2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的(1）设a=x(cos/x-1)，a,=/ln(1+/)，a,=/x+1-1.当x→0+时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是(A)ai,az,ay.(B) a,ag,q(c)a,a,ag(D) ag,a2,a[2(x-1),，X<I则()的一个原函数是(2）已知函数(x)=lnx,x≥1,-[ (x-1),×<1 (B) F(x)=『 (x-1),x<1.(A) F(x)=[x(lnx-1), x≥1.[x(lnx+1)-1, x≥1(x-I),x<1 (D) F(x)=(x-1)3,x<1(c) F(x) =[x(lnx+1)+1, x≥1.[x(lnx-1)+1, x≥1.(3）反常积分°e00:1pe'dx, @e"dx的敛散性为（A）①收敛，②收敛.（B）①收敛，②发散（C）①收敛，②收敛.（D）①收敛，②发散（4）设函数f(x)在（-o0,+)内连续，求导函数的图形如图所示，则(A）函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点(B）函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x）有3个拐点.(c）函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点.(D）函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点.（5）设函数f,(x)(i=1,2)具有二阶连续导数，且f(x)<0(i=1,2)，若两条曲线y=f(x)(i=1,2)在点(xo,yo)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=fi(x)的曲率大于曲线y=f(x)的曲率则在的某个领域内，有(A) fi(x)≤f;(x)≤g(x)-1-
- 1 - 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. （1） 设 1 a x x = − (cos 1) ， 3 2 a x x = + ln(1 )， 3 3 a x = + −1 1.当 x 0 → + 时，以上 3 个无穷小量按照从低阶 到高阶拓排序是 （A） 1 2 3 a a a , , . （B） 2 3 1 a a a , , . （C） 213 a a a , , . （D） 3 2 1 a a a , , . （2）已知函数 2( 1), 1, ( ) ln , 1, x x f x x x − = 则 f x( ) 的一个原函数是 （A） 2 ( 1) , 1. ( ) (ln 1), 1. x x F x x x x − = − （B） 2 ( 1) , 1. ( ) (ln 1) 1, 1. x x F x x x x − = + − （C） 2 ( 1) , 1. ( ) (ln 1) 1, 1. x x F x x x x − = + + （D） 2 ( 1) , 1. ( ) (ln 1) 1, 1. x x F x x x x − = − + （3）反常积分 1 0 2 1 x e dx x − ① ， 1 + 2 0 1 x e dx x ② 的敛散性为 （A） ① 收敛， ② 收敛.（B） ① 收敛， ② 发散. （C） ① 收敛， ② 收敛.（D） ① 收敛， ② 发散. （4）设函数 f x( ) 在 ( , ) − + 内连续，求导函数的图形如图所示，则 （A）函数 f x( ) 有 2 个极值点，曲线 y f x = ( ) 有 2 个拐点. （B）函数 f x( ) 有 2 个极值点，曲线 y f x = ( ) 有 3 个拐点. （C）函数 f x( ) 有 3 个极值点，曲线 y f x = ( ) 有 1 个拐点. （D）函数 f x( ) 有 3 个极值点，曲线 y f x = ( ) 有 2 个拐点. （5）设函数 ( )( 1,2) i f x i = 具有二阶连续导数，且 0 ( ) 0( 1,2) i f x i = ，若两条曲线 ( )( 1,2) i y f x i = = 在点 0 0 ( , ) x y 处具有公切线 y g x = ( ) ，且在该点处曲线 1 y f x = ( ) 的曲率大于曲线 2 y f x = ( ) 的曲率， 则在 0 x 的某个领域内，有 （A） 1 2 f x f x g x ( ) ( ) ( )
(B) e(x)≤f(x)≤g(x)(c) fi(x)≤g(x)≤ f,(x)(D) J2(x)≤g(x)≤f(x)er(6）已知函数f(x,y)=则x-y(A) f -J,=0(B) i+J,=0(c) f-f,=f(D) fi+f,=f（7）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（A）AI与BI相似（B）A-与B-相似（C）A+AT与B+BT相似(D）A+A-与B+B-相似（8）设二次型f(x,xz,x）=a(x+x+x)+2xx+2x,+2xx的正、负惯性指数分别为1,2，则(A) a>1(B) a<-2(C) -2<a<l(D)a=1与a=-2二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。x3（9）曲线y2+arctan(1+x)的斜渐近线方程为1+x2211（10）极限lim-（sin-+2sin）.+nsin0nnnn（11）以y=x?-e和y=x?为特解的一阶非齐次线性微分方程为(12）已知函数f(x)在(-o0,+)上连续，且f(x)=(x+1)2+2[f(t)dt，则当n≥2时，f("(0)=（13）已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时间的变化率为常数vo，则-2 -
