重点增分专题四三角函数的图象与性质 全国卷3年考情分析 年份 全国卷I 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 三角恒等变换及三角函 2018 三角画数单调性的应用10正切画数的周期T6 数的周期与最值T8 三角函数的周期T3 三角函数的最值·I6 三角函数的最值T13 三角函数的图象变换与已知三角函数图象求解析式T3三角函数图象变 2016 性质·T 三角函数的最值·Tn 换T14 (1)高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质,主要考查图象 的变换,函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值,并常与三角恒等变换交汇命题 (2)庄主要以选择题、填空题的形式考查,难度为中等偏下,大多出现在第3~11或14 15题位置上 考点一三角函数的定义诱导公式及基本关系条合凉 大稳定——常规角度考双基 1三角函数的定义及应用在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,角a 尸的终边分别与单位圆交于 则sin(a+=() 36 48 3 33 解析:选D因为角a,B的终边分别与单位圆交于点 所以sina i30=3,s5,cp=-5,所以sina+p= sin acos p+ cos asin B=i 2 2同角三角函数的关系式及应用诺若tana=2,则sina-cosa的值为() B D 解析:选B∵tana≈! sin'a-cos'a=(sin'atcos'a)(sin'a-cos'a
1 重点增分专题四 三角函数的图象与性质 [全国卷 3 年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 2018 三角恒等变换及三角函 数的周期与最值·T8 三角函数单调性的应用·T10 正切函数的周期·T6 2017 三角函数的周期·T3 三角函数的最值·T6 三角函数的最值·T13 2016 三角函数的图象变换与 性质·T6 已知三角函数图象求解析式·T3 三角函数图象变 三角函数的最值·T11 换·T14 (1)高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象 的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题． (2)主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第 3～11 或 14～ 15 题位置上． 考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 保分考点 练后讲评 [大稳定——常规角度考双基] 1.[三角函数的定义及应用]在平面直角坐标系中，以 x 轴的非负半轴为角的始边，角 α， β 的终边分别与单位圆交于点 12 13， 5 13 和 － 3 5 ， 4 5 ，则 sin(α＋β)＝( ) A．－ 36 65 B. 48 65 C．－ 3 13 D. 33 65 解析：选 D 因为角 α，β 的终边分别与单位圆交于点 12 13， 5 13 和 － 3 5 ， 4 5 ，所以 sin α ＝ 5 13，cos α＝ 12 13，sin β＝ 4 5 ，cos β＝－ 3 5 ，所以 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝ 5 13 × － 3 5 ＋ 12 13 × 4 5 ＝ 33 65. 2.[同角三角函数的关系式及应用]若 tan α＝ 1 2 ，则 sin4α－cos4α 的值为( ) A．－ 1 5 B．－ 3 5 C. 1 5 D. 3 5 解析：选 B ∵tan α＝ 1 2 ， ∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
sin2a-cosza sin2a-cos2a= sin?a+cosa tan'a-1 3 tana+1 5 3诱导公式及应用设函数f(x)(x∈R满足f(x+)=fx)+sinx当0≤x<m时,fx)=0, 则 √3 B 解析:选A由已知,得 D)=(2 +sin 6 117 17π 15in)+sin 5i+sin 67+sin (m)+如+s(-a)+出 解题方略 1.同角三角函数基本关系式的应用技巧 知弦求弦利用诱导公式及平方关系sina+cosa=1求解 常通过平方关系、对称式sina+cosa,sina-cosa, sIn acos a建立联系 知弦求切 注意tana 的灵活应用 知切求弦通常先利用商数关系转化为sina= tan acos a的形式,然后用平方关系求解 和积转换法如利用(n00=12100O的关系进行变形、转化 「巧用“1” 1=sin20+cos 0=cos 0 (1+tan2 0)=sin2d1+ 的变换 tan 2.利用诱导公式进行化简求值的步骤 利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负一脱周一化锐.特别注 意函数名称和符号的确定.(注意“奇变偶不变,符号看象限”) 小创新——变换角度考迁移 1与数列交汇设an=1in,,sn=a+a+…+an在S,s3,…,Sm中,正数的个 数是()
