(3）函数f(x)=ln(x-1)x-2)(x-3)的驻点个数为（(A) 0(c) 2(B) 1(D) 3（4）微分方程y"-y=ex+e-（a>O)的特解形式为（）(A) a(e' +e-r)(B) ax(e'r +e-r)(C) x(ae*r +be-)(D) x(ae*r +be-)(5）设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)>0，g(0)<0，f(0)=g(0)=0则函数z=f(x)g(y)在点（0.0）处取得极小值的一个充分条件是（）(A) f"(0)<0,g"(0)>0(B) f"(0)<0, g"(0)<0(D) f"(0)>0, g"(0)<0(c) f"(0)>0, g"(0)>0(6）设1：4 ln sin xdx,J=4lncotxdx,K-incosxdx，则I，J，K的大小关系为（(A) I<J<K(B) I<K<J(C) J<I<K(D) K<J<I10011（7)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵。记P=00(100)00P, =1则A=（)0)(0 1(B) P'P,(D) P,P-(A) PP2(C) P,P(8)设A=(αi,αz,α3,α4)是4阶矩阵，A为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0)是方程组Ax=0的一个基础解系，则Ax=0)的基础解系可为（(A) αj,αs(B) αj,α2(c) α1,α2,αs(D) α2,αg,αs二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。1+2*(9) lim（10）微分方程y+y=e-cosx满足条件y(O)=0的解为y=(11）曲线y='tantdt (0≤x≤)的弧长s=- 16 -
- 16 - （3）函数 f (x) = ln (x −1)(x −2)(x −3) 的驻点个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （4）微分方程 ( 0) 2 − = + − x x y y e e 的特解形式为（ ） （A） ( ) x x a e e − + （B） ( ) x x ax e e − + （C） ( ) x x x ae be − + （D） ( ) 2 x x x ae be − + （5）设函数 f (x) ，g(x) 均有二阶连续导数，满足 f (0) 0，g(0) 0 ， f (0) = g (0) = 0 则函数 z = f (x)g( y) 在点 (0,0) 处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A） f (0) 0 ， g (0) 0 （B） f (0) 0 ， g (0) 0 （C） f (0) 0， g (0) 0 （D） f (0) 0 ， g (0) 0 （6）设 = 4 0 ln sin I xdx， = 4 0 ln cot J xdx， = 4 0 ln cos K xdx ，则 I ， J ， K 的大小关系为（ ） （A） I J K （B） I K J （C） J I K （D） K J I （7）设 A 为3阶矩阵，将 A 的第2列加到第1列得矩阵 B ，再交换 B 的第2行与第3行得单位矩阵。记 = 0 0 1 1 1 0 1 0 0 P1 ， = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 P2 ，则 A =（ ） （A） P1P2 （B） 2 1 P1 P − （C） P2P1 （D） 1 2 1 − P P （8）设 ( , , , ) A = 1 2 3 4 是 4 阶矩阵， * A 为 A 的伴随矩阵。若 T (1,0,1,0) 是方程组 Ax = 0 的一个基础解系，则 0 * A x = 的基础解系可为（ ） （A） 1 3 , （B） 1 2 , （C） 1 2 3 , , （D） 2 3 4 , , 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上。 （9） = + → x x x 1 0 2 1 2 lim 。 （10）微分方程 y y e x x cos ' − + = 满足条件 y(0) = 0 的解为 y = 。 （11）曲线 = x y tdt 0 tan ) 4 (0 x 的弧长 s =
