正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为一(1,2,1)，求a、Q./62009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内x-(1) 函数(x)=的可去间断点的个数，则（）sinnx(C)3.(A)1.(B)2. (D)无穷多个.(2）当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=xln(1-bx)是等价无穷小，则（）(A)a=1,b=-}(B)a=1,b=。 (C)a=-1,b=- (D)a=-1,b=一66(3）设函数z=f(x,y)的全微分为dz=xdx+ydy，则点(0,0）（(A)不是f(x,J)的连续点。(B)不是f(x,y)的极值点(C)是f(x,y)的极大值点。(D)是f(x,y)的极小值点(4)设函数f(r,y)连续,则["dx'f(x,y)dy+"dy/f(x,y)dx=（)(A) "'dxjf (x,y)y. (B) " dx f(x,y)dy(C)"'af"f(x,y)dx.(D),"af(x,y)d(5）若于"(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1,1)上的曲率圆为x2+y2=2，则f(x)在区间(1,2)内（）(A)有极值点，无零点．（B）无极值点，有零点(C)有极值点，有零点。(D)无极值点，无零点.(6）设函数y=f(x)在区间[-1,3]上的图形为：-21 -
- 21 - 正交矩阵 Q 使得 Q AQ T 为对角矩阵，若 Q 的第一列为 T (1,2,1) 6 1 ，求 a、Q. 2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前 的字母填在题后的括号内. （1）函数 ( ) 3 sin x x f x nx − = 的可去间断点的个数，则（ ） ( A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 无穷多个. （2）当 x →0 时， f x x ax ( ) = −sin 与 ( ) ( ) 2 g x x bx = − ln 1 是等价无穷小，则（ ） ( A) 1 1, 6 a b = = − . (B) 1 1, 6 a b = = . (C) 1 1, 6 a b = − = − . (D) 1 1, 6 a b = − = . （3）设函数 z f x y = ( , ) 的全微分为 dz xdx ydy = + ，则点 (0,0) （ ） ( A) 不是 f x y ( , ) 的连续点. (B) 不是 f x y ( , ) 的极值点. (C) 是 f x y ( , ) 的极大值点. (D) 是 f x y ( , ) 的极小值点. （4）设函数 f x y ( , ) 连续，则 ( ) ( ) 2 2 2 4 1 1 , , y x y dx f x y dy dy f x y dx − + = （ ） ( A) ( ) 2 4 1 1 , x dx f x y dy − . (B) ( ) 2 4 1 , x x dx f x y dy − . (C) ( ) 2 4 1 1 , y dy f x y dx − . (D). ( ) 2 2 1 , y dy f x y dx （5）若 f x ( ) 不变号，且曲线 y f x = ( ) 在点 (1,1) 上的曲率圆为 2 2 x y + = 2 ，则 f x( ) 在区间 (1,2) 内（ ） ( A) 有极值点，无零点. (B) 无极值点，有零点. (C) 有极值点，有零点. (D) 无极值点，无零点. （6）设函数 y f x = ( ) 在区间 −1,3 上的图形为：
f(t)22则函数 F(x)=[f(t)dt 的图形为（-f(t)-22-1-1(A).(B).f(x)f(x)(C),(D)B均为2阶矩阵，A.B分别为A、B的伴随矩阵。若A/=2,B=3，则分块矩阵(7）设A、的伴随矩阵R为（3B*2B0B3A*003A2A*2B3B0001（8）设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=0若02022 -
- 22 - 则函数 ( ) ( ) 0 x F x f t dt = 的图形为（ ） ( A). (B). (C). (D). （7）设 A 、 B 均为 2 阶矩阵， * * A B ， 分别为 A 、 B 的伴随矩阵。若 A =2 B =3 ， ，则分块矩阵 0 0 A B 的伴随矩阵 为（ ） ( A). * * 0 3 2 0 B A (B). * * 0 2B 3A 0 (C). * * 0 3A 2B 0 (D). * * 0 2A 3B 0 （8）设 A P ， 均为 3 阶矩阵， T P 为 P 的转置矩阵，且 T 100 P AP= 0 1 0 0 0 2 ，若 -2 1 0 2 3 -1 O 0 -2 1 2 3 -1 1 0 -2 1 2 3 -1 1 0 -1 1 2 3 1 0 -2 1 2 3 -1 1
