2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）s小,若×0：其导函数在x-0处连续，则2 的取值范围是cOS(1) 设f(x)=x若x=0,0.（2）已知曲线y=x3=3α2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=[a,若0≤x≤],而D表示全平面，则/=[[f(x)g(y-x)dxdy=(3) 设a>0, f(x)= g(x)=[0,其他,I（4）设n维向量α=(a,0,.,0,a)a<0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-αα', B=E+-aaa其中A的逆矩阵为B，则a=（5）设随机变量×和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4，则Y与z的相关系数为（6）设总体x服从参数为2的指数分布，XX.X为来自总体X的简单随机样本，则当n→o0时，Y,=之x依概率收效于n=二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1） 设 (℃)为不恒等于零的奇函数，且,F(0) 存在，则函数g()= ()x(A)在x=0处左极限不存在(B）有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D）有可去间断点x=0.1（2）设可微函数f(x,y)在点(xo,yo）取得极小值，则下列结论正确的是(A）f(xo,J)在y=y处的导数等于零：（B）f(xo,J)在y=y处的导数大于零(C)f(xo,J)在y=yo处的导数小于零．(D）f(xo,y)在y=y处的导数不存在1[(3) 设p,=a, +a/_ a, -la,ln=1,2…，则下列命题正确的是a.22
2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 0, 0, 0, , 1 cos ( ) = = x x x x f x 若 若 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是_. （2）已知曲线 与 x 轴相切，则 可以通过 a 表示为 _. （3）设 a>0， 而 D 表示全平面，则 =_. （4）设 n 维向量 ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 ， ， 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_. （5）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 ，则 Y 与 Z 的相关系数为_. （6）设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 时， 依概率收敛于_. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 存在，则函数 (A) 在 x=0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0. (C) 在 x=0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点 x=0. [ ] （2）设可微函数 f(x,y)在点 取得极小值，则下列结论正确的是 (A) 在 处的导数等于零. （B） 在 处的导数大于零. (C) 在 处的导数小于零. (D) 在 处的导数不存在. [ ] （3）设 ， ， ，则下列命题正确的是 y = x − a x + b 3 2 3 2 b = 2 b ， a x f x g x 其他 若0 1, 0, , ( ) ( ) = = = − D I f (x)g( y x)dxdy = (a,0, ,0,a) ,a 0 T T A = E − T a B E 1 = + Z = X − 0.4 X X Xn , , , 1 2 n → = = n i n Xi n Y 1 1 2 f (0) x f x g x ( ) ( ) = ( , ) 0 0 x y ( , ) 0 f x y 0 y = y ( , ) 0 f x y 0 y = y ( , ) 0 f x y 0 y = y ( , ) 0 f x y 0 y = y 2 n n n a a p + = 2 n n n a a q − = n = 1,2,
则入(A)若条件收敛，都收敛>a.P9nn=ln=ln=l则≥p.与≥4.都收敛.(B）若a,绝对收敛，=Ral=(C）若a条件收敛，，则言分。与24. 收性部不是。=n=l则p与q，敛散性都不定-(D）若a，绝对收敛，贝[1n=1n=1n=1[abb]（4）设三阶矩阵A=bab若A的伴随矩阵的秩为1，则必有bba(A)a=b或a+2b=0.(B）a=b或a+2b0(C) ab且 a+2b=0.(D）ab且a+2b±0.[1（s）设α,αz"",α，均为n维向量，下列结论不正确的是(A)若对于任意一组不全为零的数k,kz",，都有kα+αz++k,α，0，则α,α2,"α线性无关，(B)若αi,αz,"",α，线性相关，则对于任意一组不全为零的数k,kz,",k，，都有k,α,+k,α,+...+k,α,=o(C)α1,α2，"",α，线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D）α,α2，α，线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关11(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A,={掷第一次出现正面)，A,={掷第二次出现正面)，A,={正、反面各出现一次，Af={正面出现两次，则事件(A）A,A2,A,相互独立(B）A2,A3,A相互独立.(C）AA2,A,两两独立.(D）A,A,A两两独立.[1三、（本题满分8分）设111f(x)=,1XEI元(1-x)Xsinx试补充定义 f(1)使得 f(x)在[1]上连续
(A) 若 条件收敛，则 与 都收敛. (B) 若 绝对收敛，则 与 都收敛. (C) 若 条件收敛，则 与 敛散性都不定. (D) 若 绝对收敛，则 与 敛散性都不定. [ ] （4）设三阶矩阵 ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有 (A) a=b 或 a+2b=0. (B) a=b 或 a+2b 0. (C) a b 且 a+2b=0. (D) a b 且 a+2b 0. [ ] （5）设 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 (A) 若对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，则 线性无关. (B) 若 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 ， 都 有 (C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s. (D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、 反面各出现一次}， ={正面出现两次}，则事件 (A) 相互独立. (B) 相互独立. (C) 两两独立. (D) 两两独立. [ ] 三、（本题满分 8 分） 设 试补充定义 f(1)使得 f(x)在 上连续. n=1 n a n=1 pn n=1 n q n=1 n a n=1 pn n=1 n q n=1 n a n=1 pn n=1 n q n=1 n a n=1 pn n=1 n q = b b a b a b a b b A s , , , 1 2 s k , k , , k 1 2 k11 + k2 2 ++ ks s 0 s , , , 1 2 s , , , 1 2 s k , k , , k 1 2 0. k11 + k2 2 ++ ks s = s , , , 1 2 s , , , 1 2 A1 A2 A3 A4 1 2 3 A , A , A 2 3 4 A , A , A 1 2 3 A , A , A 2 3 4 A , A , A ,1). 2 1 , [ (1 ) 1 sin 1 1 ( ) − = + − x x x x f x ,1] 2 1 [
