17、（本题满分10分）已知函数f(x,y)满足f(x,y)=2(y+1)e，f(x,0)=(x+1)e*，f(0,y)=+2y,求f(x,y)的极值。18、（本题满分10分）计算二重积分[x(x+y)dxdy，其中D=(x,y)x+y≤2,y≥x19、（本题满分10分）已知函数(x)='V1+dt+V+idt，求(x)零点的个数。20、（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体在20℃恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30℃，若要使物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间？21、（本题满分11分）已知函数f(x)在区间[a,+o)上具有 2 阶导数，f(a)=0,f(x)>0,设b>a,曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线与x轴的交点是(xo,0)，证明：a<x<b。22、（本题满分11分）(a10且A=0，（1）求a的值；（2）若矩阵×满足X-XA-AX+AXA=Z,其中Z为3阶单设矩阵A=(0 1a位矩阵，求X。23、（本题满分11分）02-3)1-2 0设矩阵A=S相似于矩阵B：0b-3(1-203a（1）求a,b的值（2）求可逆矩阵P，使P-AP为对角矩阵。-6 -
- 6 - 17、（本题满分 10 分） 已知函数 f x y ( , ) 满足 ( , ) 2( 1) x xy f x y y e = + ， ( ,0) ( 1) x x f x x e = + ， f y y (0, ) 2 , = + 求 f x y ( , ) 的极值。 18、（本题满分 10 分） 计算二重积分 ( ) D x x y dxdy + ，其中 2 2 2 D x y x y y x = + ( , ) 2, 。 19、（本题满分 10 分） 已知函数 2 1 2 1 ( ) 1 1 x x f x t dt tdt = + + + ，求 f x( ) 零点的个数。 20、（本题满分 11 分） 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始 温度为 120 0C 的物体在 20 0C 恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至 30 0C ，若要使物体的温度继续降至 21 0C ， 还需冷却多长时间？ 21、（本题满分 11 分） 已知函数 f x( ) 在区间 a,+) 上具有 2 阶导数， f a f x ( ) 0, ( ) 0, = 设 b a , 曲线 y f x = ( ) 在点 ( , ( )) b f b 处的切线与 X 轴的交点是 0 ( ,0) x ，证明： 0 a x b 。 22、（本题满分 11 分） 设矩阵 1 1 1 1 0 0 a A a a = − ,且 3 A = 0 ，（1）求 a 的值；（2）若矩阵 X 满足 2 2 X XA AX AXA Z − − + = , 其中 Z 为 3 阶单 位矩阵，求 X。 23、（本题满分 11 分） 设矩阵 0 2 3 1 3 3 1 2 A a − = − − − ，相似于矩阵 1 2 0 0 0 0 3 1 B b − = ， （1）求 a,b 的值（2）求可逆矩阵 P，使 1 P AP − 为对角矩阵
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一，选择题：1118小题，每小题4分，共32分、下列年题给出的四个避项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项尊的母填在答题低指定位胃上(1）当x→0*时，若In（1+2），（1-COsx）均是比x高阶的无穷小，则α的取值范围是（）Oaa(A) (2, +00)(B) (1, 2)(2）下列曲线有渐近线的是()(B) y=x +sin x(A) y=x+sin x1) y=x +sin' x(C) y=x+ sin-x）-(3)设函数（)具有2阶导数，g(x)=7(0)1-z)+f(1)x，则在区间[0,1]上(A)当 ()20时, f(x)2g(x)(B)当 f(x)2 0时。 (x)≤g(α)(C)当 f(x)≥0时, (x)≥g(x)(D)当 f(x)≥0时, f(t)≤g(x)Jx=P+7(2(4) 曲线上对应于=1的点处的曲率半径是ly-2+4t+1(a) yiDB旨(C)10-/00)5/50100$2(5）设函数（)=arctanx，若f6）手（2，则m()0X号o明(A)1-n1+0（6）设函效u（y）在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导效，且满足axayouou-0.m及()tay1-7-