P=（α，αzαg),Q=（α+α2，α2，αg），则QTAQ为（(21001(A)11(B)1200200C0020020二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上1-te-"duX=（9）曲线0在（0，0）处的切线方程为(y= t In(2-t2)dx=1,则k（10）已知(11)lim"sinnxdxT→（12）设y=y(x)是由方程xy+e=x+1确定的隐函数，&（13）函数y=x2*在区间（0,1|上的最小值为(2 00)000(14)设α，β为3维列向量，βT为β的转置，若矩阵αβT相似于则βTα000三、解答题：15一23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(1-cosx)[x- In(1+ tan x))（15）（本题满分9分）求极限limsin' x（16）（本题满分10分）计算不定积分[1n(1+)dx (x>0)a2z（17）（本题满分10分）设z=f(x+y,x-y,xy)，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与axay（18）（本题满分10分）设非负函数y=(×）(x≥0)满足微分方程xy"-+2=0，当曲线y=(×）过原点时，其与直线x=1及y=0围成-23 -
- 23 - P= Q= + （ 1 2 3 1 2 2 3 ， ， ）， （ ， ， ） ，则 Q AQ T 为（ ） ( A). 2 1 0 1 1 0 0 0 2 (B). 1 1 0 1 2 0 0 0 2 (C). 2 0 0 0 1 0 0 0 2 (D). 100 0 2 0 0 0 2 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）曲线 2 2 2 1- x= 0 ln(2 ) u t e du y t t − = − 在 （0，0） 处的切线方程为 （10）已知 + 1 k x e dx = − ,则 k = （11） n 1 lim e sin 0 x nxdx − → = （12）设 y y x = ( ) 是由方程 xy 1 y + = + e x 确定的隐函数，则 2 x=0 d y = dx2 （13）函数 2x y x = 在区间 (01， 上的最小值为 (14)设 ， 为 3 维列向量， T 为 的转置，若矩阵 T 相似于 200 0 0 0 0 0 0 ，则 T = 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 9 分）求极限 ( ) 4 0 1 cos ln(1 tan ) lim x sin x x x → x − − + （16）（本题满分 10 分）计算不定积分 1 ln(1 ) x dx x + + ( 0) x （17）（本题满分 10 分）设 z f x y x y xy = + − ( , , ) ，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与 2 z x y （18）（本题满分 10 分） 设非负函数 y y x = ( ) ( x 0) 满足微分方程 xy y − + = 2 0 ，当曲线 y y x = ( ) 过原点时，其与直线 x =1 及 y = 0 围成
平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。（19）（本题满分10分）求二重积分J(x-y)dxdy其中 D=(x,J)(x-1)*+(y-1)≤2, y≥x（20）（本题满分12分）设=以()是区间（元，元）内过（，÷）的光滑曲线，当-一元<x<0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x<元时，函数y(x)满足y"+y+x=0。求y(x)的表达式（21）（本题满分11分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，则存在e(a,b)，使得f(b)-f(a)=f"()(b-α)（Ⅱ）证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0,s)(s>0)内可导，且limf(x)=A,则f(0)存在，且f(0)=A。1-1-（22）（本题满分11分）设A=(0-4 -2)（I）求满足A52=5,A5=的所有向量52,5（Ⅱ）对（I）中的任一向量52,53，证明：51,52,5,线性无关。(23）（本题满分11分）设二次型f(，2,)=ax+ax+(a-1)+2x,-2xx（I）求二次型的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f的规范形为y+，求α的值。2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内- 24 -
