状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计

第36卷第4期 北京科技大学学报 Vol.36 No.4 2014年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2014 状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出 调节器设计 曹梦娟2，廖福成2》四 1)北京科技大学自动化学院，北京1000832)北京科技大学数理学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:fcliao@ust山.edu.cm 摘要研究了带有状态时滞的多采样率线性离散时间广义因果系统的最优输出调节器的设计问题.首先利用离散提升技 术将原系统转化为形式上无时滞的系统。再通过等价变换，利用系统的因果性特点将其化为一个正常系统.继续对系统进行 离散提升，导出一个形式上简单的单采样率系统.然后将原系统的二次性能指标函数修正为单采样率系统的二次性能指标 函数，进而利用最优调节原理，得到其最优调节器.再经过变换，得到多采样率系统的最优输出调节器.同时对导出的单采 样率系统的能稳定性和能检测性进行了讨论，给出了严格的数学证明.最后的数值仿真表明，本文所设计的最优调节器是有 效的. 关键词时滞控制系统：因果关系：采样；离散时间系统：最优调节器 分类号TP273 Design of optimal output regulators for multirate linear discrete-time descriptor causal system with time delay CAO Meng juan,LIAO Fu-cheng) 1)School of Automation,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:fcliao@ustb.edu.cn ABSTRACT This paper introduces the design problem of optimal output regulators for multirate linear discrete-time descriptor causal systems.At first,by making use of the discrete lifting technique the original system is transformed into no state time-delay system in form.Then thought the equivalent transformation,taking advantage of the causal characteristics of the system,it is changed into a nor- mal system.Continuing to apply discrete lifting into the system,a simple single-rate system in form is exported.The performance index function of the original system is modified to that of the single-rate system,and then an optimal output regulator is obtained by using the optimal regulator theory.Through transformation an optimal output regulator for the original system is finally derived.At meantime,the stabilizability and detectability of the exported single-rate system were discussed,and their rigorous mathematical proofs were given. Numerical simulations proved the effectiveness of the preview controller designed in this paper. KEY WORDS delay control systems:causality:sampling:discrete time systems;optimal regulators 广义系统理论是控制系统理论的一个重要组论、电路理论、经济学理论等方面得到广泛的应 成部分，在过去的20多年里得到了国内外控制界 用四.广义系统理论在内容方面己经非常丰 学者的广泛关注.广义系统能比正常系统描述更 富).其中，广义系统的最优调节理论已经有相 多的系统性能特征，己经在大系统、奇异摄动理 当成熟的结论]. 收稿日期：2013-0206 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61174209) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.04.019:http://journals.ustb.edu.cn

