区Born towin考考级2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上[1-cos /x,x>0(1)）若函数f(x)=在x=0处连续，则（)axb,x≤01(4)ab=I(B)ab =(D)ab=2(C)ab= 022【答案】A/PX1-cos/x1【解析】limlim：(x）在x=0处连续b=ab选A02a2axx→0*ax2a(2）设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1且于(x)>0，则（f(x)dx>0(B)f, F(x)dx<0Al(C)" (x)dx >f f(x)dx(D), (x)dx < (x)dx【答案】B【解析】(x)为偶函数时满足题设条件，此时f(x)dx=I"f(x)dx，排除C,D.取()=2-一1滴足条件，则(0)=(2-1)号0,选B3（3）设数列(x,)收敛，则（）(B)当lim(x,+/x,)=0时，limx,=0(A)当limsinx,=0时，limx,=0(C)当lim(x,+x)=0时，limx=0(D)当lim(x,+sinx)=0时，limx,=0【答案】D【解析】特值法：（A）取x,=元，有limsinx,=0,limx=元，A错；取x，=-1，排除B,C.所以选D（4）微分方程的特解可设为全国统一服务热线：400—668—2155
( 全国统一服务热线：400—668—2155 1 Born to win 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1））若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x ax b x − = 在 x = 0 处连续，则（ ） (A) 1 2 ab = (B) 1 2 ab = − (C) ab = 0 (D) ab = 2 【答案】A 【解析】 0 0 1 1 cos 1 2 lim lim , ( ) x x 2 x x f x ax ax a → → + + − = = 在 x = 0 处连续 1 1 . 2 2 b ab a = = 选 A. （2）设二阶可导函数 f x( ) 满足 f f f (1) ( 1) 1, (0) 1 = − = = − 且 '' f x( ) 0 ，则（ ） ( ) ( ) 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx − − − − 【答案】B 【解析】 f x( ) 为偶函数时满足题设条件，此时 0 1 1 0 f x dx f x dx ( ) ( ) − = ，排除 C,D. 取 2 f x x ( ) 2 1 = − 满足条件，则 ( ) 1 1 2 1 1 2 ( ) 2 1 0 3 f x dx x dx − − = − = − ，选 B. （3）设数列 xn 收敛，则（ ） ( ) A 当 lim sin 0 n n x → = 时， lim 0 n n x → = ( ) B 当 lim( ) 0 n n n x x → + = 时， lim 0 n n x → = ( ) C 当 2 lim( ) 0 n n n x x → + = 时， lim 0 n n x → = ( ) D 当 lim( sin ) 0 n n n x x → + = 时， lim 0 n n x → = 【答案】D 【解析】特值法：（A）取 n x = ，有 limsin 0,lim n n n n x x → → = = ，A 错； 取 1 n x = − ，排除 B,C.所以选 D. （4）微分方程的特解可设为
Born to win!区精勤求学自强不息跨考考研(A) Ae2*+e2*(Bcos2x+Csin2x)(B)Axe?*+e*(Bcos2x+Csin2x)(C)Ae2*+xe2*(Bcos2x+Csin2x)(D) Axe2x+e2*(Bcos2x+Csin2x)【答案】A【解析】特征方程为：2-4元+8=0=，=2±2i: f(x)=e2*(1+cos2x)= e2x +e2* cos2x.:y = Ae2*,y, = xe2*(Bcos2x+Csin2x)故特解为：y=y+y=Ae?*+xe2*(Bcos2x+Csin2x),选C.(5) 设 (,)具有一阶偏导数,且对任意的(x,),都有()>0.>0 则axay(A) f(0,0)>f(1,1) (B) f(0,0)<f(1,1) (C) f(0,1)>f(,0) (D) f(0,1)<f(1,0)【答案】C()>0.,(s,<0,= (x,)是关于x的单调递增函数，是关于的单调递减函数,【解析】axay所以有f(0,1)<f(1,1)<f(1,0)，故答案选D（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v=v（t）（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v=V（t），三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t。（单位：s)，则（(m/s)1020T0X10152025530(s)(A)t=10(C) tg = 25(D) t。>25(B)15<t。<20【答案】B2全国统—服务热线：400—668—2155
