.22.线性代数·复变西数·核率镜计习题全解（中册）第一章复数与复变函数.23-BtB'e(z)I≤MIBI·2IABD+IAI ZIALEIBI=E-B三),( 0),试证;当0时,(=)的极限不1-31.设()--22it-=A存在lin故5,8(2)证明设-r+y.定理三承数f(a）二w(ty）+iv(ry）在z=+iy处连续的充（)(8）要条件是：u(ay）和(ry）在点（y)处连续。x+i证明因为f(e）=w(y）+iu(ry）在点z-te十iy处连续，所以1+2-y-2+2+y2limf(z)=f(za),即r+y2y=lim[u(ry)+(y)](e)+(a)+yutwo-tatio2zy而上式成立的充要条件是：因为lim极限不存在（由《高等数学（下册）》知）+ylim(zy)(ay)lim(zy)(roy)所以limf(z）不存在。332.试证arg在原点与负实轴上不连续即ury）和(ay)在点(rayo）处连续。证明（1）arg在原点未定义，故不连续。29.设函数（）在连续且（z）≠0，那么可找到。的小邻域，在这邻(2)在负实轴上取一点P(.0)(r<0）域内f（z）±0当在上半平面上时→P，limarg2）证明由于(z）半0不妨设(z）>0.因为）在点连续，所当=在下半平面上时→P，lim（arg*）=-以对=1F(5)>0,存在8>0.使得当12一2时D所以arg(）在P(z.0)(a<0)）处不连续(2)(<-1f(z0)由点工<0的任意性知，arg*在原点与负实轴上不连续。又[f(2) ()<() f()[故I(2)1-()<(2)1(((从面(00即存在z在8邻城，在这个邻城内厂（z）≠030.设lim厂（2）=A，证明(）在。的某一去心邻域内是有界的，即存在E个实常数M>0.使在的某一去心邻域内有IF(z)|≤M证明由limf(2)=A,对2=138>0当0<=2<8时，有()-A|<1,即A-I<F()<A+1取M=[A|+1.则
第二章解折函数25可本章知识结构第二章解析函数导数与微分解析函数的定义任何节约归根到底是时间的节约。充要条件柯西-禁方程（C-R方程）马克思1.播数解析画数2.对款初等面数3.乘家与军面数学4.三角与双曲反三角与反双曲5.平面向量场解析函数是复变函数研究的主要对象，在理论和实践中有着广泛的应用。本章首先引复变函数导数概念和求导法则、在此基础上定义了解析函平面场平面流速场的复势的复势数的摄念，并着重介绍了判断函数可导和解析的判别方法：其次，把我们熟知静电场的复势的初等函数推广到复数域上来，并研究其解析性；最后以平面流速场和静电场的复势为例，说明解析函数在研究平面场问题中的应用。学习本章的主要手段是“推导”。本章习题中证明题所占的比例高居全书习题全解各章之首。对初等函数的有效把握，需建立在熟练推导之上，比如，三角函数双曲函数及其反函数，是一个“关系网”，自己拿笔推导数后，“自然”就掌握1.利用导数定义推出：了.柯西一禁受方程，一岁，一一，是全书最重姿的公式之一。第三(2 () =（1）（2）=nz=1(n为正整数)：aayyar(z+)2章还会回头研究本公式，F(z)=lim证明（1)令(z）=Aede-1用数学归纳法证：（z"）*-)当1时(z+) -zAeF(z) = lim=lim=1=1.g4z-0A2
.27.第二章解析画数.26.线性代数·复变函数·概率统计习题全解（中册）即(）1成立2二一0aa若aray设当#一是时，有('y=kz-6元=9元有则一k十1时即2a=±3y(((-.z+()1.2++e.k---2(+1)=-即只在V2士V3y=0上可导，但在复平面上处处不解析，由数学归纳法原理知：(3)f()ry+iry(2) = n2*-1(n为正整数）nmry,oa'ya0岁一ataN2)= 2xy,≤ 2xy.-arayay今)-1aa证明满足2aayazay1AzL即y=2ry=-2ry→y=±#=0或y=0z=0.y-0P(z) lim E+ Ae2+.2= lim即只在之=0处可导，在复平面上处处不解析。AzAg1Y(4) f(z) = sinzchy + icosrshy2Aw= sinzehy, w= cosishy2.下列函数何处可导?何处解析？aauab= cosxchy,= sinzshy,()f()sr-iy:(2) f(2) = 2x* + 3yi=-- sinzshy,araz3y(3) f()=zy +ir'yt(4) f(z) sin.zchy + icos.zshyaiaasat3=cosrchy,要点在某点可导：验证是否满足C-R方程即可。在z。解析，(s）在点ayac3.axz。及含2。的某邻城内处处可导。故（2）在复平面上处处可导，处处解析。解(1)f(e)-t-iy3.