第 36 卷 第 4 期 2014 年 4 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 4 Apr． 2014 状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出 调节器设计 曹梦娟1，2) ，廖福成2)  1) 北京科技大学自动化学院，北京 100083 2) 北京科技大学数理学院，北京 100083  通信作者，E-mail: fcliao@ ustb． edu． cn 摘 要 研究了带有状态时滞的多采样率线性离散时间广义因果系统的最优输出调节器的设计问题． 首先利用离散提升技 术将原系统转化为形式上无时滞的系统． 再通过等价变换，利用系统的因果性特点将其化为一个正常系统． 继续对系统进行 离散提升，导出一个形式上简单的单采样率系统． 然后将原系统的二次性能指标函数修正为单采样率系统的二次性能指标 函数，进而利用最优调节原理，得到其最优调节器． 再经过变换，得到多采样率系统的最优输出调节器． 同时对导出的单采 样率系统的能稳定性和能检测性进行了讨论，给出了严格的数学证明． 最后的数值仿真表明，本文所设计的最优调节器是有 效的． 关键词 时滞控制系统; 因果关系; 采样; 离散时间系统; 最优调节器 分类号 TP273 Design of optimal output regulators for multirate linear discrete-time descriptor causal system with time delay CAO Meng-juan1，2) ，LIAO Fu-cheng2)  1) School of Automation，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: fcliao@ ustb． edu． cn ABSTＲACT This paper introduces the design problem of optimal output regulators for multirate linear discrete-time descriptor causal systems． At first，by making use of the discrete lifting technique the original system is transformed into no state time-delay system in form． Then thought the equivalent transformation，taking advantage of the causal characteristics of the system，it is changed into a nor￾mal system． Continuing to apply discrete lifting into the system，a simple single-rate system in form is exported． The performance index function of the original system is modified to that of the single-rate system，and then an optimal output regulator is obtained by using the optimal regulator theory． Through transformation an optimal output regulator for the original system is finally derived． At meantime，the stabilizability and detectability of the exported single-rate system were discussed，and their rigorous mathematical proofs were given． Numerical simulations proved the effectiveness of the preview controller designed in this paper． KEY WOＲDS delay control systems; causality; sampling; discrete time systems; optimal regulators 收稿日期: 2013--02--06 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 61174209) DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 04． 019; http: / /journals． ustb． edu． cn 广义系统理论是控制系统理论的一个重要组 成部分，在过去的 20 多年里得到了国内外控制界 学者的广泛关注． 广义系统能比正常系统描述更 多的系统性能特征，已经在大系统、奇异摄动理 论、电路 理 论、经济学理论等方面得到广泛的应 用［1］． 广义系统理论在内容 方面已经非常丰 富［1--3］． 其中，广义系统的最优调节理论已经有相 当成熟的结论［4--5］．

