考研数学历年真题：2014年考研数学三真题与解析

2014年考研数学三真题与解析、选择题页1一8小题，每小题4分，共32分1.设lima，=a+0，则当n充分大时，下列正确的有（(B) a /≤(A) 2a/>11(D)a,<a+(c) an>a-22nn【详解】因为lima,=a0，所以V>0，3N，当n>N时，有a,-a<8，即a-<a<a+8，al则知[a,>所以选择（A）a-8a≤a+8，取8=222．下列曲线有渐近线的是(B) y=x+sinx(A) y=x+sinx11(D)y=x+sin-(C) y=x+sin-xX【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以，1可知 lim兰=1且 lim(y=x)=lim sin=0，所以有斜渐近线y=x【详解】对于y=x+sin+xx→0x应该选(C)3.设P(x)=a+bx+cx2+dx，则当x→0时，若P(x)-tanx是比x高阶的无穷小，则下列选项O中错误的是（(D) d=(A) a=0(B) b=1(C) C=06x +o(x),显然a=0,b=1,c=0,d=【详解】只要熟练记忆当x→0时tanx=x+应该选（D）334.设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在[0,1]上（)(A) 当f'(x)≥0时，f(x)≥g(x))(B)当f'(x)≥0时，f(x)≤g(x)(C) 当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)(D) 当 f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解1】如果对曲线在区间[a，上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断.如果对区间上任意两1

1 2014 年考研数学三真题与解析 一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分． 1．设 = ≠ 0 →∞ a a n n lim ，则当 n充分大时，下列正确的有（ ） （A） 2 a an > （B） 2 a an < （C） n an a 1 > − (D) n an a 1 < + 【详解】因为 = ≠ 0 →∞ an a n lim ，所以∀ε > 0，∃N ，当n > N 时，有 a − a < ε n ，即a − ε < a < a + ε n ， a − ε < a ≤ a + ε n ，取 2 a ε = ，则知 2 a an > ，所以选择（A） 2．下列曲线有渐近线的是 （A） y = x + sin x （B） y = x + sin x 2 （C） x y x 1 = + sin （D） x y x2 1 = + sin 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于 x y x 1 = + sin ，可知 = 1 →∞ x y x lim 且 0 1 − = = →∞ →∞ x y x x x lim( ) limsin ，所以有斜渐近线 y = x 应该选（C） 3．设 2 3 P(x) = a + bx + cx + dx ，则当 x → 0时，若 P(x) − tan x 是比 3 x 高阶的无穷小，则下列选项 中错误的是（ ） （A）a = 0 （B）b = 1 （C）c = 0 （D） 6 1 d = 【详解】只要熟练记忆当 x → 0时tan ( ) 3 3 3 1 x = x + x + o x ，显然 3 1 a = 0,b = 1,c = 0,d = ，应该选（D） 4．设函数 f (x) 具有二阶导数， g(x) = f (0)(1− x) + f (1)x ，则在[0,1]上（ ） （A）当 f '(x) ≥ 0 时， f (x) ≥ g(x) （B）当 f '(x) ≥ 0 时， f (x) ≤ g(x) （C）当 f ′′(x) ≥ 0 时， f (x) ≥ g(x) （D）当 f ′′(x) ≥ 0 时， f (x) ≤ g(x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解 1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两

点x,,及常数0≤1，恒有(1-)x,+x,)≥(1-)(x)+f(x)，则曲线是凸的.显然此题中x,=0,x=1,=x，则(1-)f(x)+f(x)=f(0)(1-x)+f(1)x=g(x)，而f(1-a)x, + ax,)= f(x),故当"(x)≥0时，曲线是凹的，即(1-)x,+x,)≤(1-)f(x)+f(x2)，也就是f(x)≤g(x),应该选（D)【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令F(x)= f(x)-g(x)=f(x)-f(O)(1-x)-f(1)x,则F(0)=F(1)=0,且 F"(x)=f"(x),故当f"(x)≥0时，曲线是凹的，从而F(x)≤F(0)=F(1)=0，即F(x)=f(x)-g(x)≤0，也就是f(x)≤g(x)，应该选 (D)0abo00ba等于5.行列式cd-cood(A) (ad -bc)2(B) -(ad-bc)2(C) a'd?-b2c?(D) -a’d? +bc?【详解】oab0aobaob00+ bloCd0000ablab+bc-adcdfocd=-ad(ad -bc)+ bc(ad -bc)=-(ad -bc)2应该选（B).6.设α,αzα，是三维向量，则对任意的常数k,l，向量α,+kαs，α,+lα,线性无关是向量α,αz,α线性无关的（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件【详解】若向量α1，α2,α,线性无关，则2

