5.设函数≥=(x)，其中可微，则%+%=（）yaxay(A) 2yf(x) (B) -2yf'(x) (c) ≥f(xy)(D) -f(xy)6.设D,是圆域D=(x,y)|x2+y?≤1)的第k象限的部分，记I,=J[(y-x)dxdy，则（）(A) I,>0(B) I,>0(c) I, >0(D) I4 >07.设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.(200)(1a1)b与矩阵0b8.矩阵0相似的充分必要条件是a(000lal(A) a=0,b=2（B）a=0，b为任意常数(c)a=2,b=0（D）a=2，b为任意常数二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分把答案填在题中横线上）2_ ln(1+x)9.limldx10. 设函数f(x)=[V1-e'dt，则y=f(x)的反函数x=f-(y)在y=0 处的导数dy"≤0≤")11.设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos301为参数，则L所围成的平面图形的面积为66)x = arctant12.曲线上对应于=1处的法线方程为ly=lnVi+t?13。已知Ji=e3-xe2,y2=e-xe2",y=-xe2是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足y(0)=0,y(0)=1方程的解为14.设A=(a)是三阶非零矩阵，A为其行列式，A,为元素α,的代数余子式，且满足A,+a,=0(i,j=1,2,3)，则A1三、解答题15.（本题满分10分）- 11 -
- 11 - ５．设函数 f (xy) x y z = ，其中 f 可微，则 = + y z x z y x （ ） （A） 2yf '(xy) （B） − 2yf '(xy) （C） ( ) 2 f xy x （D） ( ) 2 f xy x − 6．设 Dk 是圆域 ( , ) | 1 2 2 D = x y x + y 的第 k 象限的部分，记 = − Dk I k ( y x)dxdy ，则（ ） （A） I 1 0 （B） I 2 0 （C） I 3 0 （D） I 4 0 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则 （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价． （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价． （D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价． 8．矩阵 1 1 1 1 a a b a a 与矩阵 0 0 0 0 0 2 0 0 b 相似的充分必要条件是 （A） a = 0,b = 2 （B） a = 0， b 为任意常数 （C） a = 2,b = 0 （D） a = 2， b 为任意常数 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9． = + − → x x x x 1 0 ln(1 ) lim 2 ． 10．设函数 f x e dt x t − = − 1 ( ) 1 ，则 y = f (x) 的反函数 ( ) 1 x f y − = 在 y = 0 处的导数 | y=0 = dy dx ． 11．设封闭曲线 L的极坐标方程为 = − 6 6 cos3 r t 为参数，则 L所围成的平面图形的面积为 ． 12．曲线上 = + = 2 ln 1 arctan y t x t 对应于 t =1 处的法线方程为 ． 13 ．已知 x x x x x y e x e y e x e y x e 2 3 2 2 3 2 1 = − , = − , = − 是 某 个 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 三 个 解 ， 则 满 足 y(0) = 0, y'(0) = 1 方程的解为 ． 14．设 ( ) A = aij 是三阶非零矩阵， A 为其行列式， Aij 为元素 ij a 的代数余子式，且满足 A + a = 0(i, j =1,2,3) ij ij ，则 A = ． 三、解答题 15．（本题满分 10 分）
当x→0时，1-cosxcos2xcos3x与ax"是等价无穷小，求常数a,n.16.（本题满分10分）设D是由曲线y=x，直线x=a（α>O)及x轴所转成的平面图形，VV,分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V，=V，，求a的值17.（本题满分10分）设平面区域D是由曲线x=3y,=3x,x+y=8所围成，求[x2dxdy。18.（本题满分10分）设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明(1)存在e(0,1)，使得f()=1;(2)存在n E(-1,1)，使得 f"(n)+f(n)=1.19.（本题满分10分）求曲线x3-xy+y=l(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离。20.（本题满分11）设函数 f(x)=In x+!x(1)求f(αx)的最小值：1一<1，证明极限lim x,存在，并求此极限。(2)设数列(x,)满足Inx,+Xn+121.（本题满分11）Ix -Iinx(I≤xse).设曲线L的方程为yX2（1）求L的弧长（2）设D是由曲线L，直线x=1,x=e及x轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标22.本题满分11分）(1 a),B=701设A=，问当α,b为何值时，存在矩阵c，使得AC-CA=B，并求出所有矩阵c.(1 ojD-(1 b)23（本题满分11分）(a)b,设二次型f(x,x2,x)=2(ajx+a2x2+ag)+(bx+b2x2+bx).记α=0(b3)as（1）证明二次型对应的矩阵为2ααl+ββ；（2）若α,β正交且为单位向量，证明F在正交变换下的标准形为2y+，- 12 -
