考研数学历年真题：2018年考研数学三真题与答案

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。1.下列函数中，在x=0错误！未找到引用源。处不可导的是（）。A. f(x) =xsin(x)B. f(x)=|x|sin( /xl)c. f(x)=cos(x)D. f(x)= cos(/风)【答案】D【解析】A可导：x sin (Ix)[x sin (Ix)x-sinx=0, f'(0)= limx-sinxf(0) = lim0limlimxx-→0xX→00X→0*xxB可导：[xsin [μsin x·sin x-x·sin-x= 0, J:(0) = limf(0) =limlimlimx→0xxx10x→0T-→0xC可导：1xcosx|-1cos|x|-122f(0) = lim=0lim0, f'(0)= lim-lim一3+0*x→0xx-0xX-0xxD不可导：V风-1cos /-1cOs,22f(0) = lim, Ji(0) = lim= limlim20xX0xx→0xx→0*xf'(0)+ f(0)2.已知函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且[f(x)dx=0,则A.当F()<0时，<B.当f"(x)<0时,<c.当f"(x)>0时，D.当"(x)>0时，【答案】D【解析】

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. 1. 下列函数中，在 x  0 错误!未找到引用源。处不可导的是（ ）。 A. f x x x ( ) sin( )  B. f x x x ( ) sin( )  C. f x x    cos( ) D. f x x ( ) cos( )  【答案】D 【解析】 A 可导：         - 0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x                    B 可导： -     0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x                      C 可导：     2 2 - 0 0 0 0 1 1 cos -1 cos -1 2 2 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x f f x x x x                    D 不可导：           - 0 0 0 0 - 1 1 - cos -1 1 1 cos -1 2 2 0 lim lim , 0 lim lim - 2 2 0 0 x x x x x x x x f f x x x x f f                        2 .已知函数 f x  在   0,1 上二阶可导，且   1 0  0,  f x dx 则 A.当 f x    0 时， 1 0 2        f B. 当 f x    0 时， 1 0 2        f C. 当 f x    0 时， 1 0 2        f D. 当 f x    0 时， 1 0 2        f 【答案】D 【解析】

A错误: I(n)=-x+-J(x)x=I(-++)x=0 ()=-1<0. ()=0B错误：()++0-/>(1C 错误: ()=x-J(a)=(x-)t=0, (c)=1>0, ()=0D正确：方法1：由f"(x)>0可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出方法2："，介于x和之间，)+f(=)(x-)+f"(5)(x-f(x)= f(()x=)+x-)+(x-1)dx=f())"dx=()+f"()+又f"(x)>0,故f(=)<0[ (1+x)1+dx,K=]3.设M(1+cosx)dx,贝-dx,N1+x2oA.M>N>KB.M>K>NC.K>M>ND.K>N>M【答案】C【解析】2xM=[(1+)dxld1+x[] +21,以 M令f(x)=1+x-er,f(0)=0, f'(x)=1-er当xe0.时，(x)<0;当xe[-号-0]时, (0)>0 32元元，有/(t)≤0，从可有≤1，由比较定理得N<M,故选C时，所以xe22

A 错误：       1 1 0 0 0, 1 0 1 1 1 , 2 , 0 2 2 f x x f x dx x dx f x f                           B 错误：       1 0 0 2 1 2 1 1 1 1 1 1 , 0 3 3 2 4 3 12 f x x f x dx x dx 0, 2 0, f x f                               C 错误：       1 1 0 0 1 1 1 , 0 2 2 0, 1 0, 2 f x x f x dx dx f x x f                       D 正确：方法 1：由 f x    0 可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出 1 0 2 f        方法 2： 2 1 1 1 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 0, ( ) 0. 2 f x f f x f x x f x dx f f x f x dx f f x dx f x f                              介于 和 之间, 又 故 3.设     2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , , 1 cos , 1                    x x x M dx N dx K x dx x e 则 A. M N K   B. M K N   C. K M N   D. K N M   【答案】C 【解析】 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 1 - , 1 cos 1, 2 2 ( ) 1 , (0) 0, ( ) 1 0, ( ) 0; ,0 ( ) 0 2 2 1 - , ( ) 0 1 N<M, C 2 2 x x x x M dx dx x x x K M f x x e f f x e x f x x f x x x f x e                                                                 时， 所以 令 当 时， 当 时， 所以 时，有 ，从可有 ，由比较定理得 故选