·552 北京科技大学学报 第36卷 在计算机控制系统中，具有两个或两个以上不 则系统(2)受限等价于 同采样周期的采样器或保持器的数字控制系统就是 x1(k+1)=A1x1(k)+A2x2(k)+B,u(k), 多采样率系统.多采样率系统的理论分析和相应的 0=A21x1(k)+A2x2(k)+B2u(k), 控制系统设计一般都比单采样率系统复杂，但它能 y (k)=Cx (k)+Cx (k). 实现更多的控制目标，如改善系统的增益裕量、同 (4) 时稳定、强镇定和分散控制.在大型工业控制中， 由文献B],系统(4)（从而系统(2）)为因果 被控对象往往很庞大很复杂，不同子系统的信号变 系统的充分必要条件是矩阵A2可逆.易知 化速率相差很大，要求系统各处都采用相同的采样 周期是不实际的，这就使得人们必须采用多采样率 D1erl2」 控制系统圆 为了研究多采样率系统(1)最优输出调节器， 多采样率离散时间正常系统的预见控制问题取 需要以下基本假设： 得了很大的理论成果习.其中文献9]推广文献 (A1)假设存在入≠0，A≠1，使得det（A+E- 门8]的结果，得到了一般多采样率系统的最优预 AA-Ad)≠0： 见控制器.文献0]成功将广义系统理论与预见控 (A2)假设对任一满足IAI≥1的复数入，矩阵 制理论相结合，得到了离散时间广义因果系统带有 +1E-AA-AB]行满秩： 预见前馈补偿的最优预见控制器.本文针对状态时 (A3)假设对任一满足I入I≥1的复数入，矩阵 滞多采样率线性离散时间广义因果系统，利用提升 AE-AA-A 列满秩； 技术将系统转化为形式上简单的无时滞的单采样率 A'C 系统，最终得到了原系统的最优输出调节器. (A4)假设状态向量x(k)和输出向量y(k)仅 在k=iN(i=0,1,2,…)时能被测量，N为正整数 1 数学模型及相关假设 附注：当状态时滞d=0时，即正则广义系统 考虑如下具有状态时滞的、正则的线性离散时 (1)的第一个方程成为Ex(k+1)=(A+A)x(k) 间广义因果系统 +Bu(k),即系统不含有状态时滞.在这种情况下， Ex(k+1)=Ax(k)+Ax(k-d)+Bu(k), (A1)中的不等式成为det(AE-(A+Aa)≠0，这 Ly(k)=Cx ( 正好是正常广义系统正则性的加强条件.通过 (1) 类似的分析可知这时(A2)和(A3)分别是正常广义 其中：x()∈R”是状态向量；u(k)∈R是输入向 系统的能稳定性与能检测性的加强条件.另外， 量；y(k)∈R“是输出向量：E、A、A、B和C是具 (A4)说明系统是输入型多采样率系统。 有适当维数的常数矩阵；d>0是系统的状态时滞， 2 构造形式上无时滞的系统 取整数；E为奇异矩阵，满足rank(E)=q<n. 对于带有状态时滞的多采样率线性离散时间广 为了方便，同时考虑无时滞、正则的线性离散 义系统(1)，先利用离散提升技术，转化为一个形 时间广义因果系统： 式上无时滞的系统. Ex(k+1)=Ax(k)+Bu (k), (2) 可以利用提升技术消除时滞.提升技术的精髓 Ly(k)=Cx(k). 是把x(k-d),x(k-d+1),…,x(k-1)和x(k)一 按照矩阵理论，任何矩阵都可以通过初等变换化为 样，都加入到系统的状态向量中，也就是把系统 标准形.因此，存在非奇异矩阵Q,和P,使得 (1)中的第一式与若干个恒等式 0 利用这个变换，对于系统(2)， x(k-d+i)=x(k-d+i),i=1,2,…,d 00 联立得到一个形式系统.为此，令 令 x(k-d) [.00 …0 01 x)=P出eR,x因eR, x(k-d+1) 0L.0 …0 0 0 0 0 c-G) X()= ,E= 01n x(k-2) ξ B x(k-1) 0 0 0 …In 0 (3) x() 0 0 0 …0E」

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 在计算机控制系统中，具有两个或两个以上不 同采样周期的采样器或保持器的数字控制系统就是 多采样率系统． 多采样率系统的理论分析和相应的 控制系统设计一般都比单采样率系统复杂，但它能 实现更多的控制目标，如改善系统的增益裕量、同 时稳定、强镇定和分散控制． 在大型工业控制中， 被控对象往往很庞大很复杂，不同子系统的信号变 化速率相差很大，要求系统各处都采用相同的采样 周期是不实际的，这就使得人们必须采用多采样率 控制系统［6］． 多采样率离散时间正常系统的预见控制问题取 得了很大的理论成果［7--9］． 其中文献［9］推广文献 ［7--8］的结果，得到了一般多采样率系统的最优预 见控制器． 文献［10］成功将广义系统理论与预见控 制理论相结合，得到了离散时间广义因果系统带有 预见前馈补偿的最优预见控制器． 本文针对状态时 滞多采样率线性离散时间广义因果系统，利用提升 技术将系统转化为形式上简单的无时滞的单采样率 系统，最终得到了原系统的最优输出调节器． 