- 12 - 当 x →0 时， 1−cos xcos2xcos3x 与 n ax 是等价无穷小，求常数 a, n ． 16．（本题满分 10 分） 设 D 是由曲线 3 y = x ，直线 x = a (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形， Vx Vy , 分别是 D 绕 x 轴和 y 轴旋转一周所形成 的立体的体积，若 10Vx = Vy ，求 a 的值． 17．（本题满分 10 分） 设平面区域 D 是由曲线 x = 3y, y = 3x, x + y = 8 所围成，求 D x dxdy 2 ． 18．（本题满分 10 分） 设奇函数 f (x) 在 −1,1 上具有二阶导数，且 f (1) =1 ，证明： （1）存在 (0,1) ，使得 f '( ) =1 ； （2）存在 (−1,1) ，使得 f () + f () =1． 19．（本题满分 10 分） 求曲线 1( 0, 0) 3 3 x − xy + y = x y 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20．（本题满分 11） 设函数 x f x x 1 ( ) = ln + ⑴求 f (x) 的最小值； ⑵设数列 xn 满足 1 1 ln 1 + n+ n x x ，证明极限 n n x → lim 存在，并求此极限． 21．（本题满分 11） 设曲线 L 的方程为 ln (1 ) 2 1 4 1 2 y = x − x x e ． （1）求 L 的弧长． （2）设 D 是由曲线 L，直线 x = 1, x = e 及 x 轴所围成的平面图形，求 D 的形心的横坐标． 22．本题满分 11 分） 设 = = b B a A 1 0 1 , 1 0 1 ，问当 a,b 为何值时，存在矩阵 C，使得 AC−CA= B ，并求出所有矩阵 C． 23（本题满分 11 分） 设二次型 2 1 1 2 2 3 3 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 f (x , x , x ) = 2(a x + a x + a x ) + (b x + b x + b x ) ．记 = = 3 2 1 3 2 1 , b b b a a a ． （1）证明二次型 f 对应的矩阵为 T T 2 + ； （2）若 , 正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 2 2 2 1 y + y ．
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.+的渐近线条数()(1)曲线y=x2-1(B) 1(C) 2(D) 3(A) 0()(2)设函数f(x)=(er-1)(e2x_2).(e-n)，其中n为正整数,则f(O)=(A) (-1)"-l(n-1)!(C)(-1)"-"n!(D)(-1)"n!(B)(-1)"(n-1)!S,=a,+a,+a,++a，则数列(s,)有界是数列(a,)收敛的(3）设a,>0(n=1,2,3..)，1r(A）充分必要条件(B）充分非必要条件(C）必要非充分条件(D）非充分也非必要(4)设1,=kesin xdx,(k=1,2,3),则有()(C) 1, <1,<l,(D) 1, <I, <1,(A) <,<I(B) I,<I, <I(5）设函数(x,)为可微函数，且对任意的x,都有(x)0.(,)<0,则使不等式(,)>( )成立的一个0axay充分条件是()(D) x,<x2,y>y2(A)>2,<(B) >x,>2(C)X<x,<27,y=1围成，则[[(xy-1)dxdy=(6）设区域D由曲线y=sinx,x：D）((A)元(B) 2 (C)-2(D) - 元(0)(0)(-1)1(7)设a,=C其中C，C,C3,c为任意常数，则下列向量组线性相关的为a(s(C2(C3CA7）(A) a,a2,a,(B) a,,a,as(C) a,a,as(D) az,a,as- 13 -