4.设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量，若产量为Q.时平均成本最小，则（A. C'(00)=0 B.C'(Q)=C(00) c.C'(00)=QC(00) D. Q.C'(Q0)=C(0.)【答案】D【解析】根据平均成本C=C(Q)根据若产量为9时平均成本最小，则有QC'(0)0-c(Q)C(0)2.-C(@) =0 =C(0)2 =C(0)Q?Q210=00E1 0)(15.下列矩阵中，与矩阵011相似的为(0 0100001(00C【答案】A【解析】方法一：排除法[11 0]特征值为1,1,1，r(E-Q)=2令Q=00011TO100-A的特征值为1,1,1，r(E-A)=r02选项A：令A=-1Lo0lo00[o1001-0选项B：令B=100B的特征值为1.1.1，r(E-B)=r11000000110000选项C：令CC的特征值为1,1,1，r(E-C)=00000

4. 设某产品的成本函数 C Q  可导，其中 Q 为产量，若产量为 Q0 时平均成本最小，则( ) A.   0 C Q  0 B. C Q C Q     0 0   C. C Q Q C Q     0 0 0   D. Q C Q C Q 0 0     0   【答案】D 【解析】根据平均成本 C Q  C Q  ，根据若产量为 Q0 时平均成本最小，则有               0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 Q Q Q Q C Q Q C Q C Q Q C Q C C Q Q C Q  Q Q             5.下列矩阵中，与矩阵 1 1 0 0 1 1 0 0 1           相似的为 A. 1 1 1 0 1 1 0 0 1            B. 1 0 1 0 1 1 0 0 1            C. 1 1 1 0 1 0 0 0 1            D. 1 0 1 0 1 0 0 0 1            【答案】A 【解析】方法一：排除法 令 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Q            ，特征值为 1,1,1，r E Q     2 选项 A：令 1 1 1 0 1 1 0 0 1 A             ， A 的特征值为 1,1,1，   0 1 1 0 0 1 2 0 0 0 r E A r                选项 B：令 1 0 1 0 1 1 0 0 1 B             ， B 的特征值为 1,1,1，   0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 r E B r               选项 C：令 1 1 1 0 1 0 0 0 1 C             ，C 的特征值为 1,1,1，   0 1 1 0 0 0 1 000 r E C r              

[1O001选项B：令D=00D的特征值为1,1,1，r(E-D)=r0001000若矩阵Q与J相似，则矩阵E-Q与E-J相似，从而r(E-9)=r(E-J)，故选（A)方法二：构造法（利用初等矩阵的性质）[1 1 0][1 -1 0]0令P=0100100001R所以相似00.01故选（A)6.设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，（X,Y)表示分块矩阵，则A.r(A AB)=r(A).B.r(A BA)=r(A).D.r(A B)=r(A BT)C.r(A B)=max(r(A), r(B)).【答案】（A）【解析】 r(E,B)=n=r(A, AB)=r[A(E,B)]=r(A)故选（A）7.设f(x)为某分布的概率密度函数，f(1+x)=f(1-x)，[f(x)dx=0.6,则P(X<0)=A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6【答案】A【解析】特殊值法：由已知可将f(x)看成随机变量XN(1,α2)的概率密度，根据正态分布的对称性，P(X<0)=0.2X8.已知X,X..,X，为来自总体X~N(u,G)的简单随即样本，nl(X-m)，则12(X-X),s