1 数学模型及相关假设 考虑如下具有状态时滞的、正则的线性离散时 间广义因果系统 Ex( k + 1) = Ax( k) + Ad x( k － d) + Bu( k) ， {y( k) = Cx( k) ． ( 1) 其中: x( k) ∈Ｒn 是状态向量; u( k) ∈Ｒr 是输入向 量; y( k) ∈Ｒm 是输出向量; E、A、Ad、B 和 C 是具 有适当维数的常数矩阵; d ＞ 0 是系统的状态时滞， 取整数; E 为奇异矩阵，满足 rank( E) = q ＜ n． 为了方便，同时考虑无时滞、正则的线性离散 时间广义因果系统: Ex( k + 1) = Ax( k) + Bu( k) ， {y( k) = Cx( k) ． ( 2) 按照矩阵理论，任何矩阵都可以通过初等变换化为 标准形． 因此，存在非奇异矩阵 Q1 和 P1，使得 Q1EP1 = Iq 0 [ ] 0 0 ． 利用这个变换，对于系统( 2) ， 令 x( k) = P1 x1 ( k) x2 ( k [ ] ) ，x1 ( k) ∈Ｒq ，x2 ( k) ∈Ｒn － q ， Q1AP1 = A11 A12 [ ] A21 A22 ，Q1B = B1 [ ] B2 ，CP1 = [ ] C1 C2 ． ( 3) 则系统( 2) 受限等价于 x1 ( k + 1) = A11 x1 ( k) + A12 x2 ( k) + B1u( k) ， 0 = A21 x1 ( k) + A22 x2 ( k) + B2u( k) ， y( k) = C1 x1 ( k) + C2 x2 ( k) { ． ( 4) 由文献［3］，系统( 4) ( 从而系统( 2) ) 为因果 系统的充分必要条件是矩阵 A22可逆． 易知 A22 =［0 In － q］QAP 0 In － [ ] q ． 为了研究多采样率系统( 1) 最优输出调节器， 需要以下基本假设: ( A1) 假设存在 λ≠0，λ≠1，使得 det ( λd + 1 E － λd A － Ad ) ≠0; ( A2) 假设对任一满足 | λ | ≥1 的复数 λ，矩阵 ［λd + 1 E － λd A － Ad B］行满秩; ( A3) 假设对任一满足 | λ | ≥1 的复数 λ，矩阵 λd + 1 E － λd A － Ad λ [ ] d C 列满秩; ( A4) 假设状态向量 x( k) 和输出向量 y( k) 仅 在 k = iN( i = 0，1，2，…) 时能被测量，N 为正整数． 附注: 当状态时滞 d = 0 时，即正则广义系统 ( 1) 的第一个方程成为 Ex( k + 1) = ( A + Ad ) x( k) + Bu( k) ，即系统不含有状态时滞． 在这种情况下， ( A1) 中的不等式成为 det ( λE － ( A + Ad ) ) ≠0，这 正好是正常广义系统正则性的加强条件［10］． 通过 类似的分析可知这时( A2) 和( A3) 分别是正常广义 系统的能稳定性与能检测性的加强条件． 另外， ( A4) 说明系统是输入型多采样率系统． 2 构造形式上无时滞的系统 对于带有状态时滞的多采样率线性离散时间广 义系统( 1) ，先利用离散提升技术，转化为一个形 式上无时滞的系统． 可以利用提升技术消除时滞． 提升技术的精髓 是把 x( k － d) ，x( k － d + 1) ，…，x( k － 1) 和 x( k) 一 样，都加入到系统的状态向量中，也就是把系统 ( 1) 中的第一式与若干个恒等式 x( k － d + i) = x( k － d + i) ，i = 1，2，…，d 联立得到一个形式系统． 为此，令 X( k) = x( k － d) x( k － d +1)  x( k －2) x( k －1) x( k                  )  ，槇E = In 0 0 … 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0       0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0                  E  ， ·552·

第4期 曹梦娟等：状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计 ·553· 0 0…0 0 0 -1200…00 0 0 0I 0 0 0 0 -1n0…00 0 0 0-1n…00 0 Φ= G= 0 0 0 0 0 det 000…00 0 0 0 0 0 0 A 00 …0 000…0-1n A 则得到 0 00…0 0 -A+A(QE-A) (-1）dt(-A4+(aE-4A)= Ex(k+1)=ΦX()+Gu(k). (5a) (-l）dt(a+1E-AA-A. 而且，系统(1)的观测方程变为 所以若(A1)成立，就存在A≠0，A≠1，使得det(aE- y(k)=Cx(k). (5h) )≠0.因此系统(6)是正则的. 