考研数学历年真题：2018考研数学二真题及答案解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上=1，则1.若lim(e+ax+bx)x-→011.b=-1b=-1A.B.a=a=2211,b=1.b=1c.a=D.a:22【答案】B【解析】+2ar+bIn(e° +a° +bx)e"+2ax+b2x(e*+ax2 +bx)+ax?2x1=lim(ercelim(e"+2ax+b)=0[b=-1e"+2ax+b=lim-031e"+2ax+b402xa:lim=02x-→02x2.下列函数中，在x=0处不可导的是B. f (x)=|xsin /xA. f(x)=xsin|xlD. f(x)=cos /xC. f (x)= cosx【答案】D【解析】A可导：x sin (Ix)[x sin (Ix)×-sinx = 0, fi(0)= limx-sinxf.(0) = limlimlim=0xxx→0X→0xx-→0*X→0*xB可导：sin风xsin风x-sin Vx-x·sin -xf(0) = limlim0. f'(0) = limlim0x→0xx→0"xX-0xx→0xC可导：1Xcos|x|-1cos|x|122f'(0) = lim= lim=0, f'(0)= lim= lim=0xx→0xX-0x-0Xx-→0xD不可导：

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. 1.若   2 1 2 0 lim 1     x x x e ax bx ，则 A. 1 , 1 2 a b    B. 1 , 1 2 a b     C. 1 , 1 2 a b   D. 1 , 1 2 a b    【答案】B 【解析】       2 2 0 2 2 0 0 2 ln 1 lim 2 lim 2 lim 2 2 0 1 lim x x x x x x x e ax b e ax bx e ax b x e ax bx x x x x x e ax bx e e e                   0 2 lim 0 2 x x e ax b  x       0 0 lim 2 0 1 1 2 lim 0 2 2 x x x x e ax b b e ax b a x                         2.下列函数中，在 x  0 处不可导的是 A. f x x x    sin B. f x x x    sin C. f x x    cos D. f x x    cos 【答案】D 【解析】 A 可导：         - 0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x                    B 可导： -     0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x                      C 可导：     2 2 0 0 0 0 1 1 cos 1 cos 1 2 2 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x f f x x x x                       D 不可导：

网VixlCOSCOs2f"(0) = lin=lim,f'(0)= limlim22-0xxx:(0)+ f'(0)[2-ax, x≤-1x<0:-1<x<0,若f(x)+g(x)在R上连3.设函数(x)x≥0°8(μ)=)x.1x-b,x≥0续，则A.a=3,b=1B.a=3,b=2C.a=-3,b=1D.a=-3,b=2【答案】D【解析】lim[f(x)+g(x)]= lim (x)+ lim g(x)=-1+0=-1lim[f(x)+g(x)]=lim f(x)+limg(x)=1-b=-1=1-b=b=2lim[(x)+g(x)]= lim f(x)+ lim g(x)=-1+2+a=1+alim[(x)+g(x)]= lim.f(x)+ lim g(x)=-1-1=-2=-2=1+a=a=-34..设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且[(x)dx=0,则A.当f"()<0时，B.当f"(x)<0时,C. 当f(x)>0时，D当F"(x)>0时，【答案】D【解析】A错误: ()=-+÷J(n)x=(-++)x=0, ()=-1<0, ()=B错误：()--++- (- I(+)=-0. ()-2 0. ()-++->0

          0 0 0 0 1 1 - cos 1 1 1 cos 1 2 2 0 lim lim , 0 lim lim 2 2 0 0 x x x x x x x x f f x x x x f f                             3.设函数     2 , 1 1, 0 , , 1 0, 1, 0 , 0 ax x x f x g x x x x x b x                      若 f x g x      在 R 上连 续，则 A. a b   3, 1 B. a b   3, 2 C. a b    3, 1 D. a b    3, 2 【答案】D 【解析】                                 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 0 1 lim lim lim 1 1 1 2 lim lim lim 1 2 1 lim lim lim 1 1 2 2 1 x x x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x b b b f x g x f x g x a a f x g x f x g x a                                                                                  a  3 4. .设函数 f x  在   0,1 上二阶可导，且   1 0 f x dx  0,  则 A.当 f x    0 时， 1 0 2        f B. 当 f x    0 时， 1 0 2        f C. 当 f x    0 时， 1 0 2        f D. 当 f x    0 时， 1 0 2        f 【答案】D 【解析】 A 错误：       1 1 0 0 0, 1 0 1 1 1 , 2 , 0 2 2 f x x f x dx x dx f x f                           B 错误：       1 0 0 2 1 2 1 1 1 1 1 1 , 0 3 3 2 4 3 12 f x x f x dx x dx 0, 2 0, f x f                              

C 错误: ()=x-,J(x)dx=J (x-)x=0. ()=1>0, ()=0D正确：由"(x)>0可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出号 (1+x)2dx,N=[I+dx,K=(1+cosx)dx,则5.设M:1+x2A.M>N>KB.M>K>NC.K>M>ND.K>N>M【答案】 C【解析】2xM=J(1+dx=[1d1+x[-号,号时,+Vosx≥1,所以K>ME22令f(x)=1+x-e,f(0)=0, f(x)=1-e[-1 0, 0当xe[0号时,，「()0;当x[82e[-,时，有(x)≤0，从可有≤1，由比较定理得N<M,故选C所以xe2'216. ~ dx[2- (1- x)dy+ f"'dx[2 (1-xy)dyBS5A.-3636【答案】Cf (1-xy)dy+J ax [ (I- xy)dy= J[(1-xy)dxdy= J[ dxdy= S, =【解析】如图「dx