2 ＝sin2α－cos2α＝ sin2α－cos2α sin2α＋cos2α ＝ tan2α－1 tan2α＋1 ＝－ 3 5 . 3.[诱导公式及应用]设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当 0≤x<π 时，f(x)＝0， 则 f 23π 6 ＝( ) A. 1 2 B. 3 2 C．0 D．－ 1 2 解析：选 A 由已知，得 f 23π 6 ＝f 17π 6 ＋sin 17π 6 ＝f 11π 6 ＋sin 11π 6 ＋sin 17π 6 ＝f 5π 6 ＋sin 5π 6 ＋sin 11π 6 ＋sin 17π 6 ＝f 5π 6 ＋sin π 6 ＋sin － π 6 ＋sin π 6 ＝0＋ 1 2 ＋ － 1 2 ＋ 1 2 ＝ 1 2 . [解题方略] 1．同角三角函数基本关系式的应用技巧 知弦求弦 利用诱导公式及平方关系 sin2α＋cos2α＝1 求解 知弦求切 常通过平方关系、对称式 sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 建立联系， 注意 tan α＝ sin α cos α 的灵活应用 知切求弦 通常先利用商数关系转化为 sin α＝tan α·cos α 的形式，然后用平方关系求解 和积转换法 如利用(sin θ±cos θ) 2＝1±2sin θcos θ 的关系进行变形、转化 巧用“1” 的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ 1＋ 1 tan2θ 2．利用诱导公式进行化简求值的步骤 利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注 意函数名称和符号的确定．(注意“奇变偶不变，符号看象限”) [小创新——变换角度考迁移] 1.[与数列交汇]设 an＝ 1 n sin nπ 25，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在 S1，S2，…，S100中，正数的个 数是( ) A．25 B．50
D.100 解析:选D当I≤≤24时,an>0,当26≤n≤49时,an0,但其绝对值要小于1≤n≤24 时相应的值;当51≤≤74时,an>0;当76≤爪≤9时,an0,但其绝对值要小于51≤≤74 时相应的值.故当1≤n≤100时,均有Sn>0 2与算法交汇某一算法程序框图如图所示,则输出的S的值为( <2018? n=n+1 √3 B C.3 解析:选A由已知程序框图可知该程序的功能是计算S=sm2+sm2+sm+ +sin2017 一的值 为如m29,c2-s( √3 sin , sin 3 in =sin 2n=0, N sin =sin(2n+2)=sin n3=sx+3=3,如3=sm(nx+)=mx所以画数值里周期性变化, 周期为6且如m引+如3 4π FSIn 而2017=6×36+1,所以输出的S=36×+如m故选A 3.借助数学文化考查l《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表 作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=2弦 ×矢十矢2,弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢 等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径等于4m的弧田,按照上述经
3 C．75 D．100 解析：选 D 当 1≤n≤24 时，an>0，当 26≤n≤49 时，an<0，但其绝对值要小于 1≤n≤24 时相应的值；当 51≤n≤74 时，an>0；当 76≤n≤99 时，an<0，但其绝对值要小于 51≤n≤74 时相应的值．故当 1≤n≤100 时，均有 Sn>0. 2.[与算法交汇]某一算法程序框图如图所示，则输出的 S 的值为( ) A. 3 2 B．－ 3 2 C. 3 D．0 解析：选 A 由已知程序框图可知，该程序的功能是计算 S＝sin π 3 ＋sin 2π 3 ＋sin 3π 3 ＋… ＋sin 2 017π 3 的值． 因为 sin π 3 ＝ 3 2 ，sin 2π 3 ＝sin π－ π 3 ＝sin π 3 ＝ 3 2 ，sin 3π 3 ＝sin π＝0， sin 4π 3 ＝sin π＋ π 3 ＝－sin π 3 ＝－ 3 2 ， sin 5π 3 ＝sin 2π－ π 3 ＝－sin π 3 ＝－ 3 2 ， sin 6π 3 ＝sin 2π＝0，而 sin 7π 3 ＝sin 2π＋ π 3 ＝sin π 3 ， sin 8π 3 ＝sin 2π＋ 2π 3 ＝sin 2π 3 ，sin 9π 3 ＝sin(2π＋π)＝sin π，所以函数值呈周期性变化， 周期为 6，且 sin π 3 ＋sin 2π 3 ＋sin 3π 3 ＋sin 4π 3 ＋sin 5π 3 ＋sin 6π 3 ＝0. 而 2 017＝6×336＋1，所以输出的 S＝336×0＋sin π 3 ＝ 3 2 .故选 A. 3.[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表 作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝1 2 (弦 ×矢＋矢 2 )，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢” 等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π 3 ，半径等于 4 m 的弧田，按照上述经