其中C=00…00C] 下面继续对系统(6)进行形如系统(4)的因果 分解首先，令 至此，从系统(1)导出了式(5a)和式(5b),合 0 0 01 写为 0 0 0 EX(k+1)=X(k)+Gu(k), 0 0 0 0 (6) 02= Ly(k)=Cx(k). 系统(6)在形式上已经不存在状态时滞 0 0 0 … 0 可以验证，若(A1)成立，则系统(6)仍具有正 0 0 … 0 21J 则性，因为有 rI 0 0 01 0 0 … 0 det(λE-Φ)= 0 0 0 I … 0 0 AI -1n… 0 0 P2= 0 入I 0 0 0 0 0 I 0 det 0 0 0 0 P 0 0 入In -I 其中，Q和P,与式(3)中的同名量相同.再作变量 -Aa 0 0 λE-A 替换并进行分块，得 -I 0 0 0 x(k-d) x(k-d) XI. 0 0 x(k-d+1) x(k-d+1) 0 0 0 X(k)= =P2 x(k-2) det 0 0 0 0 0 x(k-2) x(k-1) x(k-1) x,() 0 -1n 0 x(k) x2(k) 0 0 0 0 AE-A -A 将其代入系统(6)，并将第一式两边分别左乘 0 0…0 0 X. Q2,得 0 - 0 …00 21n 「x(k-d+1)1 x(k-d) x(k-d+2) x(k-d+1) 0 0 -I. …0 0 A'L 0 0 …0 0 1. Q.EP, x(k-1) =Q:DP, x(k-2) x(k) x(k-1) 00… 0 -I. XI x,(k+1) x ( 0 0 0…0 0 -A+A(E-A） x2(k+1) x2(k)

第 4 期 曹梦娟等: 状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计 Φ = 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0       0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 In Ad 0 0 … 0                    A  ，G = 0 0  0 0                  B  ， 则得到 槇EX( k + 1) = ΦX( k) + Gu( k) ． ( 5a) 而且，系统( 1) 的观测方程变为 y( k) = 槇CX( k) ． ( 5b) 其中 槇C =［0 0 … 0 0 C］． 至此，从系统( 1) 导出了式( 5a) 和式( 5b) ，合 写为 槇EX( k + 1) = ΦX( k) + Gu( k) ， y( k) = 槇 { CX( k) ． ( 6) 系统( 6) 在形式上已经不存在状态时滞． 可以验证，若( A1) 成立，则系统( 6) 仍具有正 则性，因为有 det ( λ 槇E － Φ) = det λIn － In … 0 0 0 λIn … 0 0      0 0 … λIn － In － Ad 0 … 0 λE －                A = det － In 0 0 … 0 0 λIn λIn － In 0 … 0 0 0 0 λIn － In … 0 0 0 0 0 λIn … 0 0 0        0 0 0 … λIn － In 0 0 0 0 … 0 λE －A －A                        d  = det － In 0 0 … 0 0 λIn 0 － In 0 … 0 0 λ2 In 0 0 － In … 0 0 λ3 In 0 0 0 … 0 0 λ4 In        0 0 0 … 0 － In λd In 0 0 0 … 0 0 －Ad + λd ( λE －A                        )  = det － In 0 0 … 0 0 0 0 － In 0 … 0 0 0 0 0 － In … 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0        0 0 0 … 0 － In 0 0 0 0 … 0 0 －Ad + λd ( λE －A                      )  = ( －1) nd det ( －Ad + λd ( λE －A) ) = ( －1) nd det ( λd +1 E － λd A －Ad ) ． 所以若( A1) 成立，就存在 λ≠0，λ≠1，使得 det ( λ槇E － Φ) ≠0． 因此系统( 6) 是正则的． 下面继续对系统( 6) 进行形如系统( 4) 的因果 分解． 首先，令 Q2 = In 0 0 … 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0       0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 Q                  1 ， P2 = In 0 0 … 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0       0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 P                  1 ． 