即变分问 题 J Cu)=-cu2-fu* Min 最小势能原理还有另一种等价形式,所谓虚功原理。设平衡 态位移κ获得增量或称虚位移v而变为十v.这时弹簧的势能 从∫(a)变到r(a-).由于f()是a的二次函数,所以 (a+v)=J(a)+rx)+±丿"(a)n2 ∫(x)+∫(x)x+1 由此显然可见,J达到极小值的充要条件是 丿(x)=0
亦即 c-f=0,对一切虚位移 它的力学意义为:平衡态位移使虚功总和为零,因此也叫虚功原 理 综上所述,下列三个问题的解是等价的: 1°最小势能原理:J(a)=cn2-fn=Min; 20虚功原理:cu一扣=0对一切虚位移v; 3°平蘅方程:cu-f0 对于弹簧伸缩这种最简单的一个自由度的平衡问题来说,上述三 种数学提法的等价性几乎是同义反复,没有什么实质性的内容差 别.然而这种等价性对于本书将要讨论的其他各种弹性平衡问题 也都是普遍成立的.那时将会表明,不同的数学提法将导致不同 的解题途径,而其实际效果则是极不相同的.换句话说,数学上的 等价性并不意味着实际上的等效性。 §2均匀杆的伸缩 21变形模式 取一条沿x轴向的等断面细长杆,长度为L,断面积为A 将其一-端固定。另一端加以均布的纵向载荷使杆拉伸.设载荷合 力为f杆件的伸长为BL〔图2).与弹簧伸缩一样,这时有虎克定 律即作用于杆件的单位面积力fA恒和相对伸长δL/L成正比: (21) E为只依赖于杆件材料而不依赖于几何尺寸的常数,叫做弹性模 量或杨氏模量.由于为无量纲,所以弹性模量z的量纲与左 端上,即为力 面积
BE 图2 杆件在载荷作用下发生弹性变形,内部处于紧张状态产生内 力.任取横断面(与杆的纵向x轴正交)S它将杆件Q分割为叶 -两部分(图3a),跨过S彼此有力作用,其单位面积力称为应 力.命正方Ω跨过S作用于负方Q的应力为σ.在端面上载荷 为均布的以及杆件细长的条件下,可以认为应力a在S上也是均 布的.所以整个断面上正方作用于负方的应力的合力即内力为 (22) 断面上负方作用于正方的内力则为一Q,>0表示拉力,Q<0 表示压力 “0耳更事 图3 任取两个断面S,S其坐标分别为x,x,相应的内力为Q(x), Q(x).考虑这两个断面间的截断的平衡(图3c).由于S-S之 间没有载荷,所以 -Q(x)+Q(x)=0, 从而 σ(x)←0(x) 即应力a(x)与断面所在的x坐标无关 常数