课题:1.3三角函数的诱导公式(第1课时) 教材:人教A版高中数学必修4 I.教学内容解析 本节课的教学内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式四,是三角函数的主要性 质。前面学生已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义,在此基础上继续学习公式 二至公式四为下节课研究公式五,公式六以及以后的三角函数求值、化简打好基础。三角函 数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”,利用对称性,让学生自主发现终边分别关于原 点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系,使得“数”与“形”得到紧密结合,成为 个整体.诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系,是定义的延伸与应 用,在本章中起着承上启下的作用. 诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°~90°角的三角函 数值诱导公式的推导过程,体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法 反映了从特殊到一般的归纳思维形式.对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力,掌握 数学的思想方法具有积极的作用 本节课的重点是诱导公式的探究,即利用三角函数的定义借助单位圆,通过寻找角的终 边的对称性与角终边与单位圆交点的对称性发现并推导出诱导公式,从而提高对数学知识之 间(圆的对称性与三角函数性质)联系的认识。 Ⅱ.教学目标设置 1.能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式,会利用诱导公式进行简单 的三角函数式的求值与化简. 2.学生经历自主探究发现问题(任意角的三角函数值与n-,丌+a,-a的三角函数值 之间的内在联系),提出研究方法(利用坐标的对称关系,从三角函数的定义得出相应的关 系式)并完成推导过程,体会数形结合及转化思想的运用. 3.在探究活动中,学生通过独立思考和合作交流,发展思维,从探索中获得成功的体验, 感受数学中结构的对称美,形式的简洁美 Ⅲ.学生学情分析 授课班级学生敦化市实验中学实验班学生 1.学生已有认知基础
课题：1. 3 三角函数的诱导公式(第 1 课时) 教材：人教 A 版高中数学必修 4 Ⅰ．教学内容解析 本节课的教学内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式四，是三角函数的主要性 质。前面学生已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义，在此基础上继续学习公式 二至公式四为下节课研究公式五，公式六以及以后的三角函数求值、化简打好基础。三角函 数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于原 点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一 个整体.诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应 用，在本章中起着承上启下的作用. 诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求 0°～90°角的三角函 数值.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法， 反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握 数学的思想方法具有积极的作用. 本节课的重点是诱导公式的探究，即利用三角函数的定义借助单位圆，通过寻找角的终 边的对称性与角终边与单位圆交点的对称性发现并推导出诱导公式，从而提高对数学知识之 间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识。 Ⅱ．教学目标设置 1.能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式,会利用诱导公式进行简单 的三角函数式的求值与化简. 2.学生经历自主探究发现问题（任意角的三角函数值与 −, +,− 的三角函数值 之间的内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称关系，从三角函数的定义得出相应的关 系式）并完成推导过程，体会数形结合及转化思想的运用. 3.在探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展思维，从探索中获得成功的体验， 感受数学中结构的对称美，形式的简洁美。 Ⅲ．学生学情分析 授课班级学生敦化市实验中学实验班学生． 1.学生已有认知基础
学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一,这些内容是 学生理解、归纳公式二至公式四的基础,推导公式的关键是明确单位圆上对称点的坐标关系, 这一点对于实验班的学生来说是可以独立完成的,学生数学基础与思维能力较好,具有一定 的分析问题和解决问题的能力,初步养成了独立思考、合作交流的学习习惯 2.难点及突破策略 难点 1、如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题,提出研究方法。 2、怎样帮助学生理解公式中角的任意性。 3、怎样记忆公式二至公式 突破策略 1.教师通过复习任意角三角函数的定义先引入单位圆,引起学生对单位圆这一有效工具 的注意,从总体上认识研究的目标与手段 2.教师利用几何画板的演示帮助学生直观感受∝的任意性 3.通过小组内交流,组间相互补充,展现思维过程后师生共同归纳概括公式的记忆方法。 Ⅳ.教学策略设计 根据学生已有学习基础,为提升学生的学习能力,本节课的教学,采用自主学习方式.通 过教师引领学生经历诱导公式二至四的推导过程,认识研究的目标与策略,在研究的过程中 逐渐完善研究的方法与手段。 本节课学生需探究的问题如下: 给定一个角C (1)角丌+的终边与角的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系? 2)角的终边与角的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系? (3)角丌-C的终边与角C的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系? (4)诱导公式一至四的共同特征是什么,怎样记忆更容易? V.教学过程设计 (一).创设问题情境 师生活动:教师提问,学生思考、回答,学生口述的同时,教师板书问题的结果。 问题1:(1)我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数的?