其中，Q1 和 P1 与式( 3) 中的同名量相同． 再作变量 替换并进行分块，得 X( k) = x( k － d) x( k － d + 1)  x( k － 2) x( k － 1) x( k                  )  = P2 x( k － d) x( k － d + 1)  x( k － 2) x( k － 1) x1 ( k) x2 ( k                       )  ． 将其 代 入 系 统 ( 6 ) ，并将第一式两边分别左乘 Q2，得 Q2 槇EP2 x( k － d + 1) x( k － d + 2)  x( k － 1) x( k) x1 ( k + 1) x2 ( k + 1                       )  = Q2ΦP2 x( k － d) x( k － d + 1)  x( k － 2) x( k － 1) x1 ( k) x2 ( k                       )  + ·553·

·554 北京科技大学学报 第36卷 Q2Gu(k), (7a) 01 x(k-d+1)1 0 0 0 x(k-d+2) 0 0 Q2G=02 0 y(k)=CP, x(k-1) (7b) 0 0 x(k) 0 0 0 x(k+1) B] LOB B x2(k+1) B2 若记P,=[P1P],Q1A4= M 计算式(7a) Cp2=[0 0… 0 0 CC2]. M. 和式(7b)中的系数矩阵并进行分块得 那么式(7a)和式(7b)将变为 0 …0 01 I 0 0 …0 00rx(k-d+1)1 01.0 …0 0 0 . 0 …00 0 x(k-d+2) 0 Q,EP,=Q. 001 0 P2= 0 01. … 0 0 0 x(k-1) 0 0 0 I 0 0 00 I0 0 x(k) 0 00 0 E] 0 00 0 x,(k+1) 0 0 0 0 0 00 …0 0:0 x2(k+1) 0 I 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 … 0 0 0 0 I. … 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 QEP」 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 P Pe 0 0 0 0 0 M100 0 An 0 0 0 0 0 M, 0 0 A21 A22 : 0 x(k-d) 0 0 0 … 0 0 0 x(k-d+1) 0 0 0 0 1。 0 0 0 0 0 0 0」 x(k-2) + 0 0 u(k), (8a) 0 01 x(k-1) 0 0 0 0 x() B Q.DP:=Q2 x2(k) B, 0 0 0 I 0 P2= 0 0 0 0 y()=0 0 0 0 C1C2] LA 0 0 … 0 A」 x(k-d) 01n 0 0 0 01 x(k-d+1) 0 0 1。 0 0 0 x(k-2) (8b) 0 0 0 0 0 x(k-1) 0 0 0 0 Pu Pe x,(k) 0 0 x2(k) M2 0 0 0 A21A2 式(8a)和式(8b)可以简写为

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 Q2Gu( k) ， ( 7a) y( k) = 槇CP2 x( k － d + 1) x( k － d + 2)  x( k － 1) x( k) x1 ( k + 1) x2 ( k + 1                       )  ． ( 7b) 若记 P1 = [ ] P11 P12 ，Q1Ad = M1 [ ] M2 ，计算式( 7a) 和式( 7b) 中的系数矩阵并进行分块得 Q2 槇EP2 = Q2 In 0 0 … 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0       0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0                  E  P2 = In 0 0 … 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0       0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 Q1EP                  1  = In 0 0 … 0 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 0 In … 0 0 0        0 0 0 … In 0 0 0 0 0 … 0 In 0 0 0 0 …                                 0 0 0  ， Q2ΦP2 = Q2 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0       0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 In Ad 0 0 … 0                  A  P2 = 0 In 0 … 0 0 0 0 0 In … 0 0 0        0 0 0 … In 0 0 0 0 0 … 0 P11 P12 M1 0 0 … 0 A11 A12 M2 0 0 … 0 A21 A                                  22 ， Q2G = Q2 0 0  0 0                  B  = 0 0  0 0 Q1                  B = 0 0  0 0 B1 B                       2  ， 槇CP2 = [ ] 0 0 … 0 0 C1C2 ． 