2 2 全国统一服务热线：400—668—2155 Born to win! 精勤求学 自强不息 （A） 2 2 ( cos2 sin 2 ) x x Ae e B x C x + + （B） 2 2 ( cos2 sin 2 ) x x Axe e B x C x + + （C） 2 2 ( cos2 sin 2 ) x x Ae xe B x C x + + （D） 2 2 ( cos2 sin 2 ) x x Axe e B x C x + + 【答案】A 【解析】特征方程为： 2 1,2 − + = = 4 8 0 2 2i 2 2 2 * 2 * 2 1 2 ( ) (1 cos 2 ) cos 2 , ( cos 2 sin 2 ), x x x x x f x e x e e x y Ae y xe B x C x = + = + = = + 故特解为： * * * 2 2 1 2 ( cos 2 sin 2 ), x x y y y Ae xe B x C x = + = + + 选 C. （5）设 f x y ( , ) 具有一阶偏导数，且对任意的 ( , ) x y ，都有 ( , ) ( , ) 0, 0 f x y f x y x y ，则 （A） f f (0,0) (1,1) （B） f f (0,0) (1,1) （C） f f (0,1) (1,0) （D） f f (0,1) (1,0) 【答案】C 【解析】 ( , ) ( , ) 0, 0, ( , ) f x y f x y f x y x y 是关于 x 的单调递增函数，是关于 y 的单调递减函数， 所以有 f f f (0,1) (1,1) (1,0) ，故答案选 D. （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 1 v v t = ( ) （单 位： m s/ ），虚线表示乙的速度曲线 2 v v t = ( ) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追 上甲的时刻记为 0 t （单位：s），则（ ） 0 5 10 15 20 25 30 t s() v m s ( / ) 10 20 （A） 0 t =10 （B） 0 15 20 t （C） 0 t = 25 （D） 0 t 25 【答案】B
Born to win栏【解析】从0到t。这段时间内甲乙的位移分别为[y(t)dt,v2(t)dt,则乙要追上甲，则[v2(t)-v,(t)dt=10，当t。=25时满足，故选C.(O（7)设A为三阶矩阵，P=(α,αzα）为可逆矩阵，使得P-AP则A(α,α,α)=(2(A) α,+α2(B) α,+2αs(D) α, +2α,(C) α,+αg【答案】B【解析】(0(0(OP-"APA(,,,)=(,,-2α222因此B正确。[200[210710072o20020（8）设矩阵A=BC0,则（）)-100100!1002]（A）A与C相似B与C相似（B）A与C相似,B与C不相似（D）A与C不相似,B与C不相似（C）A与C不相似,B与C相似【答案】B【解析】由2E-A=0可知A的特征值为2,2,1(100)因为3-r(2E-A)=1，：.A可相似对角化，即A0020由2E-B=0可知B特征值为2,2,1.因为3-r(2E-B)=2，B不可相似对角化，显然C可相似对角化，：A～C，但B不相似于C二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上全国统一服务热线：400—668—2155
( 全国统一服务热线：400—668—2155 3 Born to win 【解析】从 0 到 0 t 这段时间内甲乙的位移分别为 0 0 1 2 0 0 (t) , (t) , t t v dt v dt 则乙要追上甲，则 0 2 1 0 (t) v (t) 10 t v dt − = ，当 0 t = 25 时满足，故选 C. （7）设 A 为三阶矩阵， 1 2 3 P = ( , , ) 为可逆矩阵，使得 1 0 1 2 P AP − = ，则 1 2 3 A( , , ) = （ ） （A） 1 2 + （B） 2 3 + 2 （C） 2 3 + （D） 1 2 + 2 【答案】 B 【解析】 1 1 2 3 1 2 3 2 3 0 0 0 1 1 ( , , ) ( , , ) 1 2 2 2 2 P AP AP P A − = = = = + , 因此 B 正确。 （8）设矩阵 2 0 0 2 1 0 1 0 0 0 2 1 , 0 2 0 , 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 A B C = = = ,则（ ） （A） A C B C 与 相似, 与 相似 （B） A C B C 与 相似, 与 不相似 （C） A C B C 与 不相似, 与 相似 （D） A C B C 与 不相似, 与 不相似 【答案】B 【解析】由 E A− = 0 可知 A 的特征值为 2,2,1, 因为 3 (2 ) 1 − − = r E A ，∴A 可相似对角化，即 100 ~ 0 2 0 0 0 2 A 由 E B− = 0 可知 B 特征值为 2,2,1. 因为 3 (2 ) 2 − − = r E B ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，∴ A C~ ，但 B 不相似于 C. 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上