学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一，这些内容是 学生理解、归纳公式二至公式四的基础，推导公式的关键是明确单位圆上对称点的坐标关系， 这一点对于实验班的学生来说是可以独立完成的，学生数学基础与思维能力较好，具有一定 的分析问题和解决问题的能力，初步养成了独立思考、合作交流的学习习惯． 2.难点及突破策略 难点： 1、如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法。 2、怎样帮助学生理解公式中角 的任意性。 3、怎样记忆公式二至公式四 突破策略： 1.教师通过复习任意角三角函数的定义先引入单位圆，引起学生对单位圆这一有效工具 的注意，从总体上认识研究的目标与手段． 2.教师利用几何画板的演示帮助学生直观感受 的任意性。 3.通过小组内交流，组间相互补充，展现思维过程后师生共同归纳概括公式的记忆方法。 Ⅳ．教学策略设计 根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用自主学习方式．通 过教师引领学生经历诱导公式二至四的推导过程，认识研究的目标与策略，在研究的过程中 逐渐完善研究的方法与手段。 本节课学生需探究的问题如下： 给定一个角 : (1)角 + 的终边与角 的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？ (2)角 − 的终边与角 的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？ (3)角 − 的终边与角 的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？ (4) 诱导公式一至四的共同特征是什么，怎样记忆更容易？ Ⅴ．教学过程设计 （一）. 创设问题情境 师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师板书问题的结果。 问题 1：（1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数的？
(2)终边相同角的各三角函数之间有什么关系? 问题2:sin390°=?那sin570°=? 教师引导:由公式一可将sin570°化为sin210°,210°虽然在0°~360°之间可是 也不能直接获得其三角函数值,能否再把0°~360°间的角的三角函数值化为我们熟悉的 0°~90°间的角的三角函数问题呢?如果能,那么任意角三角函数求值问题都可以化 归成锐角三角函数求值,特殊的锐角有特殊值,而非特殊锐角的三角函数值可以通过查表最 终解决。这节课我们就来学习和研究解决这类问题的方法 【设计意图】通过复习旧知,提出的新问题,引导学生进一步思考,为新知识的学习打 下基础,激起学生们的兴趣 (二).探索新知,汇报交流 问题3:你能用我们刚刚复习的方法求出sin210°吗? 师生活动1:教师提出具体问题,学生独立思考并回答老师的提问 师生活动2:教师追问:390°的终边与锐角30°角的终边重合,那210°角的终边与那个 锐角的终边有关系呢?它们的三角函数间又有怎样的关系呢? 【设计意图】教师通过问题引导,从课前提出的具体问题入手,用定义求解学生是可以想到 并完成的,但借助学生熟悉的特殊角去建立30°角的终边与210°角的终边的位置关 系,再转化为角的终边与单位圆交点坐标之间的关系需要教师引导,从这个过程中让学 生体会研究此类问题的思路和方法,为下一步研究任意角和丌+个三角函数之间 的关系做好铺垫 探究一:给定一个角a 角+a的终边与角a的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系 师生活动:学生进行组内探究,教师走进小组,观察学生探究的进展,指导组内生生互助, 共同完成任务。然后学生代表为全体学生讲解研究过程 经过探索,归纳成公式 sn(丌+c sin a cos(π+a)=-cosc tan(丌+a)=tana 公式二