那么式( 7a) 和式( 7b) 将变为 In 0 0 … 0 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 0 In … 0 0 0        0 0 0 … In 0 0 0 0 0 … 0 Iq 0 0 0 0 …                                   0 0 0 x( k － d + 1) x( k － d + 2)  x( k － 1) x( k) x1 ( k + 1) x2 ( k + 1                       )  = 0 In 0 … 0 0 0 0 0 In … 0 0 0        0 0 0 … In 0 0 0 0 0 … 0 P11 P12 M1 0 0 … 0 A11 A12 M2 0 0 … 0 A21 A                                  22  · x( k － d) x( k － d + 1)  x( k － 2) x( k － 1) x1 ( k) x2 ( k                       )  + 0 0  0 0 B1 B                      2  u( k) ， ( 8a) y( k) =［0 0 … 0 0 C1C2］· x( k － d) x( k － d + 1)  x( k － 2) x( k － 1) x1 ( k) x2 ( k                       )  ． ( 8b) 式( 8a) 和式( 8b) 可以简写为 ·554·

第4期 曹梦娟等：状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计 ·555· (k+1)=AE1(k)+A2x2()+B,u(k), 其中A1=A1-A242A1,B1=B1-A242B2 0=A21x1(k)+A2x2(k)+B2u(k), 此时，系统(9)转化为正常系统(11)，进而可 以按照多采样率正常系统离散提升的方法)进行 y(k)=C1(k)+C2x2(). 处理.引入向量 (9) 1(i)=1(iW)∈R,2(i)=x2(iW)∈R"-9, 其中 u(iW） x(k-d) i(i)= x(k-d+1) u(iN+N-2) Lu(iN+N-1) E1(k)= x(k-2) 式(11)被离散提升为 x(k-1) ￡(i+1)=A()+B,a(i) (12a) () 其中B=[A-B1…AB1B1] 01n0… 0 0 下面利用式(10)，将系统(9)中的观测方程变 0 0 0 形为用式(12a)中的状态向量和输入向量来表示. 首先注意 An= 0 0 0 … 0 y()=C(k)+C2x2(k)= 0 0 0 0 P C()+C2（-AaAn()-AaB,u(k)）= M, 0 0 0 A (C-CAA2)()-CABu(k)= 01 「01 C,1(k)+C2u(k). 0 0 其中 An= 0 ,B1= 0 C =C-CAA,C:=-C:A Bx. 再利用文献9]中的相关结论，得到 P2 0 y(i)=C,(i)+C,d(i). (12b) LA2J LB1J 其中 A=M20 0 0A21], y(iN) C=00…00C]. y(iN+1) CiA 综上所述，利用离散提升技术将原系统(1)转 ()= c. 化为了形式上无时滞的系统(6)，又进行了与系统 y(iN+N-2) C,A-2 (2)本质上相同的受限等价变换，得到系统(9).由 Ly(iW+N-1)」 CA 于A2是可逆矩阵，所以系统(9)也是因果系统，并 且依然是多采样率系统.下面继续利用离散提升技 c, 0 0 0 术将多采样率系统(9)化为单采样率系统. CB C 0 0 3多采样率广义因果系统的离散提升 C. CAN-B CAY-B C, 0 按照多采样率系统的处理方法，将对系统(9) … 进行离散提升，化为一个形式上简单的单采样率 CA-B CAB CB 系统. 综上所述，多采样率系统(9)己经被离散提升 由于矩阵A2是可逆的，由系统(9)中第二式可 为形式上没有多采样率特点的系统，将式(12a)和 式(12b)合写为 以得到 E(i+1)=Ac1(i)+Bi(i), x2(k)=-A2A2!1(k)-A2B2u(k).(10) (13) y(i)=C￡，(i)+C,i(i). 将式(10)代入系统(9)中第一式得 由于系统(13)的方程描述的是状态每隔N步 E1(k+1)=A,1(k)+B,u(). (11) 的变化，即￡1()(i为整数)的变化，所以称系统