2 点 1 2 x , x 及常数0 ≤ λ ≤ 1，恒有 (( ) ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f 1− λ x + λx ≥ 1− λ f x + λf x ，则曲线是凸的． 显然此题中 x1 = 0, x2 = 1,λ = x ，则(1− λ) f (x1 ) + λf (x2 ) = f (0)(1− x) + f (1)x = g(x)，而 f (( − )x + x ) = f (x) 1 2 1 λ λ ， 故当 f ′′(x) ≥ 0 时，曲线是凹的，即 (( ) ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f 1− λ x + λx ≤ 1− λ f x + λf x ，也就是 f (x) ≤ g(x)， 应该选（D） 【详解 2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令 F(x) = f (x) − g(x) = f (x) − f (0)(1− x) − f (1)x ，则 F(0) = F(1) = 0，且 F"(x) = f "(x) ，故当 f ′′(x) ≥ 0 时，曲线是凹的，从而 F(x) ≤ F(0) = F(1) = 0，即 F(x) = f (x) − g(x) ≤ 0，也就是 f (x) ≤ g(x)，应该选（D） ５．行列式 c d c d a b a b 0 0 0 0 0 0 0 0 等于 （A） 2 (ad − bc) （B） 2 − (ad − bc) （C） 2 2 2 2 a d − b c （D） 2 2 2 2 − a d + b c 【详解】 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ad(ad bc) bc(ad bc) (ad bc) c d a b bc c d a b ad c d c a b b c d d a b a c d c d a b a b = − − + − = − − = − + = − + 应该选（B）． 6．设α1 α 2 α 3 , , 是三维向量，则对任意的常数k,l ，向量α1 + kα 3 ，α 2 α 3 + l 线性无关是向量α1 α 2 α 3 , , 线性无关的 （A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 【详解】若向量α1 α 2 α 3 , , 线性无关，则

(100(α,+kα,α,+lα,)=(α,αz,α,)=(α，αz,α)K，对任意的常数k,l，矩阵K的秩都等(kl)于2，所以向量α,+kα，αz+lα一定线性无关1(000而当α时，对任意的常数k,l，向量α+kαs，α,+lα,线性无关，但(o(o)0αj,αz,α,线性相关；故选择（A).7.设事件A，B想到独立，P(B)=0.5,P(A-B)=0.3则P(B-A)=（(A) 0.1(B) 0.2(C) 0.3(D) 0.4【详解) P(A-B)= 0.3 = P(A)- P(AB)= P(A)- P(A)P(B)= P(A)-0.5P(A)=0.5P(A) 所以P(A)=0.6，P(B-A)= P(B)-P(AB)=0.5-0.5P(A)=0.2.故选择 (B).X-X服从的分布是8.设Xi,X2,X,为来自正态总体N(0,"）的简单随机样本，则统计量S=12|x:l(B) F(2,1)(C) t(I)(D) t(2)(A) F(1,I)X?【详解]S-，显然-~N(0,),x(0),且~ N(0,1)与V2aaV2gV2|x/~2/x3X,-X,X32aX,-X2_ X,-X2～×(I)相互独立，从而S=t(1)a2xV2/x?x302故应该选择（C).二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）9.设某商品的需求函数为Q=40一2p（p为商品的价格），则该商品的边际收益为【详解】R(p)=pQ=40p-2p2，边际收益R'(p)=40-4p.10.设D是由曲线y+1=0与直线x+y=0及y=2所围成的有界区域，则D的面积为【详解】 S=fdy'dx+'dydx=+ In213