- 2 - （B） 2 1 f x f x g x ( ) ( ) ( ) （C） 1 2 f x g x f x ( ) ( ) ( ) （D） 2 1 f x g x f x ( ) ( ) ( ) （6）已知函数 ( , ) x e f x y x y = − ，则 （A） ' ' 0 x y f f − = （B） ' ' 0 x y f f + = （C） ' ' x y f f f − = （D） ' ' x y f f f + = （7）设 A ， B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是 （A） T A 与 T B 相似 （B） 1 A − 与 1 B − 相似 （C） T A A + 与 T B B+ 相似 （D） 1 A A− + 与 1 B B− + 相似 （8）设二次型 222 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 f x x x a x x x x x x x x x ( , , ) ( ) 2 2 2 = + + + + + 的正、负惯性指数分别为 1,2，则 （A） a 1 （B） a −2 （C） − 2 1 a （D） a =1 与 a =−2 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。 （9）曲线 3 2 2 arctan(1 ) 1 x y x x = + + + 的斜渐近线方程为_. （10）极限 2 1 1 2 lim (sin 2sin sin ) n n n → n n n n + + + = _. （11）以 2 x y x e = − 和 2 y x = 为特解的一阶非齐次线性微分方程为_. （12）已知函数 f x( ) 在 ( , ) − + 上连续，且 2 0 ( ) ( 1) 2 ( )d x f x x f t t = + + ，则当 n 2 时， ( ) (0) n f = _. （13）已知动点 P 在曲线 3 y x = 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l .若点 P 的横坐标时间的变化率为常数 0 v ，则
当点P运动到点(1,1)时，1对时间的变化率是0-1 -11a0-11等价，则a=（14）设矩阵a与101-1-1 a解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满分10分）（16）（本题满分10分）设函数f(x)=[2-xdt(x>0)，求f(x)并求 f(x)的最小值.（17）（本题满分10分）已知函数z=z(x,y)由方程(x2+y)z+lnz+2(x+y+1)=0确定，求z=z(x,J)的极值.（18）（本题满分10分）-xy-y设D是由直线y=1，J=x，J=一x围成的有界区域，计算二重积分dxdyx+y（19）（本题满分10分）已知y(x)=e，yz(x)=u(x)e是二阶微分方程(2x-)y"-(2x+1)y'+2y=0的解，若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。（20）（本题满分11分）x=cost设D是由曲线y=1-x(0≤x≤1)与围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体0≤t<2V=sin3积和表面积。（21）（本题满分11分）3元3元，cOsx已知f(x)在[0.1上连续，在（0.)内是函数一的一个原函数f(0)=0。222x-3元（1)求()在区间[0.]上的平均值；3元（II）证明f(x)在区间(0,)内存在唯一零点。2（22）（本题满分11分）(o1 1-a1011β=设矩阵A=且方程组Ax=β无解。a(2a-2)(a+1 1 a+1)（I）求a的值；-3 -
- 3 - 当点 P 运动到点 (1,1) 时， l 对时间的变化率是 _. （14）设矩阵 1 1 1 1 1 1 a a a − − − − − − 与 1 1 0 0 1 1 1 0 1 − 等价，则 a = _. 解答题：15~23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） （16）（本题满分 10 分） 设函数 1 2 2 0 f x t x dt x ( ) ( 0) = − ，求 ' f x( ) 并求 f x( ) 的最小值. （17）（本题满分 10 分） 已知函数 z z x y = ( , ) 由方程 2 2 ( ) ln 2( 1) 0 x y z z x y + + + + + = 确定，求 z z x y = ( , ) 的极值. （18）（本题满分 10 分） 设 D 是由直线 y = 1， y x = ， y x =− 围成的有界区域，计算二重积分 2 2 2 2 . D x xy y dxdy x y − − + （19）（本题满分 10 分） 已知 1 ( ) x y x e = ， 2 ( ) ( ) x y x u x e = 是二阶微分方程 (2 1) (2 1) ' 2 0 n x y x y y − − + + = 的解，若 u e ( 1) − = ，u(0) 1 = − ，求 u x( ) ，并写出该微分方程的通解。 （20）（本题满分 11 分） 设 D 是由曲线 2 y x x = − 1 (0 1) 与 3 3 cos 0 sin 2 x t t y t = = 围成的平面区域，求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体 积和表面积。 （21）（本题满分 11 分） 已知 f x( ) 在 3 [0, ] 2 上连续，在 3 (0, ) 2 内是函数 cos 2 3 x x − 的一个原函数 f (0) 0 = 。 （Ⅰ）求 f x( ) 在区间 3 [0, ] 2 上的平均值； （Ⅱ）证明 f x( ) 在区间 3 (0, ) 2 内存在唯一零点。 （22）（本题满分 11 分） 设矩阵 1 1 1 1 0 1 1 1 a A a a a − = + + ， 0 1 2 2 a = − ，且方程组 Ax = 无解。 （Ⅰ）求 a 的值；
（I）求方程组AAx=Aβ的通解。（23）（本题满分11分）(0 -1 1)已知矩阵A=2-30000（I）求A99（II）设3阶矩阵B=(αi,αz,α）满足B=BA。记B100=(β,β2,β)，将B,β2,β,分别表示为α,α,α,的线性组合。2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）下列反常积分中收敛的是（）Inxdx (c)dx (D)(B)(A)xlnxx(2)函数 (x)=lim(1+ sin))在(-00,+o0)内（)1+0x（A）连续（B）有可去间断点（C）有跳跃间断点（D)有无穷间断点1xacos61>0(α>0,β>0)，若f(x)在x=0处连续，则（)(3)设函数f(x)=0,x≤0(A) α-β>1 (B)0<α-β≤1 (C)α-β>2 (D)0<α-β≤2(4）设函数f(x)在(-oo,+oo)连续，其二阶导函数f"(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为（)(A) 0(B)1(C)2(D)3(5)设函数 (u, v)满足 (x+y,)=x*-, 则%与依次是（）oulslovlelx1111(A) (C) -(B)0,(D)O ,PO.01222(6)设D是第一象限中曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=/3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则[[ f(x, y)dxdy= ()T-4-
- 4 - （Ⅱ）求方程组 T T A Ax A = 的通解。 （23）（本题满分 11 分） 已知矩阵 0 1 1 2 3 0 0 0 0 A − = − （Ⅰ）求 99 A （Ⅱ）设 3 阶矩阵 1 2 3 B = ( , , ) 满足 2 B BA = 。记 100 1 2 3 B = ( , , ) ，将 1 2 3 , , 分别表示为 1 2 3 , , 的线性组 合。 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（） （A） 2 1 dx x + （B） 2 ln x dx x + (C) 2 1 ln dx x x + (D) 2 x x dx e + (2)函数 2 0 sin ( ) lim(1 ) x t t t f x → x = + 在 ( , ) − + 内（） （A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 (3)设函数 1 cos , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x = ( 0, 0) ，若 f x( ) 在 x = 0 处连续，则（） （A） − 1 (B) 0 1 − (C) − 2 (D) 0 2 − (4) 设函数 f x( ) 在 ( , ) − + 连续，其二阶导函数 f x ( ) 的图形如右图所示，则曲线 y f x = ( ) 的拐点个数为（） （A）0 (B)1 (C)2 (D)3 (5).设函数 f (u v) ， 满足 2 2 ( , ) y f x y x y x + = − ，则 1 1 u v f u = = 与 1 1 u v f v = = 依次是（） （A） 1 2 ,0 (B)0， 1 2 （C）- 1 2 ,0 (D)0 ,- 1 2 (6). 设 D 是第一象限中曲线 2 1,4 1 xy xy = = 与直线 y x y x = = , 3 围成的平面区域，函数 f x y ( , ) 在 D 上连续，则 ( , ) D f x y dxdy =（）