- 24 - 平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积。 （19）（本题满分 10 分）求二重积分 ( ) D x y dxdy − ， 其中 ( ) ( ) ( ) 2 2 D x y x y y x = − + − , 1 1 2, （20）（本题满分 12 分） 设 y y x = ( ) 是区间 （- ， ） 内过 - 2 2 （ ， ） 的光滑曲线，当 - 0 x 时，曲线上任一点处的法线都过原点，当 0 x 时，函数 y x( ) 满足 y y x ++= 0 。求 y x( ) 的表达式 （21）（本题满分 11 分） （ Ⅰ ）证明拉格朗日中值定理：若函数 f x( ) 在 a b, 上连 续 ，在 (a b, ) 可导 ， 则 存在 (a b, ) ，使得 f b f a f b a ( ) − = − ( ) ( )( ) （Ⅱ）证明：若函数 f x( ) 在 x = 0 处连续，在 (0, 0 )( ) 内可导，且 ( ) 0 lim x f x A → + = ， 则 f + (0) 存在，且 f A + (0) = 。 （22）（本题满分 11 分）设 1 1 1 1 1 1 0 4 2 A − − = − − − ， 1 1 1 2 − = − （Ⅰ）求满足 2 2 1 3 1 A A = = , 的所有向量 2 3 , （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量 2 3 , ，证明： 1 2 3 , , 线性无关。 （23）（本题满分 11 分）设二次型 ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 f x x x ax ax a x x x x x , , 1 2 2 = + + − + − （Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 2 2 1 2 y y + ，求 a 的值。 2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前 的字母填在题后的括号内
(1）设f(x)=x(x-1)(x-2)，则f(x)的零点个数为（(A)o(B)1.(C)2(D) 3(2）曲线方程为y=f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分"af'(xr)dx ((A)曲边梯形 ABOD面积.xytA(a(a)C(0,Ra))(B)梯形ABOD面积.B(a.0)x(C)曲边三角形ACD面积。(D)三角形ACD面积（3）在下列微分方程中，以y=Cer+C,cos2x+C,sin2x（C,C,,C,为任意常数）为通解的是（）(A)y+y-4y-4y=0(B)y+y+4y+4y=0(C)y-y-4y +4y=0(D)y-y +4y -4y=0(5）设函数f(x)在(-o0,+oo)内单调有界，(x为数列，下列命题正确的是（(A)若(x)收敛，则(f(x))收敛.(B)若(x)单调，则(f(x,))收敛(C)若(f(x,)收敛，则(x,)收敛(D)若(f(x,))单调，则(x)收敛aF(6） 设函数于连续，若F(u,1)=』+)ady，其中区域 De,为图中阴影部分，OuJx? + y2O(B) =f(u2)(A) f(u)(D) =f(u)(C) yf(u)（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若A=0，则（（A)E-A不可逆，E+A不可逆(B)E-A不可逆，E+A可逆(C)E-A可逆，E+A可逆(D)E-A可逆，E+A不可逆(1 2)(8)设A:则在实数域上与A合同的矩阵为（)21(B)A25-
- 25 - （1）设 2 f x x x x ( ) ( 1)( 2) = − − ，则 ' f x( ) 的零点个数为（ ） ( A) 0 (B) 1. (C) 2 (D) 3 （2）曲线方程为 y f x = ( ) 函数在区间 [0, ] a 上有连续导数，则定积分 0 ( ) a t af x dx （ ） ( A) 曲边梯形 ABOD 面积. (B) 梯形 ABOD 面积. (C) 曲边三角形 ACD 面积. (D) 三角形 ACD 面积. （3）在下列微分方程中，以 1 2 3 cos 2 sin 2 x y C e C x C x = + + （ 1 2 3 C C C , , 为任意常数）为通解的是（ ） ( A) ''' '' ' y y y y + − − = 4 4 0 (B) ''' '' ' y y y y + + + = 4 4 0 (C) ''' '' ' y y y y − − + = 4 4 0 (D) ''' '' ' y y y y − + − = 4 4 0 （5）设函数 f x( ) 在 ( , ) − + 内单调有界， xn 为数列，下列命题正确的是（ ） ( A) 若 xn 收敛，则 f x( ) n 收敛. (B) 若 xn 单调，则 f x( ) n 收敛. (C) 若 f x( ) n 收敛，则 xn 收敛. (D) 若 f x( ) n 单调，则 xn 收敛. （6）设函数 f 连续，若 2 2 2 2 ( ) ( , ) Duv f x y F u v dxdy x y + = + ，其中区域 D uv 为图中阴影部分，则 F u = ( A) 2 vf u( ) (B) 2 ( ) v f u u (C) vf u( ) (D) ( ) v f u u （7）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵. 若 3 A = 0 ，则（ ） ( A) E A − 不可逆， E A + 不可逆. (B) E A − 不可逆， E A + 可逆. (C) E A − 可逆， E A + 可逆. (D) E A − 可逆， E A + 不可逆. （8）设 1 2 2 1 A = ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为（ ） ( A) 2 1 1 2 − − . (B) 2 1 1 2 − −