3 （α1 + kα 3 ，α 2 α 3 + l ） K k l ( , , ) ( , , ) 1 2 3 0 1 1 2 3 1 0 α α α = α α α           = ，对任意的常数 k,l ，矩阵 K 的秩都等 于 2，所以向量α1 + kα 3 ，α 2 α 3 + l 一定线性无关． 而当           =           =           = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 α1 α 2 α 3 , , 时，对任意的常数 k,l ，向量 α1 + kα 3 ， α 2 α 3 + l 线性无关，但 α1 α 2 α 3 , , 线性相关；故选择（A）． 7．设事件 A，B 想到独立， P(B) = 0.5, P(A− B) = 0.3则 P(B − A) = （ ） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 【详解】 P(A− B) = 0.3 = P(A) − P(AB) = P(A) − P(A)P(B) = P(A) − 0.5P(A) = 0.5P(A) ． 所以 P(A) = 0.6， P(B − A) = P(B) − P(AB) = 0.5 − 0.5P(A) = 0.2 ．故选择（B）． 8．设 X1 X2 X3 , , 为来自正态总体 ( , ) 2 N 0 σ 的简单随机样本，则统计量 3 1 2 2 X X X S − = 服从的分布是 （A） F(1,1) （B） F(2,1) （C） t(1) （D）t(2) 【详解】 2 3 1 2 3 1 2 2 2 X X X X X X S − = − = ，显然 ~ (0,1) 2 1 2 N X X σ − ， ~ (1) 2 2 2 3 χ σ X ，且 ~ (0,1) 2 1 2 N X X σ − 与 ~ (1) 2 2 2 3 χ σ X 相互独立，从而 ~ (1) 2 2 2 2 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 2 t X X X X X X X X X S σ σ − = − = − = 故应该选择（C）． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9．设某商品的需求函数为Q = 40 − 2 p （ p 为商品的价格），则该商品的边际收益为 ． 【详解】 2 R( p) = pQ = 40 p − 2 p ，边际收益 R'( p) = 40 − 4 p ． 10 ． 设 D 是由曲线 xy +1 = 0 与直线 x + y = 0 及 y = 2 所围成的有界区域，则 D 的面积 为 ． 【详解】 2 2 0 1 1 2 1 1 0 0 = + = + ln ∫ ∫− ∫ ∫− y y S dy dx dy dx

"xe?*dx11.设[则a：020"'xe2dx-|_e"r【详解】(2x-1) l =(2a-1)+所以a24N12.二次积分[:To(-en -a-Toferd='dxd-f'er(-)dy【详解】f'ere -f'e" dy+f'ye" dy=f' ye" dy=(e-1)13.设二次型f(xi,x2,x)=x-x+2axx+4x2x的负惯性指数是1，则a的取值范围是【详解】由配方法可知f(x,x2,x,)=x-x2 +2ax,x, +4x2x,=(x +ax,)2 -(x2 -2x,)2 +(4-a)x2由于负惯性指数为1，故必须要求4-a2≥0，所以a的取值范围是[-2,2]2x,0<x<2030214.设总体X的概率密度为f(x,)=，其中e是未知参数，X,X,，X是来自总［o，其它1X是°的无偏估计，则常数C=体的简单样本，若C-【详解1E(X)-,所以[c=Cne，由于cx？是的无偏估计，X3A212故Cn=25n三、解答题15.（本题满分10分）(t'(e' -1)-t)dt求极限limx→+0x In(1+-)x

4 11．设 4 1 0 2 = ∫ a x xe dx ，则a = ． 【详解】 4 1 2 1 4 2 1 4 4 1 2 0 2 0 2 = = − = − + ∫ ( )| ( a ) e x e xe dx a a x a x ．所以 . 2 1 a = 12．二次积分 =         − ∫ ∫ e dx x e dy y y x 1 1 0 2 2 ． 【详解】 ( ) ( ) 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + = = − = − − = −         − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ e e dy ye dy ye dy e dy e y dy x e dx dy dy e dx x e e dx dx x e dy x dx y y y x y x x y y x y y x 13 ． 设二次型 1 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 − x + 2ax x + 4x x 的负惯性指数是 1 ， 则 a 的取值范围 是 ． 【详解】由配方法可知 2 3 2 2 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 2 4 2 4 x ax x x a x f x x x x x ax x x x ( ) ( ) ( ) ( , , ) = + − − + − = − + + 由于负惯性指数为 1，故必须要求4 0 2 − a ≥ ，所以a 的取值范围是[− 2,2]． 14．设总体 X 的概率密度为      < < = , 其它 , ( , ) 0 2 3 2 2 θ θ θ θ x x f x ，其中θ 是未知参数，X X Xn , ,, 1 2 是来自总 体的简单样本，若 ∑= n i C Xi 1 2 是 2 θ 的无偏估计，则常数C = ． 【详解】 2 2 2 2 2 5 3 2 θ θ θ θ = = ∫ 2 dx x E(X ) x ，所以 2 1 2 2 5 E C X Cn θ n i i =        ∑= ，由于 ∑= n i C Xi 1 2 是 2 θ 的无偏估计， 故 1 2 5 Cn = ， n C 5 2 = ． 三、解答题 15．（本题满分 10 分） 求极限 ln( ) ( ( ) ) lim x x t e t dt x t x 1 1 1 2 1 1 2 + − − ∫ →+∞ ．