（2）终边相同角的各三角函数之间有什么关系？ 问题 2: sin390°=？ 那 sin570°=？ 教师引导：由公式一可将 sin570°化为 sin210°，210°虽然在 0°～360°之间可是 也不能直接获得其三角函数值，能否再把 0°～360°间的角的三角函数值化为我们熟悉的 0°～90°间的角的三角函数问题呢？如果能，那么任意角三角函数求值问题都可以化 归成锐角三角函数求值，特殊的锐角有特殊值，而非特殊锐角的三角函数值可以通过查表最 终解决。这节课我们就来学习和研究解决这类问题的方法. 【设计意图】通过复习旧知，提出的新问题，引导学生进一步思考，为新知识的学习打 下基础，激起学生们的兴趣. (二) . 探索新知，汇报交流 问题 3： 你能用我们刚刚复习的方法求出 sin210°吗？ 师生活动 1：教师提出具体问题，学生独立思考并回答老师的提问。 师生活动 2：教师追问：390°的终边与锐角 30°角的终边重合，那 210°角的终边与那个 锐角的终边有关系呢？它们的三角函数间又有怎样的关系呢？ 【设计意图】教师通过问题引导，从课前提出的具体问题入手，用定义求解学生是可以想到 并完成的，但借助学生熟悉的特殊角去建立 30°角的终边与 210°角的终边的位置关 系，再转化为角的终边与单位圆交点坐标之间的关系需要教师引导，从这个过程中让学 生体会研究此类问题的思路和方法，为下一步研究任意角 和 + 个三角函数之间 的关系做好铺垫。 探究一：给定一个角 : 角 + 的终边与角 的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？ 师生活动：学生进行组内探究，教师走进小组，观察学生探究的进展，指导组内生生互助， 共同完成任务。然后学生代表为全体学生讲解研究过程． 经过探索，归纳成公式 ------公式 二
【设计意图】有了30°和210°角各三角函数关系的推导,学生们对问题3的研究思路和解 决问题的方法有一定的认识,在此基础上引导学生自主推导诱导公式二,让学生体验证明猜 想的乐趣,凸显学生学习的主体地位 问题4:公式中的角c仅是锐角吗? 【设计意图】课前提问的问题是以30°引入的,之后的讨论只是用代数方法换成了一般形式 的角c,有些同学肯定会有这样的疑问,这也是本节课的一个教学难点,所以这个问题的 解决好,就是突破难点的关键. 师生活动:演示几何画板课件,首先作出第一象限的任意角,之后得到相应的三角函数值 拖动其终边上任意点,再让学生观察每一象限内三角函数值的符号和它们之间存在的对称关 系,从而验证了猜想,使学生更直观的理解了这个公式 问题5:你知道c与(-)终边有怎样的对称性吗?它们的三角函数之间有什么关系呢? 探究二:任意角与(-a)三角函数的关系,及与(兀一2)的三角函数值的关系 经过探索,归纳成公式 cos(-a)=cos a tan(-a=-tan a 公式三 【设计意图】类比公式二的推导方法,大多数学生应该能够完成公式三的推导及证明了,仍 然设计以学生分组讨论,合作学习的方式来完成探究任务的目的是在活动中借助生生互助 相互交流来培养学生的合作意识,让学生感受数学中的对称美,激发学生更积极地去寻找规 律、认识规律 探究三:如果两角的终边关于y轴对称,那么这两个角之间有什么关系? 它们的三角函数之间又有什么关系? n(丌-c)=sna coS(丌-c)=-cosc tan(I-a)=-tanc 公式四 师生活动:教师展示学生的研究成果,学生叙述其研究过程,教师板书公式四。 【设计意图】借助终边关于y轴对称找出两角的关系要比终边关于原点,x轴对称难度找两 角的关系大一点,前面已经有了两次探究的体验,研究问题的思路学生已经清楚了,只要能 找出终边关于y轴对称的两角的最简表示形式即a与a+丌,公式四的推导就会水到渠成
【设计意图】有了 30°和 210°角各三角函数关系的推导，学生们对问题 3 的研究思路和解 决问题的方法有一定的认识，在此基础上引导学生自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜 想的乐趣，凸显学生学习的主体地位. 问题 4：公式中的角 仅是锐角吗？ 【设计意图】课前提问的问题是以 引入的，之后的讨论只是用代数方法换成了一般形式 的角 ，有些同学肯定会有这样的疑问，这也是本节课的一个教学难点，所以这个问题的 解决好，就是突破难点的关键. 师生活动：演示几何画板课件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相应的三角函数值， 拖动其终边上任意点，再让学生观察每一象限内三角函数值的符号和它们之间存在的对称关 系，从而验证了猜想，使学生更直观的理解了这个公式． 问题 5：你知道 与(- )终边有怎样的对称性吗？它们的三角函数之间有什么关系呢？ 探究二：任意角 与(- )三角函数的关系，及 与( － )的三角函数值的关系． 