[ae*, x>0. >0, 则x(x)dx=-(12）设函数f(x)=x≤0,0,（13）设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分[[xyd:D（14）二次型f(x,X2,x）=+3x++2xx2+2xx+2x2，则f的正惯性指数为三、解答题：1523小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）[' in(I+ t°)dt设limF(x)=limF(x)=0，试求α的取值范围。已知函数F(x)xaX→+ox->0（16）（本题满分11分）1+/-33设函数y=y(x)由参数方程确定，求y=(x)的极值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。13-t+23a（17）（本题满分9分）设函数z=f(xy,yg(x)，其中函数具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1，求a2axoyl=l（18）（本题满分10分）设函数y(x）具有二阶导数，且曲线/:y=y(x）与直线y=x相切于原点，记α为曲线l在点（x,y）处切线的倾角，若da_，求y(x)的表达式。dxdx（19）（本题满分10分）1（I）证明：对任意的正整数n，都有一成立，<Inl1+.n+1n)n/1-In n(n=1,2,..)，证明数列(a,)收敛。(I)设a,=1++.2n（20）（本题满分11分）- 17 -
- 17 - （12）设函数 = − 0, , ( ) kx e f x 0, 0, x x 0 ，则 + − xf(x)dx = 。 （13）设平面区域 D 由直线 y = x ，圆 x y 2y 2 2 + = 及 y 轴所围成，则二重积分 = D xyd 。 （14）二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + 3x + x + 2x x + 2x x + 2x x ，则 f 的正惯性指数为 。 三、解答题：15～23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上，解答应字说明、 证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分 10 分） 已知函数 x t dt F x x + = 0 2 ln(1 ) ( ) ，设 lim ( ) lim ( ) 0 0 = = → + →+ F x F x x x ，试求 的取值范围。 （16）（本题满分 11 分） 设函数 y = y(x) 由参数方程 = − + = + + 3 1 3 1 , 3 1 3 1 3 3 y t t x t t 确定，求 y = y(x) 的极值和曲线 y = y(x) 的凹凸区间及拐点。 （17）（本题满分 9 分） 设函数 z = f (xy, yg(x)) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x) 可导且在 x =1 处取得极值 g(1) =1 ，求 1 1, 2 = = y x y x z 。 （18）（本题满分 10 分） 设函数 y(x) 具有二阶导数，且曲线 l : y = y(x) 与直线 y = x 相切于原点，记 为曲线 l 在点 (x, y) 处切线的倾角， 若 dx dy dx d = ，求 y(x) 的表达式。 （19）（本题满分 10 分） （I）证明：对任意的正整数 n ，都有 n n n 1 1 ln 1 1 1 + + 成立。 （II）设 ln ( 1,2, ) 1 2 1 =1+ ++ − n n = n an ，证明数列 an 收敛。 （20）（本题满分 11 分）
)与x2+=1(y≤一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y?=2y(y≥2连接而成。（I）求容器的容积；（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m，重力加速度为gm/s2，水的密度为10kgm2）（21）（本题满分11分）已知函数f(x,J)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0，f(x,1)=0，[f(x,y)dxdy=a，其中D=(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1],计算二重积分I=[[xf(x,)dxdy。D（22）（本题满分11分）设向量组α,=(1,0,1),α,=(0,1,1),α,=(1,3,5)不能由向量组β,=(1,1,1)’，β,=(1,2,3)，β,=(3,4,a)线性表示。（I）求a的值；(I）将,β2,β,用α,α2,α,线性表示。（23）（本题满分11分）(1-11000设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A1（I）求A的所有的特征值与特征向量；（I）求矩阵A。2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一选择题x"-x(A）函数f(x)=/1+一的无穷间断点的个数为x?-1 VAD3AOB1C22.设yi,是一阶线性非齐次微分方程y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数,使y+y是该方程的解，-y是该方程对应的齐次方程的解，则- 18 -