【分析】.先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限.【详解】['(t'(ei -1)- t)dt[(t'(e' -1)-t)dtlim(x(ex-1)-x)limlimxx-→+00x-→+oHx In(1 +-道r++a1-r16.（本题满分10分）设平面区域D=(x,)]1≤x+≤4,≥0.y≥0f。计算[sin(/+)dxdyx+y详[解1由性对称得可sin(元/x+y2((x+ y)sin(元/x?+ y)x? +yysin（元）dxdyrd2x+yx+yx+y-sin(π /x + y)Udxdrsinrdr=12S17.（本题满分10分）a'z.az设函数(u)具有二阶连续导数，z=(ecosJ)满足=(4z+e*cosy)e2*.若ax2"ayf(0)=0,f(0)=0，求f(u)的表达式【详解】设u=ecosy,则z=f(u)=f(ecosy),a'zaz.=f'(u)ercosy,= f"(u)e?* cos y+ f'(u)e* cos y;axax?a°zOz.=f"(u)e2"sin"y-f"(u)e"cosy:-f'(u)e"siny,ayy20z.a'z= f"(u)e2x = f"(e" cos y)e?xax2+ ay?az.a"z由条件(4z + e* cos y)e2xax?Qy?可知f"(u)=4f(u)+u这是一个二阶常用系数线性非齐次方程，对应齐次方程的通解为：5

5 【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2  =      = + + − = − − − − = + − − →∞ →+∞ →+∞ →∞ ∫ ∫ x x o x x x x e x x t e t dt x x t e t dt x x x x t x x t x lim ( ( ) lim( ( ) ) ( ( ) ) lim ln( ) ( ( ) ) lim 16．（本题满分 10 分） 设平面区域 { 1 4 0 0} 2 2 D = (x, y)| ≤ x + y ≤ , x ≥ . y ≥ ．计算 ∫∫ + + D dxdy x y x sin( x y ) 2 2 π 【 详 解 】 由对称性可得 4 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 = = − + = + + + = + + = + + ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ D D D D dxd d r rdr x y dxdy x y x y x y dxd x y y x y dxd x y x x y θ π π π π π π sin sin( ) sin( ) sin( ) ( )sin( ) 17．（本题满分 10 分） 设函数 f (u) 具有二阶连续导数， z f (e cos y) x = 满 足 x x z e y e y z x z 2 2 2 2 2 = (4 + cos ) ∂ ∂ + ∂ ∂ ． 若 f (0) = 0, f '(0) = 0，求 f (u)的表达式． 【详解】 设 u e y x = cos ，则 z f (u) f (e cos y) x = = ， f u e y f u e y x z f u e x z x y x x '( ) , "( ) cos '( ) cos cos = + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 ; f u e y f u e y y z f u e y y z x x x '( ) sin , = "( ) sin − '( ) cos ∂ ∂ = − ∂ ∂ 2 2 2 2 ； x x x f u e f e y e y z x z 2 2 2 2 2 2 = "( ) = "( cos ) ∂ ∂ + ∂ ∂ 由条件 x x z e y e y z x z 2 2 2 2 2 = (4 + cos ) ∂ ∂ + ∂ ∂ ， 可知 f "(u) = 4 f (u) + u 这是一个二阶常用系数线性非齐次方程． 对应齐次方程的通解为：