1.3三角函数的诱导公式 整体设计 教学分析 本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、 化简、证明问题. 本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学 习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意 角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题 在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想, 无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数 值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数 学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化 归意识,特别是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定180°+ a角为第一研究对象,-α角为第二研究对象,正是化归思想的运用. 公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大 于90°的非负角,但是在推导中却把a拓广为任意角,这一思维上的 转折使学生难以理解,甚至会导致对其必要性的怀疑,因此它成为本 课时的难点所在 课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的 角看成是一个整体的任意角.学生第一次接触到此题型,思维上有困 难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但
1.3 三角函数的诱导公式 整体设计 教学分析 本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、 化简、证明问题. 本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学 习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意 角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题. 在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想, 无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数 值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数 学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化 归意识,特别是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定 180°+ α角为第一研究对象,-α角为第二研究对象,正是化归思想的运用. 公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大 于 90°的非负角,但是在推导中却把α拓广为任意角,这一思维上的 转折使学生难以理解,甚至会导致对其必要性的怀疑,因此它成为本 课时的难点所在. 课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的 角看成是一个整体的任意角.学生第一次接触到此题型,思维上有困 难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但
必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度 制的转化的练习 三维目标 1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解 诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转 化及分类讨论的思想 2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角 函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用 3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题 多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力 重点难点 教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三 角函数式的求值、化简和证明等 教学难点:六组诱导公式的灵活运用 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值 ②复习诱导公式一及其用途 思路2在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数
必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度 制的转化的练习. 三维目标 1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解 诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转 化及分类讨论的思想. 2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角 函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用. 3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题 多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三 角函数式的求值、化简和证明等. 教学难点:六组诱导公式的灵活运用. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值. ②复习诱导公式一及其用途. 思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数
值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函 数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函 数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°(x到2π)范围内的 角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到 锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题 推进新课 新知探究 提出问题 由公式一把任意角a转化为[0°,360°)内的角后,如何进一步 求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得, 特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通 过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问 题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360° 的角β能否与锐角a相联系?通过分析B与a的联系,引导学生得出 解决设问的一种思路:若能把求[90°,360°)内的角β的三角函数值 转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这 思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想 图1
值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函 数转化为 0°到 360°(0 到 2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函 数值,我们可以通过查表求得,对于 90°到 360°( 2 到 2π)范围内的 角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到 锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题. 推进新课 新知探究 提出问题 由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步 求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得, 特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通 过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问 题:0°到 90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到 360° 的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出 解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值, 转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这 一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想. 图 1
讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1 180°-a,B∈[90°180°] B={180°+a,B∈80°2701 360°-a,B∈[270°,360°l 提出问题 ①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何? ②它们与单位圆的交点的位置关系如何? ③任意角a与180°+a呢? 活动:分a为锐角和任意角作图分析:如图2 图2 引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系 无论α为锐角还是任意角,180°+a的终边都是a的终边的反向延长 线,所以先选择180°+a为研究对象 利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的 位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P 指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二: in(180°+a)=sina,cos(180°+a)=-cosa 并指导学生写出角为弧度时的关系式 sin(π+a)=-sina,cos(π+a)=cosa,tan(π+a)=tana
讨论结果:通过分析,归纳得出:如图 1. β= − + − 360 , [270 ,360 ], 180 , [180 ,270 ], 180 , [90 ,180 ], a a a 提出问题 ①锐角α的终边与 180°+α角的终边位置关系如何? ②它们与单位圆的交点的位置关系如何? ③任意角α与 180°+α呢? 活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图 2. 图 2 引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系. 无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长 线,所以先选择 180°+α为研究对象. 利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的 位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是 P(x,y)和 P′ (-x,-y). 指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二: sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα. 并指导学生写出角为弧度时的关系式: sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα
引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用 讨论结果:①锐角a的终边与180°+a角的终边互为反向延长 线 ②它们与单位圆的交点关于原点对称 ③任意角a与180°+a角的终边与单位圆的交点关于原点对称 提出问题 ①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么? ②-a角的终边与角a的终边位置关系如何? 活动:让学生在单位圆中讨论-a与a的位置关系,这时可通过复习正 角和负角的定义,启发学生思考 任意角a和-a的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系 及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式 三的推导,即 sin(-a)=-sina, cos (-a )=cos a, tan(-a )=tan a 教师点拨学生注意:无论a是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步 引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的 三角函数值转化为求正角的三角函数值 讨论结果 ①根据分析下一步的研究对象是-a的正弦和余弦 ②-a角的终边与角a的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐 标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数 提出问题
引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用. 讨论结果:①锐角α的终边与 180°+α角的终边互为反向延长 线. ②它们与单位圆的交点关于原点对称. ③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称. 提出问题 ①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么? ②-α角的终边与角α的终边位置关系如何? 活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正 角和负角的定义,启发学生思考: 任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系 及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式 三的推导,即: sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα. 教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步 引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的 三角函数值转化为求正角的三角函数值. 讨论结果: ①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦. ②-α角的终边与角α的终边关于 x 轴对称,它们与单位圆的交点坐 标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数. 提出问题