四、（本题满分8分） t()具有二阶连续偏导数，且满足+%=1 , 又g(1,)=[,(x2 -y2)) ,求Ou?Ov21a'g.o"gax?+ ay?五、（本题满分8分）计算二重积分I= [e-(+-m) sin(x + y’)dxdy.D其中积分区域D=((x,J)x2+≤元)六、（本题满分9分）求幂级数1+(-1)"-(x<1)的和函数f(x)及其极值2nI七、（本题满分9分）设 F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-c0,+c0)内满足以下条件:f'(x)=g(x), g(x)=f(x)，且 f(0)=0, f(x)+g(x)=2er(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2)求出 F(x)的表达式八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3)上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1.试证必存在=(0,3)，使f()= 0.九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组[(a,+b)x,+a,x,+agx,+..+a,x,=0,ax +(a2+b)x2 +agx+...+auxn=0,ax,+a,x,+(a,+b)x,+...+anx,=0,[ax+a,x,+agxg+...+(an+b)x,=0,其中心Za,0.试讨论ai,a2,,a，和b满足何种关系时，1=1(1)方程组仅有零解：(2）方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。十、（本题满分13分）设二次型f(x,X2,x)=XTAX=ax +2x2-2x+2bxx(b>0),中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12(1)求a,b的值；(2）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵
四 、（本题满分 8 分） 设 f(u,v) 具有二阶连续偏导数，且满足 ， 又 ,求 五、（本题满分 8 分） 计算二重积分 其中积分区域 D= 六、（本题满分 9 分） 求幂级数 的和函数 f(x)及其极值. 七、（本题满分 9 分） 设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x)在 内满足以下条件： ， ，且 f(0)=0, (1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出 F(x)的表达式. 八、（本题满分 8 分） 设函数 f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 ，使 九、（本题满分 13 分） 已知齐次线性方程组 其中 试讨论 和 b 满足何种关系时， (1) 方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分 13 分） 设二次型 ， 中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12. (1) 求 a,b 的值； (2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 1 2 2 2 2 = + v f u f ( )] 2 1 ( , ) [ , 2 2 g x y = f xy x − y . 2 2 2 2 y g x g + sin( ) . ( ) 2 2 2 2 I e x y dxdy D x y = + − + − {( , ) }. 2 2 x y x + y = + − 1 2 ( 1) 2 1 ( 1) n n n x n x (−,+) f (x) = g(x) g (x) = f (x) ( ) ( ) 2 . x f x + g x = e (0,3) f ( ) = 0. + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 n n n n n n n n a x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x 0. 1 = n i ai a a an , , , 1 2 ( , , ) 2 2 2 ( 0) 1 3 2 3 2 2 2 f x1 x2 x3 = X AX = ax1 + x − x + bx x b T
十一、（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为1,若xe[1,8],f(x)=3/x2其他；10,F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数十二、（本题满分13分）设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为2X~(0.30.7)而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)2003年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）1若x+0x"cos-其导函数在x=0处连续，则元的取值范围是入>2(1) 设f(x)=x若x=0,0,【分析】当x0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当元>1时，有11,若x+0,Arisin-cosf(x):Xx若x=0,0显然当入>2时，有limfx）=0=(0)，即其导函数在x=0处连续（2）已知曲线y=x3-3ax+b与x轴相切，则b?可以通过a表示为b2=4a【分析】曲线在切点的斜率为0，即v'=0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b?与a的关系【详解】由题设，在切点处有y=3x2-3a2=0,有=α2又在此点y坐标为0，于是有0=x-3ax。+b=0,故b2=x(3a2-x)2=α2.4a*=4a【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程[a,若0≤x≤1,而D表示全平面，则=J[f(x)g(y-x)dxdy=a2(3) 设 a>0, f(x)=g(x)=[0，其他，D【分析】本题积分区域为全平面，但只有当0≤x≤10≤y-x≤1时，被积函数才不为零，因此实际
