二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上，1-cos[(x)]-1, 则 f(0)=（9）已知函数f(x)连续，且limx-0 (er -1)f(x)（10）微分方程（y+xe-)dx-xdy=0的通解是y=(11）曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0,1)处的切线方程为（12）曲线y=(x-5)x3的拐点坐标为Oz（13）设则ax/a,2)X（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,入.若行列式2A=-48，则=三、解答题：15一23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤[sin x-sin(sin x)]sin x（15）（本题满分9分）求极限limx4(16)（本题满分10分）dxx= x(t)2te-x=0a2y设函数y=y(x)由参数方程确定，其中x(t)是初值问题的解.求ax2In(1+u)dux0 = 01 xarecsinXdx(17）（本题满分9分）求积分1-x(18)（本题满分11分）求二重积分[max(xy,1)dxdy,其中D=(x,y)]0≤x≤2,0≤y≤2)(19)（本题满分11分）设f(x)是区间[0,+)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1.对任意的te[0,+o)，直线x=0,x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式(20)（本题满分11分）26-
- 26 - (C) 2 1 1 2 . (D) 1 2 2 1 − − . 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数 f x( ) 连续，且 2 0 1 cos[ ( )] lim 1 ( 1) ( ) x x xf x e f x → − = − ，则 f (0) _ = . （10）微分方程 2 ( ) 0 x y x e dx xdy − + − = 的通解是 y = _ . （11）曲线 sin ln ( xy y x x ) + − = ( ) 在点 (0,1) 处的切线方程为 . （12）曲线 2 3 y x x = − ( 5) 的拐点坐标为_. （13）设 x y y z x = ，则 (1,2) _ z x = . （14）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3, .若行列式 2 48 A = − ，则 = _ . 三、解答题：15－23 题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分 9 分）求极限 ( ) 4 0 sin sin sin sin lim x x x x → x − . (16)（本题满分 10 分） 设函数 y y x = ( ) 由参数方程 2 0 ( ) ln(1 ) t x x t y u du = = + 确定，其中 xt() 是初值问题 0 2 0 0 x t dx te dt x − − − = = 的解.求 2 2 y x . (17)（本题满分 9 分）求积分 1 0 2 arcsin 1 x xdx − x . (18)（本题满分 11 分） 求二重积分 max( ,1) , D xy dxdy 其中 D x y x y = {( , ) 0 2,0 2} (19)（本题满分 11 分） 设 f x( ) 是区间 0,+) 上具有连续导数的单调增加函数，且 f (0) 1 = .对任意的 t + 0, ) ，直线 x x t = = 0, ，曲 线 y f x = ( ) 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍， 求函数 f x( ) 的表达式. (20)（本题满分 11 分）
(1)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点ne[a,b]，使得f(x)dx=f(n)(b-a)(2)若函数p(x)具有二阶导数，且满足p(2)>p(1),p(2)>,p(x)dx，证明至少存在一点≤E(1,3),使得p"()<0（21）（本题满分11分）求函数u=x+y+z在约束条件z=x+y和x+y+z=4下的最大值与最小值（22）（本题满分12分）(2a1α?2a.，现矩阵A满足方程AX=B，其中X=（x,,x），B=(1,0,,0)设矩阵A=α?2a)m(1）求证|A|=(n+1)a"：（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x：（3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解（23）（本题满分10分）设A为3阶矩阵，α,α,为A的分别属于特征值-1,1特征向量，向量α,满足Aα,=α,+αg，（1）证明α,αz,α线性无关；(2)令P=(αj,α2,α),求P-"AP2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当x→0+时，与√x等价的无穷小量是(B) In 1+x(A) 1-er(C)I+/-1 (D) 1-COs x『1-Vx-27 -
- 27 - (1) 证明积分中值定理：若函数 f x( ) 在 闭 区 间 [ , ] a b 上 连 续 ， 则 至 少 存 在 一 点 [ , ] a b ，使得 ( ) ( )( ) b a f x dx f b a = − (2)若函数 ( ) x 具有二阶导数，且满足 3 2 (2) (1), (2) ( ) x dx ，证明至少存在一点 (1,3), ( ) 0 使得 （21）（本题满分 11 分） 求函数 2 2 2 u x y z = + + 在约束条件 2 2 z x y = + 和 x y z + + = 4 下的最大值与最小值. （22）（本题满分 12 分） 设矩阵 2 2 2 1 2 1 2 n n a a a A a a = ，现矩阵 A 满足方程 AX B = ，其中 ( 1 , , ) T X x x = n ， B = (1,0, ,0) ， （1）求证 ( 1) n A n a = + ； （2） a 为何值，方程组有唯一解，并求 1 x ； （3） a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分 10 分） 设 A 为 3 阶矩阵， 1 2 , 为 A 的分别属于特征值 −1,1 特征向量，向量 3 满足 A 3 2 3 = + ， （1）证明 1 2 3 , , 线性无关； （2）令 P = ( 1 2 3 , , ) ，求 1 P AP − . 2007 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的 字母填在题后的括号内. （1）当 x 0 → + 时，与 x 等价的无穷小量是 （A） 1 e x − （B） 1 ln 1 x x + − （C） 1 1 + − x （D） 1 cos − x [ ]
