2.2系统的微分方程2.2.2微分方程的增量化与无因次化系统平衡状态：静态数学模型，微分方程中各阶导数变化率都为零，微分方程退化到各常量静态关系的代数方程如：d'u,(t)du,(t)T,TT2+uo(t) = u,(t)+dt?dtuo(0)=u(0)系统动态特性：本质上由各阶导数来主导，即各变量相对于平衡状态的偏离量以及偏离量的变化率主导系统动态特性
2.2 系统的微分方程 ❖ 系统 ♦平衡状态：静态数学模型，微分方程中各阶导数变化率 都为零，微分方程退化到各常量静态关系的代数方程。 如： u0 (0)=ui (0) ♦系统动态特性：本质上由各阶导数来主导，即各变量相 对于平衡状态的偏离量以及偏离量的变化率主导系统动 态特性。 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 0 2 1 2 u t u t dt du t T dt d u t T T + + = i 2.2.2 微分方程的增量化与无因次化
2.2系统的微分方程微分方程的增量化表示方法d'u,(t)du,(t)T,T,+T2+uo(t) = u,(t)dt?dtAu,(t) = u,(t)-u,(O), Au,(t) = u;(t)-u,(Od'(△uo (t) +u.(O))d(u. (t) +uo(O)+(u(t)+ uo(0)T,T,+T2dt?dt=(△u;(t) +u;(O)d'Au,(t)du, (t)T,T,+T,+Auo(t) = △u,;(t) (2 -26)dt?dt
2.2 系统的微分方程 ❖ 微分方程的增量化表示方法 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 0 2 1 2 u t u t dt du t T dt d u t T T + + = i ( ( ) (0)) ( ( ) (0)) ( ( ) (0)) ( ( ) (0)) 0 0 0 0 2 2 0 0 2 1 2 i ui u t u t u dt d u t u T dt d u t u T T = + + + + + + ( ) ( ) (2 - 26) ( ) ( ) 0 0 2 2 0 2 1 2 u t u t dt d u t T dt d u t T T + = i + ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) 0 0 0 i i ui u t = u t − u ，u t = u t −
2.2系统的微分方程CRada(t)mM.(t)1+ の(t) =u.(t)-dtβ.R,+C.CmβmR,+C.CmCmRadAo(t)I+△0(t)=Au,(t)AM.(t)(2-27)dtβ.R.+C.Cmβ.R,+C,Cmdh(t)=AQ,(t) (2-28)dt（如增量化微分方程可以从非增量化微分方程消去常数项后式（2-19）中的），并将符号△直接加在各变量前获得采用增量形式的微分方程除了用于描述系统动态特性本质的需要外，也是建立传递函数数学模型的前提条件。若不加说明，本书接下来讨论的均为增量化微分方程，故将省略符号公
2.2 系统的微分方程 ( ) ( ) ( ) (2 - 27) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M t R C C R u t R C C C t dt d t T M t R C C R u t R C C C t dt d t T c m a e m a a m a e m m m c m a e m a a m a e m m m + − + + = + − + + = 增量化微分方程可以从非增量化微分方程消去常数项后（如 式（2-19）中的），并将符号直接加在各变量前获得。 采用增量形式的微分方程除了用于描述系统动态特性本质的 需要外，也是建立传递函数数学模型的前提条件。 若不加说明，本书接下来讨论的均为增量化微分方程，故将 省略符号。 ( ) (2 - 28) ( ) Q t dt d h t C = i
2.2系统的微分方程：微分方程的无因da(t)w(0)C.u.(t)w(0)w(t)次化4Tmw(0) =u.(0)+dtβ.R, +C.Cm u.(0)w(0)·因次：量纲RaM,(t)M,(0)(2-29)无因次：去掉量纲。M.(0)βmR+C.Cm 1研究相对变化量，不是绝对变化量。u.(t)(t)M.(t)u.(t)=M,(t)=@(t)=今：无因次化是一种突出M.(0)u.(0)w(0)共性的表示方法，微分方程经过无因次化d(t)0(0)0m(0)M.(t)后，更便于研究系统T+(t) =u.(t)-(2-30)mdtw(0)o(0)的本质，也便于在共同的标准下比较不同其中：系统。方法：将各增量除以Cn10, (0) =u.(0)各自的平衡状态时的βmR,+C.Cm值。(2-31)RM.(0)0m(0)β.R.+CC
2.2 系统的微分方程 ❖微分方程的无因 次化 •因次：量纲 •无因次：去掉量纲。 研究相对变化量，不 是绝对变化量。 •无因次化是一种突出 共性的表示方法，微 分方程经过无因次化 后，更便于研究系统 的本质，也便于在共 同的标准下比较不同 系统。 •方法：将各增量除以 各自的平衡状态时的 值。 (0) (2 - 29) (0) ( ) (0) (0) ( ) (0) (0) ( ) (0) (0) ( ) c c c m a e m a a a a m a e m m m M M M t R C C R u u u t R C C t C dt d t T + − + + = ( ) (2 - 30) (0) (0) ( ) (0) (0) ( ) ( ) t u t M t dt d t T c M a u m + = − (0) ( ) ( ) t 令： t = (0) ( ) ( ) a a a u u t u t = (0) ( ) ( ) c c c M M t M t = (2 - 31) (0) (0) (0) (0) c m a e m a M a m a e m m u M R C C R u R C C C + = − + = 其中：
2.2系统的微分方程用t=t/T.无因次：d@(tTm)+@(tTm)=u,(tTm)-M.(tTm) (2-32)dt由无因次化微分方程（2-32）的响应（t)求取原微分方程（2-27）的响应の(t)的方法：将时间横坐标放大Tm倍，即使t还原为t=tTm，然后对各输出响应分量的纵坐标分别放大ua(O)の(O)和Mc(O)の(O)倍，最后，运用线性叠加原理合并放大后的输出响应分量就求得原微分方程总的输出响应
2.2 系统的微分方程 由无因次化微分方程（2-32）的响应(t)求取原 微分方程（2-27）的响应(t)的方法： 将时间横坐标放大Tm倍，即使还原为t=Tm，然 后对各输出响应分量的纵坐标分别放大ua(0)(0)和 Mc(0)(0)倍，最后，运用线性叠加原理合并放大后的 输出响应分量就求得原微分方程总的输出响应。 ( ) ( ) ( ) (2 - 32) ( ) / m a m c m m m T u T M T d d T t T + = − 用 = 无因次：