Born to win!区精勤求学自强不息跨考专屏2的斜渐近线方程为(9）曲线y=1+arcsinx【答案】=×+2【解析】2: lim ≥= lim(1+ arcsin 2) = 1, lim(y- x) = lim x arcsinX→xx.y=x+2x=t+e'q2(10)设函数y=(x)由参数方程确定，dxly=sint1【答案】8【解析】dydxdycost-1+e'costdidt1+edx(cost)d'yd'y-sint(l+e')-coste'1+e'1t=0dx?dxdx?6(1+e')dt In(1 + x)(11)1(1+ x)【答案】1【解析】[ In(++)dx=- n(+ )d,(1+ x)21+xIn(1 + x) (1+)(12）设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)=ye'dx+x(1+y)e'dy，f(O,O)=0，则f(x,y)=【答案】xye"【解析】 f'= ye",f,= x(1+ y)e", f(x, j)=[ye'dx =xye'" +c(y),故全国统一服务热线：400—668—21554
4 4 全国统一服务热线：400—668—2155 Born to win! 精勤求学 自强不息 (9) 曲线 2 y x 1 arcsin x = + 的斜渐近线方程为_ 【答案】 y x = + 2 【解析】 ( ) 2 2 lim lim(1 arcsin ) 1,lim lim arcsin 2, 2 x x x x y y x x x x x y x → → → → = + = − = = = + (10) 设函数 y y x = ( ) 由参数方程 sin t x t e y t = + = 确定，则 2 2 t 0 d y dx = = _ 【答案】 1 8 − 【解析】 ( ) ' 2 2 2 2 2 0 cos cos , 1 1 cos 1 sin (1 ) cos 1 8 1 t t t t t t t dy dx dy t t e dt dt dx e t d y t e te d y e dx dx dx e dt = = = + = + + − + − = = = − + (11) 2 0 ln(1 ) (1 ) x dx x + + = + _ 【答案】1 【解析】 2 0 0 0 2 0 2 0 ln(1 ) 1 ln(1 ) (1 ) 1 ln(1 ) 1 1 (1 ) 1 1. (1 ) x dx x d x x x dx x x dx x + + + + + + = − + + + + = − − + + = = + (12) 设函数 f x y ( , ) 具有一阶连续偏导数，且 ( , ) (1 ) y y df x y ye dx x y e dy = + + ， f (0,0) 0 = ， 则 f x y ( , ) _ = 【答案】 y xye 【解析】 , (1 ) , ( , ) ( ), y y y y x y f ye f x y e f x y ye dx xye c y = = + = = + 故
Born to winf,=xe+xye'+c(y)=xe'+xye",因此c(y)=0，即c(y)=C，再由f(0,0)=0，可得f(x,y)=xye【答案】【解析】tanxdx(13)【答案】Incos]【解析】交换积分次序：I'tnx= Jaftandy=dytanxdx=Incos1[4 -2712（14）设矩阵A=1的一个特征向量为a则a[3-12【答案】-1-【解析】设α=由题设知Aα=α，故2)A23+20-02元3故a=-1三、解答题：15一23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.x-te'dt（15）（本题满分10分）求极限limVx31~+02【答案】3'Vx-te'【解析】limdt，令x-t=u，则有Vx3x-→0"Jue"du- "ue*'duNx-te'dt=-[全国统一服务热线：400—6682155
( 全国统一服务热线：400—668—2155 5 Born to win ( ) y y y y y f xe xye c y xe xye = + + = + ， 因此 c y ( ) 0 = ，即 c y C ( ) = ，再由 f (0,0) 0 = ，可得 ( , ) . y f x y xye = 【答案】 【解析】 （13） 1 1 0 tan _ y x dy dx x = 【答案】 lncos1. 【解析】交换积分次序： 1 1 1 1 0 0 0 0 tan tan tan ln cos1 x y x x dy dx dx dy xdx x x = = = . （14）设矩阵 4 1 2 1 2 3 1 1 A a − = − 的一个特征向量为 1 1 2 ，则 a = _ 【答案】-1 【解析】设 1 1 2 = ，由题设知 A = ，故 4 1 2 1 1 1 1 2 1 1 3 2 3 1 1 2 2 2 2 a a − = + = − 故 a =−1. 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. （15）（本题满分 10 分）求极限 0 0 3 lim x t x x te dt x → + − 【答案】 2 3 【解析】 0 0 3 lim x t x x te dt x → − ，令 x t u − = ，则有 0 0 0 x x t x u x u x x te dt ue du ue du + + − = − =