:12.战性代数·复变函数·概率统计习题全解（中册）· 13 :第一章复数与复变函数16.（1）求方程己+8=0的所有根；+--++（2）求微分方程"+8y=0的一般解。解（1)由=十8=0.得.222-32--V-8↓·+结果如图1-1所示又 8 = 8e"18.已知两点与（或已知三点2-t传-V-8-2e(n=0,1.2)2)，向下列各点位于何处？散n=0.得2=23=1+/3i-.--(1) =(z+2)取=1.得-2e-2,图 1-1(2)=，+（1-)z(其中为实数)取n2得2=2e=1-V3.(a, + + ,)(3)z=3方程+8=0的三个根分别为：1+31，—2.1-31解（1)2=（十2)：位于2与2连线中点上（(2）微分方程y十8y=0的特征方程为2z—zlr+8=0(2) ) +(1 )2: =位于连线上2,2:1]由（1）的结果可知方程产十8=0有三个互异的根：(3)2=2+2+）位于三角形22+重心1+3i.-2.1-V3i19.设2.22三点适合条件3十2+=0.2-1方程"十8y=0有三个线性无关的特解：证明：3，%，是内接于单位2-1的一个正三角形的项点，y=e+Tecou3+isin32)证明因为2++=0J=e-l所以2, =- (3 +22)=ea-T=e(cos3-iin3x)2, =- (21 + 22)[22,2,(1 +2,)(+22)于是原方程三个线性无关的实数特解为：e'cos3a,e'sinV3工，e-t从m[8,[2+1313+(22 +222)而原微分方程的一般解为因为12:1-[8,/-[81 -1y=cie-+e(ccos/3+esin3)所以(2/ 32 + 2)32) =- 1其中..为任意常数。[21 — 2:= (1 2)(e, -2)17.在平面上任意选一点，然后在复平面上面出下列各点的位置：= [+[2-(2, +22)*,++-1+1-(-1) =3解设2=1+i.则I=/3-z--1-i2/[213同理2-1-i,-2--1+i所以，为正三角形
.14.零第一章复数与复变西数.15战性代数复变函数·假率统计习题全解（中册）20. 如果复数 ,满足等式完二起一号二号,证明 3一1 ~T(10)arg(a-1)-以（0.）为起始点的y一=1的射线（>0）2-2142-2一21=：一，1.并说明这些等式的几何意义，22.措出下列不等式所确定的区域或阴区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：由252证明-222-2(1) Im()>0(2)z-11>4((2,2)) +(21-8,)-2)(3) 0 <Re()< 1(4)26|=1≤3-+)3221(5) z 1< 2+31:(6)-1<argz<-1+*212—z,1122](1)(7) -11<42+11:(8) -21 +2+2/≤6[2,2,]=[2,2,12,](2)(9)-21+21>(10)-(2+i)z-(2-i)6498[2,2,1,-]解本题的解法，是将条件转化为直角坐标。3(1) Im(z)>0无界，单连通，不包括实轴的上半平面。故——，同理[——这几个式子表明无界，多连通。圆周（z—1）#+y=16的外部区城(2) z-1/>43，构成一个正三角形（不包括圆周）。21.指出下列各题中点的轨迹或所在范图，并作：无界，单连通，由直线0及z1所构成的带(3) 0<Re(z)<1(1) =- 51 = 6;(2) +2i11形区域，不包括两直线在内。(3) Re(+2) =-1:(4) Re(iz) 3(4) 2≤≤3有界，多连通，闭由+y=4与十y=9所(5)+i-z-;(6) 1=+31+2+11=4固的医环城，-31(7) Im(z)≤2t(8)无界，单连通，直线工=一1右边的半平面区(5)-11<z+3)2城，不包括直线在内。(10)arg(z-i)(9)0<arge<;无界，单连通由射线0=一1及8=一1(6) -1<argz<-1+R解(1)/z-5/m6以5为圆心，以6为半径的[作图略，下同了。十构成的角形域，不包括两射线在内，(2)+2121在复平面上以（0，一2)）为阅心，以1为半径的圆及圆兴，半轻为是的（7）—11<4+11无界，多连通，中心在z=外部区域15四周的外部区域（不包括圆周），(3)Re(+2)==1直线7=-3（8）1-21+1+21≤6有界，单连通，闭号+号(4) Re(iz)-3直线=3=1及其围成95(5)+--实轴区城。(6)z+3++11=4以（一3，0）（—1.0）为焦点，以4为长轴岁=1的(9）2—21-=+21>1无界，单连通，双曲线4—的圆左边分支的内部（含焦点=一2的那部分）区域。(7) Im(z)≤2y=2直线及其下方区域(10)22-(2+)z-(2-)=≤4有界，单连通，同（z一2)+（yz-3/5(8)直线工=-号及其左方区域+1)9及共内部区域，:(9)0<argz<R不包括实轴的上半平面部分图形如图1-2所示