- 18 - 一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 ) 2 1 2 ( 2 2 x + y = y y 与 ) 2 1 1( 2 2 x + y = y 连接而成。 （I）求容器的容积； （II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？ （长度单位： m ，重力加速度为 2 g m s ，水的密度为 3 3 10 kg m ） （21）（本题满分 11 分） 已知函数 f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 f (1, y) = 0 ， f (x,1) = 0 ， = D f (x, y)dxdy a ，其中 D = (x, y)0 x 1,0 y 1 ，计算二重积分 = D I xyf xy (x, y)dxdy。 （22）（本题满分 11 分） 设向量组 T (1,0,1) 1 = ， T (0,1,1) 2 = ， T (1,3,5) 3 = 不能由向量组 T (1,1,1) 1 = ， T (1,2,3) 2 = ， T (3,4, a) 3 = 线性表示。 （I）求 a 的值； （II）将 1 2 3 , , 用 1 2 3 , , 线性表示。 （23）（本题满分 11 分） 设 A 为 3 阶实对称矩阵， A 的秩为 2，且 A − = − 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 。 （I）求 A 的所有的特征值与特征向量； （II）求矩阵 A 。 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一选择题 (A) 函数 2 2的无穷间断点的个数为 2 1 1 1 ( ) x x x x f x + − − = A0 B1 C2 D3 2.设 1 2 y , y 是一阶线性非齐次微分方程 y + p(x) y = q(x) 的两个特解，若常数 , 使 1 2 y + y 是该方 程的解， 1 2 y − y 是该方程对应的齐次方程的解，则
111A:B 2Hu:22232122Cn=DΛ=34=3.433(1）曲线y=x2与曲线y=alnx(a±0)相切，则a=B3eDeA4eC2e1 /n(1-x)。dx的收敛性4.设m,n为正整数,则反常积分/xA仅与m取值有关B仅与n取值有关c与m,n取值都有关D与m,n取值都无关Oza25.设函数z=2(x,J)由方程F(,三)=0确定,其中F为可微函数,且 F+0,则x-axOyxxBzAxc-xDzh6.(4) lim 台台(n+i)(n?+)X(1+ x)(1+ y2)(1+x)(1+ y)11cldxD'dxl 1+(1+)Jo(1+x)(1+y)dy7.设向量组I:αi,α2，α,可由向量组II：β，β，，β,线性表示，下列命题正确的是；A若向量组I线性无关，则r≤sB若向量组1线性相关，则r>sC若向量组IⅡ线性无关，则r≤sD若向量组IⅡI线性相关，则r>s15.设A为4阶对称矩阵,且A2+A=0,若A的秩为3,则A相似于0100二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程y"-2y+y-2y=0的通解y=2x3(1）曲线y的渐近线方程为x2 +1(2)函数y=n(1-2x)在x=0处的n阶导数y(")(0)=19-
- 19 - A 2 1 , 2 1 = = B 2 1 , 2 1 = − = − C 3 1 , 3 2 = = D 3 2 , 3 2 = = (1) 曲线y = x 与曲线y = aln x(a 0)相切，则a = 2 A4e B3e C2e De 4.设 为正整数,则反常积分 的收敛性 A 仅与 取值有关 B 仅与 取值有关 C 与 取值都有关 D 与 取值都无关 5.设函数 由方程 确定,其中 为可微函数,且 则 = A B C D 6.(4) = A B C D 7.设向量组 I :1 ,2 ,，r可由向量组 II：1，2，，s线性表示 ，下列命题正确的是： A 若向量组 I 线性无关，则 r s B 若向量组 I 线性相关，则 r>s C 若向量组 II 线性无关，则 r s D 若向量组 II 线性相关，则 r>s 15.设 为 4 阶对称矩阵,且 若 的秩为 3,则 相似于 A B C D 二填空题 9.3 阶常系数线性齐次微分方程 y − 2y + y − 2y = 0 的通解 y=_ (1) 曲线 1 2 2 3 + = x x y 的渐近线方程为_ (2) 函数 ln(1 2 ) 0 (0) _ ( ) = − = = n y x 在x 处的n阶导数y m n, 2 1 0 ln (1 ) m n x dx x − m n m n, m n, z z x y = ( , ) ( , ) 0 y z F x x = F 2 F 0, z z x y x y + x z −x −z 2 2 1 1 lim ( )( ) n n x i j n → n i n j = = + + 1 2 0 0 1 (1 )(1 ) x dx dy + + x y 1 0 0 1 (1 )(1 ) x dx dy + + x y 1 1 0 0 1 (1 )(1 ) dx dy + + x y 1 1 2 0 0 1 (1 )(1 ) dx dy + + x y A 2 A A+ = 0, A A 1 1 1 0 1 1 1 0 − 1 1 1 0 − − 1 1 1 0 − − −