选项 B：令 1 0 1 0 1 0 0 0 1 D             ， D 的特征值为 1,1,1，   0 0 1 0 0 0 1 000 r E D r              若矩阵 Q与 J 相似，则矩阵 E Q 与 E J  相似，从而 r E Q r E J        ，故选（A） 方法二：构造法（利用初等矩阵的性质） 令 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P            ， 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P              1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 P P                        ，所以 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1                      与 相似 故选（A） 6.设 AB, 为 n 阶矩阵，记 r X( ) 为矩阵 X 的秩，( , ) X Y 表示分块矩阵，则 A. r A AB r A ( ) ( ).  B. r A BA r A ( ) ( ).  C. r A B r A r B ( ) max{ ( ) ( )}.  ， D. ( ) ( ). T T r A B r A B  【答案】（A） 【解析】 r E B n r A AB r A E B r A ( , ) ( , ) [ ( , )] ( )     故选（A） 7.设 f x( ) 为某分布的概率密度函数， f x f x (1 ) (1 )    ，   2 0 f x dx  0.6  ，则 P X{ 0}   A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 【答案】A 【解析】特殊值法：由已知可将 f x( ) 看成随机变量   2 X N 1, 的概率密度，根据正态分 布的对称性， P X    0 0.2 8. 已 知 1 2 , , , X X X n 为 来自总体 2 X N~ ( , )   的简单随即样本， 1 1 n i i X X n    ， 2 * 2 1 1 1 1 ( ) , ( ) 1 1 n n i i i i S X X S X n n            ，则

n(X-μ) ~ (n)(n(X-μ)~ (n-1)Bssn(X-) ~1(n)n(X-μ) ~ (n-1)DS"S*【答案】B口 N(1,0),(-)Sa【解析】XNx(n-1)u.a/nn以(X-)(n-1)，故选项B正确，而A错.又与S相互独立，所以）sX=" N(0.1),("-1)"(n)，与S相互独立On(X-μ)所以"t(n)，故选项C，D错。In-is*二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上9.曲线f(x)=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是【答案】y=4x-3:2=2-【解析】v=x?+2lnx，定义域为(xlx>0，y'=2x+令v"=0，则x=±1，由于x>0，故x=1，故拐点为(1,1)，y(x)=4，则过拐点(1,1)的切线方程为y-1=4(x-1)即y=4x-310. fe'arcsin -e*dx =【答案】e'arccose"-i-e+C【解析】[e'arcsin -e?*dx=[arcsini-ede't=e[arcsini-fdtI= cosu= -[ usin udu= ucosu-[cosudu= ucosu-sinu+C=e"arccose"-i-e2+C11.差分方程△y-y=5的解为

A. ( ) ~ ( ) n X t n S   B. ( ) ~ ( 1) n X t n S    C. * ( ) ~ ( ) n X t n S   D. * ( ) ~ ( 1) n X t n S    【答案】B 【解析】 2 X N , n         ，       2 2 2 1 1,0 , 1 X n S N n n        ， 又 2 X S 与 相互独立，所以     1 n X t n S    ，故选项 B 正确，而 A 错.       *2 2 2 1 0,1 , X n S N n       ， 2 X S 与  相互独立 所以     * 1 n X t n n S    ，故选项 C，D 错。 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. 9. 曲线 2 f x x x ( ) 2ln   在其拐点处的切线方程是_. 【答案】 y x   4 3 【解析】 2 y x x   2ln ，定义域为 { 0} x x  ， 2 y x ' 2 x   ， 2 2 y '' 2 x   ，令 y '' 0  ，则 0 x  1 ，由于 x  0 ，故 0 x 1 ，故拐点为 (1,1) ， 0 y x'( ) 4  ，则过拐点 (1,1) 的切线方程 为 y x    1 4( 1) 即 y x   4 3. 10. 2 arcsin 1 x x e e dx    _. 【答案】 2 arccos 1 x x x e e e C    . 【解析】 2 2 2 2 arcsin 1 arcsin 1 arcsin 1 cos sin cos cos cos sin arccos 1 x x x x x x x x e e dx e de t e t dt t u u udu u u udu u u u C e e e C                       11. 差分方程 2 5 x x    y y 的解为_