- 13 - 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前 的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. (1)曲线 2 2 1 x x y x + = − 的渐近线条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数 2 ( ) ( 1)( 2) ( ) x x nx f x e e e n = − − − ，其中 n 为正整数,则 f (0) = ( ) (A) 1 ( 1) ( 1)! n n − − − (B) ( 1) ( 1)! n − −n (C) 1 ( 1) ! n n − − (D) ( 1) ! n − n (3) 设 1 2 3 0 ( 1,2,3 ), n n n a n S a a a a = = + + + + ，则数列 Sn 有界是数列 an 收敛的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 (4) 设 2 0 sin d ,( 1,2,3), k x k I e x x k = = 则有 ( ) (A) 1 2 3 I I I (B) 3 2 1 I I I (C) 2 3 1 I I I (D) 213 I I I (5) 设函数 f x y ( , ） 为可微函数，且对任意的 x y, 都有 ( , ) ( , ) 0, 0, x y x y x y 则使不等式 1 1 2 2 f x y f x y ( , ) ( , ) 成立的一个 充分条件是 ( ) (A) 1 2 1 2 x x y y , (B) 1 2 1 2 x x y y , (C) 1 2 1 2 x x y y , (D) 1 2 1 2 x x y y , (6) 设区域 D 由曲线 sin , , 1 2 y x x y = = = 围成，则 5 ( 1)d d D x y x y − = ( ) (A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 设 1 1 0 0 c = α , 2 2 0 1 c = α , 3 3 1 1 c = − α , 4 4 1 1 c − = α ,其中 1 2 3 4 c c c c , , , 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( ) (A) 1 2 3 α , , α α (B) 1 2 4 α , , α α (C) 1 3 4 α , , α α (D) 234 α , , α α
00)(1.若P=(a,a2,α),Q=(a,+a2,a2,as)则"AQ=(8）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-IAP=100(002)100(100)(200)(200)(A)(B)(C)010(D)/02002010001000000二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上。d'y(9）设y=(x)是由方程x2-y+1=e所确定的隐函数，dx111(10)limn22+nn?+r1+0+nOz20(11)设zinx其中函数(u）可微，则Xaxdyy(12）微分方程ydx+(x-3y2)dy=0满足条件以x==1的解为y=V2(13）曲线y=x2+x(x<0)上曲率为的点的坐标是2（14）设A为3阶矩阵，A=3，A为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则BA=三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)（本题满分10分）1+x_！,记a=lim/(),已知函数(x)=sinxx(I)求a的值;(II)若x→0时，f(x)-a与x是同阶无穷小，求常数k的值(16)（本题满分10分)x2+y2求函数f(x,y)=xe2的极值(17)（本题满分12分）过(O,I)点作曲线L:y=Inx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(18)（本题满分10分)计算二重积分xydg，其中区域D为曲线r=1+cose(0≤≤元）与极轴围成（19）（本题满分10分）已知函数f(x)满足方程f"(x)+f(x)-2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2e，- 14 -
- 14 - (8) 设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 1 100 0 1 0 0 0 2 P AP − = .若 P = (α1 2 3 , , α α ) ，Q = + (α1 2 2 3 α , , α α ) 则 1 Q AQ − = ( ) (A) 1 0 0 0 2 0 0 0 1 (B) 100 0 1 0 0 0 2 (C) 2 0 0 0 1 0 0 0 2 (D) 200 0 2 0 0 0 1 二、填空题：9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 设 y y x = ( ) 是由方程 2 1 y x y e − + = 所确定的隐函数，则 2 2 x 0 d y dx = = . (10) 2 2 2 2 2 1 1 1 lim n 1 2 n → n n n n + + + = + + + . (11) 设 1 z f x ln , y = + 其中函数 f u( ) 可微，则 z z 2 x y x y + = . (12) 微分方程 ( ) 2 y x x y y d 3 d 0 + − = 满足条件 1 1 x y = = 的解为 y = . (13) 曲线 ( ) 2 y x x x = + 0 上曲率为 2 2 的点的坐标是 . (14) 设 A 为3阶矩阵， A =3， * A 为 A 伴随矩阵，若交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ，则 * BA = . 