十一、（本题满分 13 分） 设随机变量 X 的概率密度为 F(x)是 X 的分布函数. 求随机变量 Y=F(X)的分布函数. 十二、（本题满分 13 分） 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 ， 而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 2003 年考研数学（三）真题解析 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 0, 0, 0, , 1 cos ( ) = = x x x x f x 若 若 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是 . 【分析】 当 0 可直接按公式求导，当 x=0 时要求用定义求导. 【详解】 当 时，有 显然当 时，有 ，即其导函数在 x=0 处连续. （2）已知曲线 与 x 轴相切，则 可以通过 a 表示为 . 【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处 纵坐标为零，即可找到 与 a 的关系. 【详解】 由题设，在切点处有 ，有 又在此点 y 坐标为 0，于是有 , 故 【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设 a>0， 而 D 表示全平面，则 = . 【分析】本题积分区域为全平面，但只有当 时，被积函数才不为零，因此实际 ; [1,8], 0, , 3 1 ( ) 3 2 其他 若 = x x f x 0.3 0.7 1 2 X ~ 2 x 1 0, 0, 0, , 1 sin 1 cos ( ) 1 2 = + = − − x x x x x x f x 若 若 2 lim ( ) 0 (0) 0 f x f x = = → y = x − a x + b 3 2 3 2 b = 2 b 6 4a y = 0 2 b 3 3 0 2 2 y = x − a = . 2 2 x0 = a 0 3 0 0 3 2 = x0 − a x + b = (3 ) 4 4 . 2 2 2 4 6 0 2 2 0 2 b = x a − x = a a = a ， a x f x g x 其他 若0 1, 0, , ( ) ( ) = = = − D I f (x)g( y x)dxdy 2 a 0 x 1,0 y − x 1
上只需在满足此不等式的区域内积分即可【详解】 = [[f(x)g(y-x)dxdy=I[a? dxdyD0≤x≤1,0≤yxs1a? 'dx"" dy = a '[(x+1)-x]dx = a?【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设n维向量α=(a,0,.,0,a),a<0：E为n阶单位矩阵，矩阵1aoTA=E-ααT,B-E+-a-1其中A的逆矩阵为B，则a=【分析】这里αα为n阶矩阵，而αα=2a?为数，直接通过AB=E进行计算并注意利用乘法的结合律即可，由题设，有【详解】1-αα)AB =(E-αα)(E+d=E-αα'+!-αq1-aαT.αa0a11=E-ααT+--aaα(αα)αaa1=E-ααT+-aaT-2aaa1-)ααT=E,=E+(-1-2a+a112a+a-1=0，解得a-1-2g+=0，即于是有,α=-1、由于A<0,故a=-1a（5）设随机变量×和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4，则Y与Z的相关系数为0.9【分析】利用相关系数的计算公式即可.【详解】因为cov(Y,Z)= cov(Y,X -0.4)= E[(Y(X -0.4))-E(Y)E(X -0.4)=E(XY)-0.4E(Y)-E(Y)E(X)+0.4E(Y)=E(XY) - E(X)E(Y)=COV(X,Y),且DZ=DX.cov(Y,Z)cov(X,Y)Pxx=0.9于是有Cov(Y,Z)=JDYDZDXDY【评注】注意以下运算公式：D(X+a)=DX，cov(X,Y+a)=cov(X,Y)（6）设总体×服从参数为2的指数分布，XX2X，为来自总体×的简单随机样本，则当n→o011"ZX?依概率收敛于时，Y=2n=l【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X，X2，""X，，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：
上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解】 = = 【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的 区域的公共部分上积分即可. （4）设 n 维向量 ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 ， ， 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= -1 . 【分析】 这里 为 n 阶矩阵，而 为数，直接通过 进行计算并注意利用乘法的 结合律即可. 【详解】 由题设，有 = = = = , 于是有 ，即 ，解得 由于 A<0 ,故 a=-1. （5）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 ，则 Y 与 Z 的相关系数为 0.9 . 【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为 = =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且 于是有 cov(Y,Z)= = 【评注】 注意以下运算公式： ， （6）设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 时， 依概率收敛于 . 【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量 ，当方 差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值： = − D I f (x)g( y x)dxdy a dxdy x y x 0 1,0 − 1 2 [( 1) ] . 2 1 0 2 1 0 1 2 a dx dy a x x dx a x x = + − = + = (a,0, ,0,a) ,a 0 T T A = E − T a B E 1 = + T 2 2a T = AB = E ) 1 ( )( T T a AB = E − E + T T T T a a E − + − 1 1 T T T T a a E ( ) 1 1 − + − T T T a a E 2 1 − + − E a E a T + − − + ) = 1 ( 1 2 0 1 −1− 2 + = a a 2 1 0 2 a + a − = , 1. 2 1 a = a = − Z = X − 0.4 cov(Y,Z) = cov(Y, X −0.4) = E[(Y(X −0.4)]− E(Y)E(X −0.4) E(XY) − 0.4E(Y) − E(Y)E(X) + 0.4E(Y) DZ = DX. DY DZ cov(Y,Z) 0.9. cov( , ) = XY = DX DY X Y D(X + a) = DX cov( X,Y + a) = cov( X,Y). X X Xn , , , 1 2 n → = = n i n Xi n Y 1 1 2 2 1 X X Xn , , , 1 2