(2) 函数 (a)=(℃ +e)tan在[-元, ] 上的第一类间断点是x=I1(C)_≥(D）元(A) 0(B) 122(3）如图，连续函数y=f(x)在区间[-3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)=f(t)dt，则下列结论正确的是：rA(A)F(3):(B) F(3)-2F(2)2F(2)5(C) F(3)=(D) F(3)=F(-2)14（4）设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：()存在，则(0)=0f(x)+f(-)存在，则f(0)=0（A）若lim（B）若limxxf(x)f(x)-f(-x)存在，则f"(0)=0(D）若lim存在，则f(0)=0.(C）若limx-→0xr-0A[1-ln(1+e)的渐近线的条数为（5）曲线）(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D) 3.1(6）设函数f(x)在(0,+o)上具有二阶导数，且f"(x)>0，令u,=f(n)，则下列结论正确的是：(A)若u,>uz，则(u)必收敛(B)若u>u,，则(u)必发散1(C)若u<u，则(un)必收敛。(D）若u<u，则(u)必发散I(7）二元函数f(x,J)在点(0,0)处可微的一个充要条件是[1(A) (limao[f(x,)-f(0,O)]=0.X,V)-(x,0)-(0,0) =0,且im(0, )-(0,0) = 0.（B）limxyx-→0V-0-28 -
- 28 - （2）函数 1 (e e) tan ( ) e e x x x f x x + = − 在 − , 上的第一类间断点是 x = [ ] （A）0 （B）1 （C） 2 − （D） 2 （3）如图，连续函数 y f x = ( ) 在区间 − − 3, 2 , 2,3 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 −2,0 , 0,2 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 0 ( ) ( )d x F x f t t = ，则下列结论正确的是： （A） 3 (3) ( 2) 4 F F = − − (B) 5 (3) (2) 4 F F = （C） 3 (3) (2) 4 F F = （D） 5 (3) ( 2) 4 F F = − − [ ] （4）设函数 f x( ) 在 x = 0 处连续，下列命题错误的是： （A）若 0 ( ) lim x f x → x 存在，则 f (0) 0 = （B）若 0 ( ) ( ) lim x f x f x → x + − 存在，则 f (0) 0 = . （C）若 0 ( ) lim x f x → x 存在，则 f (0) 0 = （D）若 0 ( ) ( ) lim x f x f x → x − − 存在，则 f (0) 0 = . [ ] （5）曲线 ( ) 1 ln 1 ex y x = + + 的渐近线的条数为 （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）设函数 f x( ) 在 (0, ) + 上具有二阶导数，且 f x ( ) 0 ，令 ( ) n u f n = ，则下列结论正确的是： (A) 若 1 2 u u ，则 un 必收敛. (B) 若 1 2 u u ，则 un 必发散 (C) 若 1 2 u u ，则 un 必收敛. (D) 若 1 2 u u ，则 un 必发散. [ ] （7）二元函数 f x y ( , ) 在点 (0,0) 处可微的一个充要条件是[ ] （A） ( ) ( , ) 0,0 lim ( , ) (0,0) 0 x y f x y f → − = . （B） 0 0 ( ,0) (0,0) (0, ) (0,0) lim 0, lim 0 x y f x f f y f → → x y − − = = 且
f(x, )- f(0.0) =0.lim(C)(x,y)→(0,0)x?+ y?(D) lim[r(x,0)- J(0,0) =0,且 lim[5 (0, )- f (0,0) =0(8）设函数f(x,J)连续，则二次积分[dx[f(x,y)dy等于(A)['dy["(B)['dy[".f(x,y)dx..f(x,y)dx(c)('dy["(D)('dy/f(x,y)dxf(x,y)dx（9）设向量组α1,α2,α,线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A) ,=α2,α,-g,α,-α(B) α, +α2,α, αg,α, +α[(C) , -2α2,α, -2α3,α-2α:(D)α,+2α,α,+2α,α,+2α:1(1 0 0)(2-1 -1)0-1 210-1B=（10）设矩阵A=则A与B(0 0 0)(-1 -1 2(A)合同且相似（B）合同，但不相似(C)不合同，但相似.1(D）既不合同也不相似f二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上arctanx-sinx(11)limWx-→0cost+cos?（12）曲线上对应于1：一的点处的法线斜率为Ly=1+sint41则 (")(0)=（13）设函数y2x+3二阶常系数非齐次微分方程"-4y+3y=2e2的通解为y(14)zOz （15）设f(u,v)是二元可微函数，则xaxayV(0100)0010则A的秩为（16）设矩阵A：0000000三、解答题：1724小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,cost-sint元上单调、可导的函数，且满足["f-(t)dt=（17）（本题满分10分）设f(x）是区间0,dt，其中4sint+cost- 29 -