三、解答题：15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 已知函数 ( ) 1 1 sin x f x x x + = − ，记 ( ) 0 lim x a f x → = ， (I)求 a 的值; (II)若 x →0 时， f x a ( ) − 与 k x 是同阶无穷小，求常数 k 的值. (16)(本题满分 10 分) 求函数 ( ) 2 2 2 , x y f x y xe + − = 的极值. (17)(本题满分 12 分) 过 (0,1) 点作曲线 L y x : ln = 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 AB 围成,求区域 D 的面积 及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分 10 分) 计算二重积分 d D xy ，其中区域 D 为曲线 r = + 1 cos 0 ( ) 与极轴围成. (19)(本题满分 10 分) 已知函数 f x( ) 满足方程 f x f x f x ( ) ( ) 2 ( ) 0 + − = 及 ( ) ( ) 2 x f x f x e + =
(I)求f(x)的表达式;(II）求曲线y=f(x)/f(-t)dt的拐点(20)（本题满分10分）证明xln±+cosx≥1+号，,(-1<x<1)21-x(21)（本题满分10分）(I)证明方程x"+x+…+x=1(n>的整数)，在区间内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为x，证明limx,存在，并求此极限.(22)（本题满分11分)(1a00)1)001a-1β设A=0001Q（0)001a(I）计算行列式A；（II）当实数α为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解(23)（本题满分11分)(1 0101已知A：二次型f(x,x,x)=x(AA)x的秩为2,01a(o a-1)(I）求实数α的值；(II）求正交变换x=Qy将化为标准形2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题(A）选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）已知当x→>0时，函数f(x）=3sinx-sin3x与cx是等价无穷小，则（(A) k=1,c=4(B) k=1.c=-4(c) k=3,c=4(D)k=3,c=-4xf(x)-2f(x)= ((2）设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则imx3→(c) f'(O)(D) 0(A) -2f'(0)(B) - f(O)- 15 -
- 15 - (I) 求 f x( ) 的表达式; (II) 求曲线 2 2 0 ( ) ( )d x y f x f t t = − 的拐点. (20)(本题满分 10 分) 证明 2 1 ln cos 1 1 2 x x x x x + + + − , ( 1 1) − x . (21)(本题满分 10 分) (I)证明方程 x x x + + =1 n n-1 + (n 1的整数) ，在区间 1 ,1 2 内有且仅有一个实根； (II)记(I)中的实根为 n x ，证明 lim n n x → 存在，并求此极限. (22)(本题满分 11 分) 设 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 a a A a a = ， 1 1 0 0 − = (I) 计算行列式 A ； (II) 当实数 a 为何值时，方程组 Ax = 有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分 11 分) 已知 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 A a a = − − ，二次型 ( 1 2 3 , , ) ( ) T T f x x x x A A x = 的秩为 2， (I) 求实数 a 的值； (II) 求正交变换 x Qy = 将 f 化为标准形. 2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 (A) 选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将 所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上。 （1）已知当 x →0 时，函数 f (x) = 3sin x − sin 3x 与 k cx 是等价无穷小，则（ ） （A） k =1,c = 4 （B） k =1,c = −4 （C） k = 3,c = 4 （D） k = 3,c = −4 （2）设函数 f (x) 在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0 ，则 = − → 3 2 3 0 ( ) 2 ( ) lim x x f x f x x （ ） （A） − 2 f (0) （B） − f (0) （C） f (0) （D） 0