第 4 期 曹梦娟等: 状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计 x 槇1 ( k + 1) = 槇A11 x 槇1 ( k) + 槇A12 x2 ( k) + 槇B1u( k) ， 0 = 槇A21 x 槇1 ( k) + A22 x2 ( k) + B2u( k) ， y( k) = 槇C1 x 槇1 ( k) + C2 x2 ( k) { ． ( 9) 其中 x 槇1 ( k) = x( k － d) x( k － d + 1)  x( k － 2) x( k － 1) x 槇1 ( k                  )  ， 槇A11 = 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0       0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 P11 M1 0 0 … 0 A                   11 ， 槇A12 = 0 0  0 P12 A                   12 ，槇B1 = 0 0  0 0 B                  1 ， 槇A21 =［M2 0 0 … 0 A21］， 槇C1 =［0 0 … 0 0 C1］． 综上所述，利用离散提升技术将原系统( 1) 转 化为了形式上无时滞的系统( 6) ，又进行了与系统 ( 2) 本质上相同的受限等价变换，得到系统( 9) ． 由 于 A22是可逆矩阵，所以系统( 9) 也是因果系统，并 且依然是多采样率系统． 下面继续利用离散提升技 术将多采样率系统( 9) 化为单采样率系统． 3 多采样率广义因果系统的离散提升 按照多采样率系统的处理方法，将对系统( 9) 进行离散提升，化为一个形式上简单的单采样率 系统． 由于矩阵 A22是可逆的，由系统( 9) 中第二式可 以得到 x2 ( k) = － A － 1 22 槇A21 x 槇1 ( k) － A － 1 22 B2u( k) ． ( 10) 将式( 10) 代入系统( 9) 中第一式得 x 槇1 ( k + 1) = A1 x 槇1 ( k) + B1u( k) ． ( 11) 其中 A1 = 槇A11 － 槇A12A － 1 22 槇A21，B1 = 槇B1 － 槇A12A － 1 22 B2 ． 此时，系统( 9) 转化为正常系统( 11) ，进而可 以按照多采样率正常系统离散提升的方法［7］进行 处理． 引入向量 x^ 1 ( i) = x 槇1 ( iN) ∈Ｒq ，x^ 2 ( i) = x2 ( iN) ∈Ｒn － q ， u^( i) = u( iN)  u( iN + N － 2) u( iN + N － 1          )  ． 式( 11) 被离散提升为 x^ 1 ( i + 1) = AN 1 x^ 1 ( i) + ^ B1u^( i) ． ( 12a) 其中 ^ B1 = AN － 1 [ ] 1 B1 … A1B1 B1 ． 下面利用式( 10) ，将系统( 9) 中的观测方程变 形为用式( 12a) 中的状态向量和输入向量来表示． 首先注意 y( k) = 槇C1 x 槇1 ( k) + C2 x2 ( k) = 槇C1 x 槇1 ( k) + C2 ( － A － 1 22 槇A21 x 槇1 ( k) － A － 1 22 B2u( k) ) = ( 槇C1 － C2A － 1 22 槇A21 ) x 槇1 ( k) － C2A － 1 22 B2u( k) = C1 x 槇1 ( k) + C2u( k) ． 其中 C1 = 槇C1 － C2A － 1 22 槇A21，C2 = － C2A － 1 22 B2 ． 再利用文献［9］中的相关结论，得到 y^( i) = ^ C1 x^ 1 ( i) + ^ C2u^( i) ． ( 12b) 其中 y^( i) = y( iN) y( iN + 1)  y( iN + N － 2) y( iN + N － 1              )  ，^ C1 = C1 C1A1  C1AN － 2 1 C1AN － 1                   1 ， ^ C2 = C2 0 … 0 0 C1B1 C2 … 0 0      C1AN － 3 1 B1 C1AN － 4 1 B1 … C2 0 C1AN － 2 1 B1 C1AN － 3 1 B1 … C1B1 C                  2 ． 综上所述，多采样率系统( 9) 已经被离散提升 为形式上没有多采样率特点的系统，将式( 12a) 和 式( 12b) 合写为 x^ 1 ( i + 1) = AN 1 x^ 1 ( i) + ^ B1u^( i) ， y^( i) = ^ C1 x^ 1 ( i) + ^ C2u^ { ( i) ． ( 13) 由于系统( 13) 的方程描述的是状态每隔 N 步 的变化，即 x^ 1 ( i) ( i 为整数) 的变化，所以称系统 ·555·