1.3三角函数的诱导公式(二) 【学习目标】1.掌握诱导公式五、六的推导,并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2. 对诱导公式一至六,能作综合归纳,体会出六组公式的共性与个性,培养由特殊到一般的数 学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程,培养研究问题、发现问题、解 决问题的能力 问题导学 知识点一诱导公式五 完成下表,并由此总结角a,角 的三角函数值间的关系 (1)==- sin=cos一 sIn COS-= sIn --nos- (3)sin一= 2’s1n=cos 由此可得 诱导公式五 sin(-a)=cos a, cos-a)=sin a 知识点二诱导公式六 思考能否利用已有公式得出+a的正弦、余弦与角a的正弦、余弦之间的关系? 答案以一a代替公式五中的a得到 in a+o=cos(-a), cos[ a+o=sin(-a) 由此可得 诱导公式六 sin(a+-=cos a
1.3 三角函数的诱导公式（二） 学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2. 对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数 学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解 决问题的能力. 知识点一 诱导公式五 完成下表，并由此总结角 α，角π 2 －α 的三角函数值间的关系. (1)sin π 6 ＝ 1 2 ，cos π 3 ＝ 1 2 ，sin π 6 ＝cos π 3 ； (2)sin π 4 ＝ 2 2 ，cos π 4 ＝ 2 2 ，sin π 4 ＝cos π 4 ； (3)sin π 3 ＝ 3 2 ，cos π 6 ＝ 3 2 ，sin π 3 ＝cos π 6 . 由此可得 诱导公式五 sin ( ) 2 − =cos α， cos ( ) 2 − =sin α. 知识点二 诱导公式六 思考 能否利用已有公式得出π 2 ＋α 的正弦、余弦与角 α 的正弦、余弦之间的关系？ 答案 以－α 代替公式五中的 α 得到 sin α ＋ π 2 ＝cos(－α)， cos α ＋ π 2 ＝sin(－α). 由此可得 诱导公式六 sin ( ) 2 + =cos α
Cos sIn 知识点三诱导公式的推广与规律 1.sin(=-a) cosa,cos(π-a)==sina singI+ a)=-cos a, cos( I+ a)=sin a 2.诱导公式记忆规律: 公式一~四归纳:a+2kπ(k∈Z),一a,π±a的三角函数值,等于角a的同名三角函 数值,前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号,简记为:“函数名不变,符号看象限” 公式五~六归纳:±a的正弦(余弦)函数值,分别等于a的余弦(正弦)函数值,前面加 上一个把a看成锐角时原函数值的符号,简记为:“函数名改变,符号看象限”或“正变余、 余变正、符号象限定” 六组诱导公式可以统一概括为“k·士a(k∈Z)”的诱导公式 记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.其中“奇、偶”是指k·。士a(k∈Z)中k的奇偶性 当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦:当k为偶数时,函数名不变.“符号”看的应该是 诱导公式中,把a看成锐角时原函数值的符号,而不是a函数值的符号. 2题型探究 类型一利用诱导公式求值 例1(1)已知c(x+a)=-2,a为第一象限角,求c(2+的值 (2已知cos 2丌 值 6 解(1)∵cos(π+ cos a cosa=2,又a为第一象限角, 则 a
cos ( ) 2 + = － sin α. 知识点三 诱导公式的推广与规律 1.sin(3 2 π－α)＝－cos α，cos(3 2 π－α)＝－sin α， sin(3 2 π＋α)＝－cos α，cos(3 2 π＋α)＝sin α. 2.诱导公式记忆规律： 公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于角 α 的同名三角函 数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五～六归纳：π 2 ±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加 上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、 余变正、符号象限定”. 六组诱导公式可以统一概括为“k· π 2 ±α(k∈Z)”的诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指 k· π 2 ±α(k∈Z)中 k 的奇偶性， 当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是 诱导公式中，把 α 看成锐角时原函数值的符号，而不是 α 函数值的符号. 类型一 利用诱导公式求值 例 1 (1)已知 cos(π＋α)＝－ 1 2 ，α 为第一象限角，求 cos π 2 ＋α 的值. (2)已知 cos π 6 －α ＝ 1 3 ，求 cos 5π 6 ＋α ·sin 2π 3 －α 的值. 解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－ 1 2 ， ∴cos α＝ 1 2 ，又 α 为第一象限角， 则 cos π 2 ＋α ＝－sin α＝－ 1－cos 2α ＝－ 1－ 1 2 2＝－ 3 2
2丌 (2)cos -c-+ 6 a·sin 6 CoS 反思与感悟对于这类间题,关键是要能发现它们的互余、互补关系:如3一0与+0 3+a与6’4a与+a等互余,+0与3- 3π 0等互补, 遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换来解决问题. 跟踪训练1已知 3 3的值 a a 类型二利用诱导公式证明三角恒等式 tan(2π-a)sin(-2π 6丌一a 例2求证: tan a a 2 证明∵左边 )·sin(-a)·cos(一a) sIn2f一 (-tana)·(-sina)·cos t(2-)o(2-