C 错误：       1 1 0 0 1 1 1 , 0 2 2 0, 1 0, 2 f x x f x dx dx f x x f                       D 正确： 由 f x    0 可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出 1 0 2 f        5.设     2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , , 1 cos , 1                    x x x M dx N dx K x dx x e 则 A. M N K   B. M K N   C. K M N   D. K N M   【答案】C 【解析】 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 1 , 1 cos 1, 2 2 ( ) 1 , (0) 0, ( ) 1 0, ( ) 0; ,0 ( ) 0 2 2 1 , ( ) 0 1 N<M, C 2 2 x x x x M dx dx x x x K M f x x e f f x e x f x x f x x x f x e                                                                   时， 所以 令 当 时， 当 时， 所以 时，有 ，从可有 ，由比较定理得 故选 6.     2 2 0 2 1 2 1 0 1 1 x x x x dx xy dy dx xy dy             A. 5 3 B. 5 6 C. 7 3 D. 7 6 【答案】C 【解析】如图, 2 2 0 2 1 2 1 0 7 (1 ) (1 ) (1 ) 3 x x D x x D D dx xy dy dx xy dy xy dxdy dxdy S                  

(110)7.下列矩阵中，与矩阵01相似的为1001110-0101B.000110010DC.00【答案】A【解析】方法一：排除法[1 1 0]011令Q=特征值为1,1,1，r(E-9)=210011TO1-1一0100选项A：令A=-12A的特征值为1,1,1，r(E-A)=rLo00100110[o01110选项B：令B=0B的特征值为1,1,1，r(E-B)=r0-1=1Lo0Lo001To11-1-1100100选项C：令C=0C的特征值为1,1,1，r(E-C)=r1Lo000001001000选项B：令D=D的特征值为1,1,l，r(E-D)=r0=11Lo00001

D y x  y x  O 2 y x  2 7.下列矩阵中，与矩阵 1 1 0 0 1 1 0 0 1           相似的为 A. 1 1 1 0 1 1 0 0 1            B. 1 0 1 0 1 1 0 0 1            C. 1 1 1 0 1 0 0 0 1            D. 1 0 1 0 1 0 0 0 1            【答案】A 【解析】 方法一：排除法 令 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Q            ，特征值为 1,1,1，r E Q     2 选项 A：令 1 1 1 0 1 1 0 0 1 A             ， A 的特征值为 1,1,1，   0 1 1 0 0 1 2 0 0 0 r E A r                选项 B：令 1 0 1 0 1 1 0 0 1 B             ， B 的特征值为 1,1,1，   0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 r E B r               选项 C：令 1 1 1 0 1 0 0 0 1 C             ，C 的特征值为 1,1,1，   0 1 1 0 0 0 1 000 r E C r               选项 B：令 1 0 1 0 1 0 0 0 1 D             ， D 的特征值为 1,1,1，   0 0 1 0 0 0 1 000 r E D r             

若矩阵Q与J相似，则矩阵E-Q与E-J相似，从而r(E-Q)=r(E-J)，故选（A）方法二：构造法（利用初等矩阵的性质）[10-1010001令P=000100111相似0故选（A)8.设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，（X,Y)表示分块矩阵，则A.r(A AB)=r(A)B.r(A BA)=r(A)C.r(A B)=max(r(A), r(B).D.r(A B)=r(AT B')【答案】（A）【解析】 r(E,B)=n=r(A,AB)=r[A(E,B)]=r(A)故选（A）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上lim x*[arctan(x+1)-arctan x]=9.X-→+【答案】1【解析】原式拉格朗日中值定理limx=1,ce(x,x+l)1+6210.曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是【答案】y=4x-322【解析】y=x?+2lnx，定义域为(xx>0，y=2x+y"=2-，令y"=0，则x=±1，由于x>0，故x=1，故拐点为(1,1)，y()=4，则过拐点(1,1)的切线方程为y-1=4(x-1)即y=4x-3

若矩阵 Q与 J 相似，则矩阵 E Q 与 E J  相似，从而 r E Q r E J        ，故选（A） 方法二：构造法（利用初等矩阵的性质） 令 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P            ， 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P              1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 P P                        ，所以 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1                      与 相似 故选（A） 8.设 AB, 为 n 阶矩阵，记 r X( ) 为矩阵 X 的秩，( , ) X Y 表示分块矩阵，则 A. r A AB r A ( ) ( ).  B. r A BA r A ( ) ( ).  C. r A B r A r B ( ) max{ ( ) ( )}.  ， D. ( ) ( ). T T r A B r A B  【答案】（A） 【解析】 r E B n r A AB r A E B r A ( , ) ( , ) [ ( , )] ( )     故选（A） 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. 9. 2 lim [arctan( 1) arctan ] x x x x    _. 【答案】1 【解析】原式 2 2 1 lim 1, ( , 1) x 1 x  x x       拉格朗日中值定理 . 10. 曲线 2 y x x   2ln 在其拐点处的切线方程是_. 【答案】 y x   4 3 【解析】 2 y x x   2ln ，定义域为 { 0} x x  ， 2 y x ' 2 x   ， 2 2 y '' 2 x   ，令 y '' 0  ，则 0 x  1 ，由于 x  0 ，故 0 x 1 ，故拐点为 (1,1) ， 0 y x'( ) 4  ，则过拐点 (1,1) 的切线方程 为 y x    1 4( 1) 即 y x   4 3