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(A）u（,）的最大值和最小值部在D的边界上取得(B)(,y)的最大值和最小值在 D 的内部上取得(C）（,y）的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得(D）以（，）的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得oabo0b0(7）行列式cdocood(a) (ad-be)(B) -(ad -be)(c) ad2-bc2)be-ad(8）设α,ag均为3维向量，则对任意常数1，向量组+k,+lg线性无关是向量组(Da,,线性无关的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件(C）充分必要条件(D）既非充分也非必要条件二、填空髓：BL14小题，每小题4分，共24分，请格答寒写在答纸指定位量上，1((9)dx+2x+5(10)设于(x)是周期为4的可导奇函数,且,(x)=2(x-1),x=[0,2].则F()=(1)设2-2())是由方程+++2-7一确定的函数，则z4处的切线的直角坐标方程是(12)曲线L的极坐标方程是r=e，则L在点（r,e)=6(13)一根长为1的细棒位于轴的区间[0,1)上，若其线密度（x)=-+2x+1，则该细棒的质心2-8-
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坐标文=(14)设二次型了(x,xz号)=x一x,+2ax,+4x,,的负惯性指数是1.则a的取值范围三，解答，1523小题，共94分，请将解答写在答题既指定位置上解答应写出文字说明、证明过程成滴算步，（15)（本题满分10分）求极限lirm21n/1+（16）（本题满分10分）已知函数=y(）满足微分方程x+y-1-y，且y(2)=0，求()的极大值与极小值.（17）（本题满分10分）S11设平面区域D-((xy)1≤x2 +y≤4,x≥0, y≥0,计典xayx+y(18)（本题满分10分）设函数f（u）具有2阶连续导数，z=f(ecosy）满足-(4+d)，若 0)-0, (0-0 *0)的表达式axay?(19)(本题满分10分)设函数(x),g(x)的区间[ab]上连续，且()单调增加，0≤g(x)≤1,证明：(1) 0≤['g()dt≤x-a, xe[a,b],[nan dx'g(odx.(II), xe[0,1], 定义函数列(20)(本题满分 11 分）设数(8)=1+x(x) -f(x),f(2) - f(f(),f () =f(f1(x),.,记s,是曲线 y=T,(),直线x-13-9-
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及x轴所成平面图形的面积，求极限limns(21)(本题测分11 )已如数 [(3,)凋足-2(y+1),且F0)(- (2 ≤2 Oy求曲线f（α）=0所围成的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积(12340111（22）（本题满分11分）设A=E为3阶单位矩阵(1203（I）求方程组Ax=0的一个基础解系：（I）求满足AB-E的所有矩阵B.(1 110.01101021.相似（23）（本题满分11分）证明n阶矩阵...:(111)10.0n2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题1一8小题．每小题4分，共32分，1. 设cosx-1=xsinα(x)α(x)<，当x→0时，α(x)（)2（A）比x高阶的无穷小（B）比x低阶的无穷小（D）与x等价无穷小（c）与x同阶但不等价无穷小2.已知y=f(x)是由方程cos(xy)-lny+x=1确定，则 lim nl(A) 2(B）1(C) -1(D) -2sinx,xe[0,元】[2. e[元,2] F()=],()d 则()3.设f(x)=（A）X=元为F(x)的跳跃间断点。（B）X=元为F(x)的可去间断点（C）F(x)在x=元连续但不可导：（D）F(x)在x=元可导I,l<x<eI(x-1)a-I4．设函数f(x)=，且反常积分「f(x)dx收敛，则（）1,x≥e[xln a+l x(B) a>2(c) -2<a<0(D) 0<α<2(A) α<-2- 10 -
- 10 - 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分． １．设 2 cos 1 sin ( ), ( ) x − = x x x ，当 x → 0 时， ( x) （ ） （A）比 x 高阶的无穷小 （B）比 x 低阶的无穷小 （C）与 x 同阶但不等价无穷小 （D）与 x 等价无穷小 2．已知 y = f (x) 是由方程 cos(xy)− ln y + x =1 确定，则 = − → 1 2 lim n n f n （ ） （A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 ３．设 = 2, [ ,2 ] sin , [0, ) ( ) x x x f x ， = x F x f t dt 0 ( ) ( ) 则（ ） （Ａ） x = 为 F(x) 的跳跃间断点． （Ｂ） x = 为 F(x) 的可去间断点． （Ｃ） F(x) 在 x = 连续但不可导． （Ｄ） F(x) 在 x = 可导． ４．设函数 − = + − x e x x x e x f x , ln 1 ,1 ( 1) 1 ( ) 1 1 ，且反常积分 f (x)dx + 收敛，则（ ） （A） −2 （B） a 2 （C） − 2 a 0 （D） 0 2