(2)cos 5π 6 ＋α ·sin 2π 3 －α ＝cos π－ π 6 －α ·sin π－ π 3 ＋α ＝－cos π 6 －α ·sin π 3 ＋α ＝－ 1 3 sin π 2 － π 6 －α ＝－ 1 3 cos π 6 －α ＝－ 1 9 . 反思与感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π 3 －α 与 π 6 ＋α， π 3 ＋α 与 π 6 －α， π 4 －α 与 π 4 ＋α 等互余，π 3 ＋θ 与 2π 3 －θ， π 4 ＋θ 与 3π 4 －θ 等互补， 遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 跟踪训练 1 已知 sin π 6 ＋α ＝ 3 3 ，求 cos π 3 －α 的值. 解 ∵ π 6 ＋α＋ π 3 －α＝ π 2 ， ∴ π 3 －α＝ π 2 － π 6 ＋α . ∴cos π 3 －α ＝cos π 2 － π 6 ＋α ＝sin π 6 ＋α ＝ 3 3 . 类型二 利用诱导公式证明三角恒等式 例 2 求证：tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α) sin α＋ 3π 2 cos α＋ 3π 2 ＝－tan α. 证明 ∵左边＝ tan(－α)·sin(－α)·cos(－α) sin 2π－ π 2 －α ·cos 2π－ π 2 －α ＝ (－tan α)·(－sin α)·cos α sin － π 2 －α cos － π 2 －α ＝ sin2α －sin π 2 －α cos π 2 －α
n a cos asin a 右边 ∴原等式成立 反思与感悟利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应用,其证明的常用方法: (1)从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简 (2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子 (3)凑合法:即针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形,以消除其差异,简言之,即 化异为同 2s 0+ 跟踪训练2求证: 1-2sin2(π+0) + (sin o) 证明因为左边 1-2sin B 2si 0-1 b-1 2cos Bsin b-1 s 0+sin 6-2sin 0 (sin 0+cos 0) sin 0+cos e 右边=tanO+1sin0+coso tan 6-1 sin b--cos 6 所以左边=右边,故原等式成立 类型三诱导公式在三角形中的应用 例3在△BC中,sin4计B-C=i1=+C,试判断△ABC的形状 解∵A+B+C= .A+B-CI-2C, A-B+C= I-2B ∴sin4+B-C A-B+C Ⅱ-2C Ⅱ-2B in(-B
＝ sin2α －cos αsin α ＝－ sin α cos α ＝－tan α＝右边. ∴原等式成立. 反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. (3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即 化异为同. 跟踪训练 2 求证： 2sin θ－ 3π 2 cos θ＋ π 2 －1 1－2sin2 (π＋θ) ＝ tan(9π＋θ)＋1 tan(π＋θ)－1 . 证明 因为左边＝ －2sin 3π 2 －θ ·(－sin θ)－1 1－2sin2θ ＝ 2sin π＋ π 2 －θ sin θ－1 1－2sin2θ ＝ －2sin π 2 －θ sin θ－1 1－2sin2θ ＝ －2cos θsin θ－1 cos 2θ＋sin2θ－2sin2θ ＝ (sin θ＋cos θ) 2 sin2θ－cos 2θ ＝ sin θ＋cos θ sin θ－cos θ . 右边＝tan θ＋1 tan θ－1 ＝ sin θ＋cos θ sin θ－cos θ . 所以左边＝右边，故原等式成立. 类型三 诱导公式在三角形中的应用 例 3 在△ABC 中，sin A＋B－C 2 ＝sin A－B＋C 2 ，试判断△ABC 的形状. 解 ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. ∵sin A＋B－C 2 ＝sin A－B＋C 2 ， ∴sin π－2C 2 ＝sin π－2B 2 ， ∴sin(π 2 －C)＝sin( π 2 －B)
即cosC=cosB 又∵B,C为△ABC的内角,∴C=B ∴△ABC为等腰三角形 反思与感悟解此类题需注意隐含的条件,如在△BC中,什C=,什BC=工,结 合诱导公式得到以下的一些常用等式:sin(A+B=sinC,cos(A+B A+B sIn C A+B coS-, COS 跟踪训练3在△ABC中,给出下列四个式子: ①sin(A+B+sinC ②cos(A+B+cosC ③sin(2A+2B ④cos(2A+2B+cos2C 其中为常数的是() A.①③B.②③C.①④D.②④ 答案 解析①sin(A+B+sinC=2sinC 2cos(A+B+cos C=-cos C+cos C=0 ③sin(2A+2b+sin2C n[2(A+B]+sin 2C n[2(-0]+sin2C =sin (2 I-20+sin 2C sin 2C+sin 20=0: ④cos(2A+2B+cos2C cos[2(A+B)]+cos 2C os[2(J-O]+cos 2C Cos( I-20+cos 2C cos 2C+cos 2C=2cos 2C. 故选B. 类型四诱导公式的综合应用 sin( I- a)cos(- a)sin(o+ a) 例4已知f(a)= cos( It a)sin(- a) (1)化简f(a)
即 cos C＝cos B. 又∵B，C 为△ABC 的内角，∴C＝B， ∴△ABC 为等腰三角形. 反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC 中，A＋B＋C＝π， A＋B＋C 2 ＝ π 2 ，结 合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin A＋B 2 ＝ cos C 2 ，cos A＋B 2 ＝sin C 2 . 跟踪训练 3 在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A＋B)＋sin C； ②cos(A＋B)＋cos C； ③sin(2A＋2B)＋sin 2C； ④cos(2A＋2B)＋cos 2C. 其中为常数的是( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 答案 B 解析 ①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C； ②cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0； ③sin(2A＋2B)＋sin 2C ＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C ＝sin[2(π－C)]＋sin 2C ＝sin(2π－2C)＋sin 2C ＝－sin 2C＋sin 2C＝0； ④cos(2A＋2B)＋cos 2C ＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C ＝cos[2(π－C)]＋cos 2C ＝cos(2π－2C)＋cos 2C ＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C. 故选 B. 类型四 诱导公式的综合应用 例 4 已知 f(α)＝ sin(π－α)cos(－α)sin( π 2 ＋α) cos(π＋α)sin(－α) . (1)化简 f(α)；