第一章复数与复变函数-17.:16.线性代数·复交函数·概率统计习题全解（中每）23.证明复平面上的直线方程可写成：旺+=c，e*0为复常数c为实常致）证期设e=ah.a+y，a+a(+b)(r-yi)+(a-bi)+y)=ax-ayi+bri+by+ax+ayi-bri+by=2(ar+by)-c（这是直线方程，）以上每步均可例推，得证，24.证明复平面上的医的方程可写成u+++c=0.（其中为复常数c为实常数）证明设wx+yiema+bi.+++0r+y+a+b-y)+a-G+y)+e=o+y+ar-ayi+bn+by+ar+ai-bri+by+e=o++y+2(ax+by)+e-0+a)++b)-a+n-c（这是图的方程：）(S)(6)以上每步均可例推，得证。25.将下列方程（为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出：51()(1+)(2)z=acost+ibsint.(ab为实常数）(3)2=+(4):-1+2(8)(5）zmacht+ibsht(ab为实常数）(6) =ae+be~(7)e(e=a+为复数）解1)设购r+y=+ie(10)围1-2(2)acost+ibsint设购
·18 .第一章复数与复变函数-19-规性代数·复变西数·概事统计习冠全解（中量）F=cosbt.e[r=acosty +yi =acost + ibsinrfaLy=bsintsinbtea(3）设=十期二=tanb（=（arctan之）/s+iy-t+1+yee(r=!一把下列：平面上的曲线映射成w平面上怎样的曲线？26.函数W=Hery-lpy-V(1)+=4(2)y=z(4)设+iy,则(4)(-)+y(3)z=1;(a=)解设平面上为=+iyw平面上点为r+iy=++.riew=a+bi=I-yi由a+bi=++-++#ry=1(r>0,y>0)由两复数相等的定义得(5)设2=十iy,则+iy=acht+ishyb-2+a=2+y2m achea(e'+e)(1)由十y=4.得2b(er-e"")+()-a+=y=bshi-+2yH表示;以(0.0)为圆心,以亡为半径的国。得=1(2)由y=.得（6）设=+iy.则?+iyae'+be-"62xacost+iasint+bcost-bisint表示直线：=(a+b)cost+i(a=b)sint（3)由2=1.得J?(a+6)costT11+6=y=(a-b)sint+=-1，a=22+-=表示以（0）为圆心，以为半径的图。(7)设+iy,则(4)由-1)+=1.得a+iy=e"(a=a+b为复数）+y-2mele+wwe".en表示一条直线。=e".(cosbt+isinbr)
·20.线性代数·复变函数·假率境计习感全解（中册）第一章复数与复变插数21-27.已知映射w2求：同理可证lim[/(）-g()]=A—B(1)点2,=i,z=1+,=,=3+i在w平面上的象，（2)因为limg(=）=B，所以38>0及M>0.使0<1一1<8,时，(2)区域0<arg,<号在物平面上的象。Ig(z)I<M,解(1)设r(cose+ising).则>0.因为lim(）=A.所以38>0.使0<-z<时，有w=r(cos30+isin30)4IF() -AI<M+(AT-10号+n0又因为limg(2)=B.所以存在8,>0,使0<121<8,时，有在上的象为1*oE3Ig(e) -BI<M+(ATn+isincos27a取8=min8.8.8则当0<-2<8时.必有间理，=的象为一2+2i，z，的象为8i(f(z)g(z)-AB=(F(z)g()-Ag(2)+Ag()-AB)T(2)区城0<argz<在w平面上的象为3≤ I(2) Allg(s)I + [AIg(c) -BIT0<argw<a=X33.<M+IA*M+IAI'M+IAT"S28.证明6定理二与定理三。lim/()g(z)=AB敬定理二如果limf(）=A.limg(s）=B，那么(3)因为limg(z)=B(B±0),所以38,>0及M>0.使0<～2(1) lim[(z)± g(z))=A± B;5e<8,时,1g(0)>1Bl(2) lim[f(α) -g(e)] = AB;2V>0.因为limf(e)=A,limg()=B,所以38>0.使0<-2l(3)lim[(a)A(B0),,8(2)B<8,时,有证明（1)因为lim/(z）=A，limg(z）-BB"e1F(2) - AI <2(IA/ + (B)>038,>0,使0<<时,有()<38>0.使0<<8时有3>0.使0<<,时,有1g()=B<Be2Ig(e) - BI <2(AI + (BT)取8-min(8.8,)则当0<z2<8时.必有取=min(8,8,,8,)，则当0<-<8时，必有ILf()+g(z)I-(A+B))[- IB/(c)-Ag(e)f(=)2≤IF(=) -AI + Ig() -BI<2+eB1g()/- [BTg(z)2成立.故lim[f(z）+g(z)]=A+B≤JBI- I() -AL+ JAL: Ik() - BIIB/- Ig(2)I