- 29 - （C） ( , ) 0,0 ( ) 2 2 ( , ) (0,0) lim 0 x y f x y f x y → − = + . （D） 0 0 lim ( ,0) (0,0) 0, lim (0, ) (0,0) 0 x x y y x y f x f f y f → → − = − = 且 . （8）设函数 f x y ( , ) 连续，则二次积分 1 sin 2 d ( , )d x x f x y y 等于 （A） 1 0 arcsin d ( , )d y y f x y x + （B） 1 0 arcsin d ( , )d y y f x y x − （C） 1 arcsin 0 2 d ( , )d y y f x y x + （D） 1 arcsin 0 2 d ( , )d y y f x y x − （9）设向量组 1 2 3 , , 线性无关，则下列向量组线性相关的是 线性相关，则 (A) 1 2 2 3 3 1 − − − , , (B) 1 2 2 3 3 1 + + + , , (C) 1 2 2 3 3 1 − − − 2 , 2 , 2 . (D) 1 2 2 3 3 1 + + + 2 , 2 , 2 . [ ] （10）设矩阵 2 1 1 1 0 0 1 2 1 , 0 1 0 1 1 2 0 0 0 A B − − = − − = − − ，则 A 与 B (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （11） 3 0 arctan sin lim x x x → x − = _. （12）曲线 2 cos cos 1 sin x t t y t = + = + 上对应于 4 t = 的点处的法线斜率为_. （13）设函数 1 2 3 y x = + ，则 ( ) (0) n y = _. （14） 二阶常系数非齐次微分方程 2 4 3 2e x y y y − + = 的通解为 y = _. （15） 设 f u v ( , ) 是二元可微函数， , y x z f x y = ，则 z z x y x y − = _. （16）设矩阵 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0000 A = ，则 3 A 的秩为 . 三、解答题：17～24 小题，共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分 10 分)设 f x( ) 是区间 0, 4 上单调、可导的函数，且满足 ( ) 1 0 0 cos sin ( )d d sin cos f x x t t f t t t t t t − − = + ，其中
f-I是的反函数，求f(x)（18）（本题满分11分）设D是位于曲线y=/xa2a(a>10≤x<+oo)下方、x轴上方的无界区域。（I）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)：（Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值（19）（本题满分10分）求微分方程y(x+y")=y满足初始条件y(1)=y(I)=1的特解.(20）（本题满分11分）已知函数f(u)具有二阶导数，且f(O)=1，函数y=y(x)由方程y-xej-l=1所确定，设2=(lny-sinx)，求dx /x=0~ dx2 /x(21）(本题满分11分)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b)，证明：存在e(a,b)，使得f"()=g"().x2,[x|+y<11。1+2，计算二重积分[(x,)d，其中（22）（本题满分11分）设二元函数f(x,J)=Dx?+y?D= (x,y)[x+1y≤2),（23）（本题满分11分）x+x+x=0设线性方程组x+2x+ax,=0与方程x+2x+x=α-1有公共解，求a的值及所有公共解[x+4x+ax,=0（24）（本题满分11分）设三阶对称矩阵A的特征向量值=1,=2,=-2，α,=(1,-1,1)是A的属于的一个特征向量，记B=A-4A+E，其中E为3阶单位矩阵（I）验证α,是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（I）求矩阵B- 30 -
- 30 - 1 f − 是 f 的反函数，求 f x( ) . （18）（本题满分 11 分） 设 D 是位于曲线 2 ( 1,0 ) x a y xa a x − = + 下方、 x 轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域 D 绕 x 轴旋转一周所 成旋转体的体积 V a( ) ；（Ⅱ）当 a 为何值时， V a( ) 最小？并求此最小值. （19）（本题满分 10 分）求微分方程 2 y x y y ( ) + = 满足初始条件 y y (1) (1) 1 = = 的特解. （20）（本题满分 11 分）已知函数 f u( ) 具有二阶导数，且 f (0) 1 = ，函数 y y x = ( ) 由方程 1 e 1 y y x − − = 所确定，设 z f y x = − (ln sin ) ，求 2 0 0 2 d d , d d x x z z x x = = . （21） (本题满分 11 分)设函数 f x g x ( ), ( ) 在 a b, 上连续，在 ( , ) a b 内具有二阶导数且存在相等的最 大值， f a g a f b g b ( ) ( ), ( ) ( ) = = ，证明：存在 ( , ) a b ，使得 f g ( ) ( ) = . （22） (本题满分 11 分) 设二元函数 2 2 2 , | | | | 1 ( , ) 1 , 1 | | | | 2 x x y f x y x y x y + = + + ，计算二重积分 D f x y ( , )d ，其中 D x y x y = + ( , | | | | 2 ) . （23） (本题满分 11 分) 设线性方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 0 2 0 4 0 x x x x x ax x x a x + + = + + = + + = 与方程 1 2 3 x x x a + + = − 2 1 有公共解，求 a 的值及所有公共解. （24） (本题满分 11 分) 设三阶对称矩阵 A 的特征向量值 1 2 3 = = = − 1, 2, 2 ， T 1 = − (1, 1,1) 是 A 的属于 1 的一个特征向量，记 5 3 B A A E = − + 4 ，其中 E 为 3 阶单位矩阵. （I）验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵 B