(3）当0≤≤时，对数螺线r=e°的弧长为(4）已知一个长方形的长1以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,W=5cm时，它的对角线增加的速率为(5）设A，B为3阶矩阵，且A=3,B=2,A-1+B=2,则A+B-三解答题(6)求函数f(x)=(x2-1)ed的单调区间与极值。16.(1)比较["lin[n(1+t)"dt与"ln|di(n=1,2,)的大小,说明理由,(2)记u,="in[n(1+)"di(n=1,2, ),求极限limuw.x=2t+t2S'(t>-1)所确定，其中y(t)具有2阶导数，且y(l)：2y=y(t),3.d"y设函数y=f(x)由参数方程y()=6，已知求函数(t)。九、dx?4(1+t)2b十、一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为2时计算油的质量。pkg/m3（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为十一auo"u设函数u=(x,)具有二阶连续偏导数，且满足等式4%u+-Ox2Oyaxoy确定a,b的值，使等式在变换=x+ay,n=x+by下简化0agon计算二重积分1=[[r2sin0/1-r?cos20drd0,其中D=((r0)0≤r≤sec0,0≤0≤十二1十三、设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=3，证明：存在1),使得f()+ f'(n)= +nSe(O,22十四、(1)1a0设A=02-1已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解。元1110-1 4(1) 求几、a.23.设A3a40(2)求方程组Ax=b的通解。a20 -
- 20 - (3) 当0 时，对数螺线 的弧长为_ r = e (4) 已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽 w 以 3cm/s 的速率增加，则当 l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加 的速率为_ (5) 设 A，B 为 3 阶矩阵，且 3, 2, 2, _ 1 1 = = + = + = − − A B A B 则 A B 三解答题 (6) 求函数 = − − 的单调区间与极值。 2 2 1 2 ( ) ( ) x t f x x t e dt 16.(1)比较 与 的大小,说明理由. (2)记 求极限 九、 设函数 y=f(x)由参数方程 ，已知 求函数 。 所确定，其中 具有 阶导数，且 ， , ( ) 4(1 ) 3 (1) 6 2 5 ( 1) ( ) 2 (1) ( ), 2 , 2 2 2 t dx t d y t t y t x t t + = = − = = = + 十、一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a,短轴为 2b 的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 b 2 3 时， 计算油的质量。 （长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为 3 kg / m ） 十一、 , , 0 ( , ) 4 12 5 0. 2 2 2 2 2 2 = = + = + = + + = u a b x ay x by y u x y u x u u f x y 确定 的值，使等式在变换 下简化 设函数 具有二阶连续偏导数，且满足等式 十二、 }. 4 sin 1 cos 2 , D ( , ) 0 sec ,0 2 2 = − = I r r drd r r D 计算二重积分 其中 ｛ 十三、设函数 f(x) 在闭区间 [0,1] 上 连 续 ， 在 开 区 间 (0,1) 内 可 导 ， 且 f(0)=0,f(1)= 3 1 , 证 明 ： 存 在 ,1), ( ) ( ) . 2 1 ), ( 2 1 (0, 2 2 使得f + f = + 十四、 求方程组 的通解。 （）求 、 设 已知线性方程组 存在 个不同的解。 Ax b a Ax b a A b = = = = − (2) 1 . . 2 1 , 1 1 1 0 1 0 1 1 23.设 − − = 4 0 1 3 0 1 4 a A a ， 1 0 ln [ln(1 )]n t t dt + 1 0 ln ( 1,2, ) n t t dt n = 1 0 ln [ln(1 )] ( 1,2, ), n n u t t dt n = + = lim . n x u →