经过探索，归纳成公式 -------------公式 三 【设计意图】类比公式二的推导方法，大多数学生应该能够完成公式三的推导及证明了，仍 然设计以学生分组讨论，合作学习的方式来完成探究任务的目的是在活动中借助生生互助， 相互交流来培养学生的合作意识，让学生感受数学中的对称美，激发学生更积极地去寻找规 律、认识规律. 探究三：如果两角的终边关于 y 轴对称，那么这两个角之间有什么关系？ 它们的三角函数之间又有什么关系？ ----------公式 四 师生活动：教师展示学生的研究成果，学生叙述其研究过程，教师板书公式四。 【设计意图】借助终边关于 y 轴对称找出两角的关系要比终边关于原点，x 轴对称难度找两 角的关系大一点，前面已经有了两次探究的体验，研究问题的思路学生已经清楚了，只要能 找出终边关于 y 轴对称的两角的最简表示形式即 与 + ，公式四的推导就会水到渠成
在此过程中充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望,让他们既动 脑又动手,让学生体验数与形的关系,尝试自主探究的乐趣 师生活动:教师提问,学生思考并回答问题 问题6:除了再次利用单位圆的对称性推导公式三公式四外,你还有其他方法吗? 【教学预设】在类比公式二的推导方法完成公式三和公式四的推导及证明(图形中点的对称 一一几何角度)后继续拓展学生的思维,利用∝角的任意性结合角的整体代换的思想(代 数角度)由公式二,三可以得到公式四,这也是对刚刚获取的新公式的一次应用,作为实验 班的学生应该有这样的想法。另外借助三角函数线也可以完成这几组公式的推导,教师作适 当点拨,引导有兴趣的学生课下继续研究 (三)总结概括新结论 师生活动:教师利用PT将公式一至公式四一起展示在屏幕上,为总结概括公式的特征 和记忆的方法做好准备 三角函数的诱导公式 公式一:an(a+2如m)=sina,co(a+2km)= cos C, tan(a+2km)=tana(∈Z) 公式二:sn(-a)=- sin a,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tanc 公式三:sn(m-a)= SIn a, Cos(T-a)=- cos C, tan(m-a)=-tana 公式四:an(m+a)=-na,co(m+a)=- cos a, tan(m+a)=tana 说明:公式中的c指使公式两边有意义的任意一个角 探究四:诱导公式一至四的共同特征,归纳记忆方法 问题7:你能概括一下公式一、二、三、四的共同特征吗? 师生活动:教师提醒学生从三角函数名称和式子的符号两方面总结概括公式 四的特征。 2如ra(k∈2),丌土c,-a的三角函数值,等于C的同名函数值,前面加上一个把a 看成锐角时原函数值的符号.公式特点:“函数名不变,符号看象限” 【设计意图】训练学生的概括能力,但是学生未必能总结出十字口诀,教师要适时引导和 提醒 四)巩固应用 例1求下列三角函数值:
在此过程中充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动 脑又动手，让学生体验数与形的关系，尝试自主探究的乐趣. 师生活动：教师提问，学生思考并回答问题。 问题 6：除了再次利用单位圆的对称性推导公式三公式四外，你还有其他方法吗？ 【教学预设】在类比公式二的推导方法完成公式三和公式四的推导及证明（图形中点的对称 ——几何角度）后继续拓展学生的思维，利用 角的任意性结合角的整体代换的思想（代 数角度）由公式二，三可以得到公式四，这也是对刚刚获取的新公式的一次应用，作为实验 班的学生应该有这样的想法。另外借助三角函数线也可以完成这几组公式的推导，教师作适 当点拨，引导有兴趣的学生课下继续研究。 (三)总结概括新结论 师生活动：教师利用 PPT 将公式一至公式四一起展示在屏幕上，为总结概括公式的特征 和记忆的方法做好准备。 三角函数的诱导公式 公式一： 公式二： 公式三： 公式四： 说明：公式中的 指使公式两边有意义的任意一个角． 探究四：诱导公式一至四的共同特征，归纳记忆方法 问题 7：你能概括一下公式一、二、三、四的共同特征吗？ 师生活动：教师提醒学生从三角函数名称和式子的符号两方面总结概括公式一、二、三、 四的特征。 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.公式特点：“函数名不变，符号看象限” 【设计意图】训练学生的概括能力，但是学生未必能总结出十字口诀，教师要适时引导和 提醒。 (四)巩固应用 例 1 求下列三角函数值：