验公式计算所得弧田面积约是() A.6m2 B.9 2π 解析:选B如图,由题意可得∠A0B=3,O=4在R△AOD中,可得∠AOD= ∠D40= 6,OD=0=×4=2, 于是矢=4-2=2 由AD=A0sin=4×°=23, 可得弦长AB=2D=2×23=43 所以孤田面积=2(弦X+矢=2X(小3×2+2)=43+2≈9m,故选B 增分考点 考点二三角函数的图象与解析式广度拓展 题型一由“”定“式 1例1(1)已知函数x)=Ain(ax+q)(4>0,o>0,09-m), 其部分图象如图所示,则函数fx)的解析式为() 登翌 f(r)=2si B.fx)=2sn(于x+ C. f(x)=2sin D.f(x)=2sin(2x+ 已知函数9=4a9.eg的图象轴的一个交点(-2,o 其相邻的一条对称轴的距离为若B)-2则函数t士的最小值为() 3 2 解析(1)由题图可知,函数图象上两个相邻的最值点分别为最高 最低点 所以函数的最大值为2,即A=2. 由图象可得,x=-2 为相邻的两条对称轴
4 验公式计算所得弧田面积约是( ) A．6 m2 B．9 m2 C．12 m2 D．15 m2 解析：选 B 如图，由题意可得∠AOB＝ 2π 3 ，OA＝4，在 Rt△AOD 中，可得∠AOD＝ π 3 ，∠DAO＝ π 6 ，OD＝ 1 2 AO＝ 1 2 ×4＝2， 于是矢＝4－2＝2. 由 AD＝AO·sin π 3 ＝4× 3 2 ＝2 3， 可得弦长 AB＝2AD＝2×2 3＝4 3. 所以弧田面积＝1 2 (弦×矢＋矢 2 )＝ 1 2 ×(4 3×2＋2 2 )＝4 3＋2≈9(m2 )．故选 B. 考点二 三角函数的图象与解析式 增分考点 广度拓展 题型一 由“图”定“式” [例 1] (1)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)， 其部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝2sin 1 2 x＋ π 4 B．f(x)＝2sin 1 2 x＋ 3π 4 C．f(x)＝2sin 1 4 x＋ 3π 4 D．f(x)＝2sin 2x＋ π 4 (2)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象与 x 轴的一个交点 － π 12，0 到 其相邻的一条对称轴的距离为π 4 ，若 f π 12 ＝ 3 2 ，则函数 f(x)在 0， π 2 上的最小值为( ) A. 1 2 B．－ 3 C．－ 3 2 D．－ 1 2 [解析] (1)由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点 － π 2 ，2 ，最低点 3π 2 ，－2 ， 所以函数的最大值为 2，即 A＝2. 由图象可得，x＝－ π 2 ，x＝ 3π 2 为相邻的两条对称轴
所以函数的周期T=2 {-(2)-m 故一=4π,解得= 所以几x)=2snx+ 北点(,入呀得2x(2)+小 即 所以 2k+,(k∈Z), 解得φ=kn+(∈Z) 又09,所以p=4 所以∫x) 2sin(g*+3a 故选B (2由题意得,画数几(的最小正周期r=4×=n=2,解得0=2 因为点(卫0)在画数/的图象上, 所以Asin2× 解得=h+匹.A∈Z,由0≤丌,可得°6 因为 所以Ain(2 解得=5,所以9=nx+2) 71 sin(2x+ f(x)的最小值为 3 答案](1)B(2)C [解题方略】]由“图”定“式”找“对应”的方法 由三角函数的图象求解析式y=Asin(ox+g)+BA>0,o>0中参数的值,关键是把握函 数图象的特征与参数之间的对应关系,其基本依据就是“五点法”作图 (1)最值定A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为M,最小值为m,则M
5 所以函数的周期 T＝2× 3π 2 － － π 2 ＝4π， 故 2π ω ＝4π，解得 ω＝ 1 2 . 所以 f(x)＝2sin 1 2 x＋φ . 把点 － π 2 ，2 代入可得 2sin 1 2 × － π 2 ＋φ ＝2， 即 sin φ－ π 4 ＝1， 所以 φ－ π 4 ＝2kπ＋ π 2 (k∈Z)， 解得 φ＝2kπ＋ 3π 4 (k∈Z)． 又 0<φ<π，所以 φ＝ 3π 4 . 所以 f(x)＝2sin 1 2 x＋ 3π 4 ，故选 B. (2)由题意得，函数 f(x)的最小正周期 T＝4× π 4 ＝π＝ 2π ω ，解得 ω＝2. 因为点 － π 12，0 在函数 f(x)的图象上， 所以 Asin 2× － π 12 ＋φ ＝0， 解得 φ＝kπ＋ π 6 ，k∈Z，由 0<φ<π，可得 φ＝ π 6 . 因为 f π 12 ＝ 3 2 ，所以 Asin 2× π 12＋ π 6 ＝ 3 2 ， 解得 A＝ 3，所以 f(x)＝ 3sin 2x＋ π 6 . 当 x∈ 0， π 2 时，2x＋ π 6 ∈ π 6 ， 7π 6 ， ∴sin 2x＋ π 6 ∈ － 1 2 ，1 ， ∴f(x)的最小值为－ 3 2 . [答案] (1)B (2)C [解题方略] 由“图”定“式”找“对应”的方法 由三角函数的图象求解析式 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值，关键是把握函 数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图． (1)最值定 A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为 M，最小值为 m，则 M