[desin20f(rcose,rsin)dr2deysinSEf(rcosa,rsin)drBA2sin202sin20[de[im2ef(rcos,rsin)drf(rcos,rsin)dr (D)sin203deRA2sin202sin26111(7)．设矩阵A=2若集合2={1,2)，则线性方程组Ax=b有无穷多个解的充分必要条件为（）1(d)(14a(A) a2,d2(B)aΩ,d eQ(C)aeQ,dgQ (D) aeQ,de(8)设二次型f(x,r2,)在正交变换x=Py下的标准形为2+-,其中P=(e,ez,e,)，若Q=(e,-es,e)，则f(x,x,）在正交变换x=Py下的标准形为（）(A):2-+片(B) 2y+y-y(C) 2y-y-(D) 2+y+二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上x = arctantaud'y(9)设ly=3t+"dx?(10）函数f(x)=x22*在x=0处的n阶导数f(m)(0)=(11)设函数f(x)连续，(x)=xf(t)dt,若p(1)=1，p(1)=5，则f()=(12）设函数y=(x)是微分方程y+y-2y=0的解，且在x=0处(x)取值3，则(x)=（13）若函数≥=(x,J)由方程e++2+3+yz=1确定，则dz0.0)=（14）设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，B=A-A+E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式B三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本题满分10分）设函数f(x)=x+αln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx2，若f(x)与g(x)在x→>0是等价无穷小，求a,b,k的值。16、（本题满分10分）元儿设A>0，D是由曲线段y=Asinx(0≤x≤)及直线y=0,x所形成的平面区域，V，V,分别表示D绕×轴与22绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若V=V，，求A的值。-5-
- 5 - （A） 1 2 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr ( cos , sin ) （B） 1 2 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr ( cos , sin ) （C） 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr ( cos , sin ) （D） 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr ( cos , sin ) (7)．设矩阵 A= 2 1 1 1 1 2 a 1 4 a ，b= 2 1 d d ,若集合 Ω=1,2 ，则线性方程组 Ax b = 有无穷多个解的充分必要条件为（） （A） a d , (B) a d , (C) a d , (D) a d , (8)设二次型 1 2 3 f x x x ( , , ) 在正交变换 x Py = 下的标准形为 2 2 2 1 2 3 2 , y y y + − 其中 P=(e ,e ,e ) 1 2 3 ，若 1 3 2 Q e e e = − ( , , ) ，则 1 2 3 f x x x ( , , ) 在正交变换 x Py = 下的标准形为（ ） (A): 2 2 2 1 2 3 2y y y − + (B) 2 2 2 1 2 3 2y y y + − (C) 222 1 2 3 2yyy − − (D) 222 1 2 3 2yyy + + 二、填空题：9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 设 2 3 2 1 arctan , 3 t x t d y y t t dx = = = = + 则 （10）函数 2 ( ) 2x f x x = 在 x = 0 处的 n 阶导数 ( ) (0) n f = （11）设函数 f x( ) 连续， 2 0 ( ) ( ) , x x xf t dt = 若 (1) = 1， ' (1) 5 = ，则 f (1) = （12）设函数 y y x = ( ) 是微分方程 '' ' y y y + − = 2 0 的解，且在 x = 0 处 y x( ) 取值 3，则 y x( ) = （13）若函数 z z x y = ( , ) 由方程 2 3 1 x y z e xyz + + + = 确定，则 (0,0) dz = （14）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，-2,1， 2 B A A E = − + ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式 B = 三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分 10 分） 设函数 f x x x bx x ( ) ln(1 ) sin = + + + ， 2 g x kx ( ) = ，若 f x( ) 与 g x( ) 在 x →0 是等价无穷小，求 a b k , , 的值。 16、（本题满分 10 分） 设 A 0，D 是由曲线段 sin (0 ) 2 y A x x = 及直线 , 2 y o x = = 所形成的平面区域， V1 ，V2 分别表示 D 绕 X 轴与 绕 Y 轴旋转所成旋转体的体积，若 V V 1 2 = ，求 A 的值