指出下列函数子（z）的解析性区域，并求出其导数：u-a-y(1) (z-1)(2)+2izao=2元aua1(4)9+6=0,= 0,= 1(3)(cd中至少有一个不为0)ararayaya-aaav解(1) f(2)=(—1)满足ary'axayF(）=5(z=1),f(z）在复平面内处处解析。121=元-即(2) f() =2 + 2iz21产（z）=3z+2i.(）在复平面内处处解析。所以()在直线=—上可导，面在复平面上处处不解析。(2) (z) = 22/ + i3y)(3) (2) w22,0-3y-22F(a)-g1=0.=±1(e-1)i)aua禁=62a=o,-0,=9yarayardy除z=士1点外，（）在复平面上处处释析：
-28-线性代数·复变画数·抵率统计习题全解（中册）仓第二章解析西数·29.(4)()-b(c.d中至少有一个不为0)命题为假。例如，(2）=在20可导，但不解析。F(2)=a(c+d)-(a+b)sad-be(ez+d)(cz+d)（3）如果是f（）的奇点、那么）在不可导d命题为假。若c=0，则处处解析，若≠0.+d0,z-一例如，见上例，不解析的点奇点，但可能有导数。d故除二—点外，（=）在复平面上处处解析，（4)如果z是于(z）和g(z）的一个奇点邸么z也是(z）十g(z)和4.求下列函数的奇点：F(=)/g(）的奇点；2 + 1命题为假。2-2(1)(2)(+1(+1)2(2+1)号例如(z）解（1)由z(*+1)m0得z=0,z=±i奇点：0，±1z,=1为f(）和g(z）的一奇点，但不是(2）+g(e=0和()/g(z)(2)由(z+1)(z+1)=0.得±=±iz==1—1的奇点。奇点：±1，-1（5）如果t.y）和（y）可导（指偏导数存在），那么（）=+办可导：5.复变函数的可孕性与解析性有什么不同?判斯函数的解析性有邮些方法？命题为假，解复变函数的可导性反映了函数在一点的局部性质，而解析性则例如令）=)（)均可导，但票反映了函数在一个区域内的整体性质，函数可以在某个区域内仅有一点处可a2=买.于是厂（）不可导导，在这个区域内的其他点均不可导，此时在这一点处不解析，面如果说雨数dy（6）设(2）一十iw在区域D内是解析的，如果最实常数，那么f（=）在基一点处解析，则这个函数必定在这一点的某邻域内处处解析，因此，函数在整个D内是常数：如果是实常数，那么f（）在D内也是常数在一点处解析与在区域内可导才是等价的。命题为真，判斯函数的解析性有两种常用方法，（一）是用定义，利用可导性判断解证明已知f()在D内解析VED.有析性：（二）是用定理：函数f(）=（ry）+iv(z+y）在其定义城D内解析daaau（ty）和vzy）在D内任一点z=z+iy可微，且满足柯西-黎受方程f(z)=十岁一y#一岁·岁元且满足C-R方程，aaeaayEar6.判断下列命题的真假，若真，请给以证明；若假，请举例说明。又以一常数一岁一0岁=0一2-0元=00=常数(1）如果f（z）在z连续，那么（z）存在ardryay敬f(z)=#十iw=常数：命题为假。7.如果（）十i是z的解析函数，证明：例如，F（）一#+2yi在复平面内任一点连续，但不满足C-R方程，数d(是)+(号-广(）不存在（2）如果户（z）存在，那么f）在z解析；证明由f(）=u+得
.30..31·金第二章解析函数线性代数·复变数·概率统计习延全解（中册）f)l=+广学ra又由于了（=）是解析函数由=reosgrsing证明0a---有F-+yg-aretanay得+再由复合函数求导法则可得4aa0a2王六T.Vu+uFyara+y2/+y+yaysay-e元-y.-=Vu+y+y/1+(2)所以（))+（号()Rla学·老+老一·2R当（一老）+=+uu+a（特迎a一当代人）aarw+3aaaa岁一岁·2·#+·a+e+V+vaaar5ayr32.a学·+·(+[（)+（]+aay（）+（）3ydy+3a要，三一宗一·+一又由F（)一+1aa可得ardrarar由量一岁-8(=()+(）ara.-8/h·兰+富·号·号-丽左（皇）+（）-右a--福主+之·瑞=(1)-3得证：即r8.设my+nry+i(z+lzy）为解析函数，试确定l,m，n的值，岁一一01由色dy解设u=my+ny，=r+ly.则学·+童·号·++当号=一 = 284auTar= 3my + nr?TPay学+·学-2.0一二号aoa(2)P=3r+ly=2ryyaaF3a4ay半及仅持业看做线性方程组中的工i.工其余看做系数4u等，[2nyr = 2/ryaA由C-R方程3z +ly =- (3my + n2)联立求解（1)(2)，得所以#=1#-3,m=12-10ra9.证明：柯西-黎受方程的极坐标形式是