《自动控制基础》课程教学资源（讲稿）控制系统的根轨迹法分析

第4章根轨迹闭环极点的确定绘制根轨迹的过程实质上就是确定系统闭环极点的过程。而通过根轨迹对控制系统进行性能分析时，往往最为关注根轨迹上的某些特殊位置点及其对应的K。值。这些特殊位置点通常包括：1、根轨迹与虚轴的交点：临界稳定状态根轨迹与虚轴的交点，为一对共轭纯虚数土jの。此时系统处于临界稳定状态。通常称根轨迹与虚轴的交点为根轨迹上的临界稳定点。因此，通过求解根轨迹与虚轴的交点及所对应的K值，可以确定一个条件稳定系统的参数取值范围

二、闭环极点的确定 第4章 根轨迹 绘制根轨迹的过程实质上就是确定系统闭环极 点的过程。而通过根轨迹对控制系统进行性能分析 时，往往最为关注根轨迹上的某些特殊位置点及其 对应的Kg 值。这些特殊位置点通常包括： 1、根轨迹与虚轴的交点： 根轨迹与虚轴的交点，为一对共轭纯虚数±jω。 此时系统处于临界稳定状态。通常称根轨迹与虚轴 的交点为根轨迹上的临界稳定点。因此，通过求解 根轨迹与虚轴的交点及所对应的Kgc 值，可以确定一 个条件稳定系统的参数取值范围。 临界稳定状态

第4章根轨迹（续）闭环极点的确定例1：某反馈系统的开环传递函数为K,(s+1)G(s)H(s) =s(s-1)(s*+4s+16)试绘制系统根轨迹，并求使系统稳定K.的取值范围解: ① n=4, m=1, zi=-1, Pi=0, P2=1, P3.4 =-2± j2V3实轴上的根轨迹位于(-，-1]和[0，1]渐近线：Zp,-20+1-2+j2V/3-2-j2/3+1=O4-1n-mn(2k+1)元=60°,-60°,180°n-m

例1：某反馈系统的开环传递函数为 第4章 根轨迹 试绘制系统根轨迹，并求使系统稳定Kg的取值范围。 闭环极点的确定（续） ( 1)( 4 1 6) ( 1) ( ) ( ) 2      s s s s K s G s H s g ② 实轴上的根轨迹位于(-∞，-1]和[0，1] 。 解：① n=4，m=1，z1 =-1，p1=0，p2=1， 2 2 3 3,4 p    j ③ 渐近线： 3 2 4 1 1 1 0 1 2 j2 3 2 j2 3 1                  n m p z m j j n i i  a    6 0 , 6 0 ,180 (2 1)      n m k a  

第4章根轨迹闭环极点的确定（续）N(s)= s4 + 3s3 +12s2 -16s分离点：M(s)=S+1,4：: N (s)M(s)- N(s)M (s)= 3s4 +10s3 +21s2 + 24s -16= 0用试探法可求得：S=0.46Sd2=-2.22用长除法还可求得方程有两个共轭复根：S3.4 = -0.79± j2.16但可以验证，Sd3.4不满足系统的特征方程D(s)=0 ，故应舍去。所以，系统只在实轴上存在两个分离点CURRENOSai和Sd2出射角：,3 =180° +106°-120°-130.5°-90°=-54.5°p4=54.5°

第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续） ④ 分离点： M(s) s 1, N(s) s 3s 1 2s 1 6s 4 3 2       ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 0 2 1 2 4 1 6 0 ' ' 4 3 2  N s M s  N s M s  s  s  s  s   0. 46 2. 22 用试探法可求得：sd1  sd 2   用长除法还可求得方程有两个共轭复根： 0.79 j2.16 s3,4    但可以验证，sd3,4不满足系统的特征方程D(s)=0 ， 故应舍去。所以，系统只在实轴上存在两个分离点 sd1和sd2。 ⑤ 出射角：       180 106 120 130.5 9 0 5 4.5  p3         54.5  p4 

第4章根轨迹（续）闭环极点的确定与虚轴交点：6D(s)= s+ +3s3 +12s2 +(K, -16)s+K. = 012K3Kg-1652-KK3+59K，-38252-KK9CURRE-K, +59K,-382=052-Kg解得：Kgcl=23.3Kgc2=35.7

第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续） ⑥ 与虚轴交点： ( ) 3 1 2 ( 1 6) 0 4 3 2 D s  s  s  s  Kg  s  Kg  g g g g g g g g s K K K K s K K s s K s K 0 2 1 2 3 4 5 2 5 9 382 3 5 2 3 1 6 1 1 2       0 5 2 5 9 382 2      g g g K K K 令 2 3.3 3 5.7 解得：Kg c1  Kg c2 

第4章根轨迹（续）闭环极点的确定52-K0人取辅助方程：+K.=013K gcel =23.3时, S1,2 =±j1.56H54.5K(gc2 =35.7时， S1,2 =±j2.56B,j2.57 (Kge2=35.7)jl.56(Kgel=23.3)由根轨迹可知：00-KgP2P4C当23.3<K<35.7时，0当系统是稳定的；j1.56(Kgel=m23.3)j2.57 (Kge235.7)超出这一范围，系B2P统不稳定

第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续） 取辅助方程： 0 3 5 2 2    g g s K K 2 3.3 1.5 6 1 1,2 K s j g c  时 ，   3 5.7 2.5 6 2 1,2 K s j g c  时 ，   由根轨迹可知： 当23.3<Kg<35.7 时， 系统是稳定的；当 超出这一范围，系 统不稳定