上式称为由基a,a,,an到B,B,,Bn的基变换公式，若记T=化，m,则 基变换公式可表示为 [BB2…Bn]=[a1a2…an]' 矩阵T称为基C1,2,…,Cn到基B,B,,Bn的过渡矩阵 注过渡矩阵必可逆 ②对V中任一向量a,若a在基a1,a2,,an与基B,B,,B。下的坐标分别 为x1x2,,xn和，2，…，yn,则由 au=x41+x242+…+x0n=[a1a2… … x a=当B+B2+…+ynBn=[BB2…Bn】 y2 y 可得压x2…x了=Tyy2…y了 y 「x 2 =T-l 子 : 或Lyn」 称为坐标变换公式 4.1.10 施密特正交化方法 任给V中的一组基1，C2,“,,可由施密特正交化过程构造出一组新的正交基 B1,B2,…,B, B=a 阝2=02- a B,=, B,aB-… (BB (B,B） (B-,B-） 4.1.11 标准正交基 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
上式称为由基a a an , , , 1 2 L 到 b b bn , , , 1 2 L 的基变换公式，若记 ( ) n n ij T t ´ = ，则 基变换公式可表示为 [ ] [ ] T b1 b2 L bn = a1 a2 L an 矩阵 T 称为基a a an , , , 1 2 L 到基 b b bn , , , 1 2 L 的过渡矩阵 注 过渡矩阵必可逆 ② 对 V 中任一向量a ，若a 在基a a an , , , 1 2 L 与基 b b bn , , , 1 2 L 下的坐标分别 为 n x , x , , x 1 2 L 和 n y , y , , y 1 2 L ，则由 [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = + + + = n n n n x x x x x x M L L 2 1 a 1a1 2a2 a a1 a2 a [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = + + + = n n n n y y y y y y M L L 2 1 a 1b1 2b2 b b1 b2 b 可得[ ] [ ] T n T n x x L x T y y L y 1 2 = 1 2 或 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - n n x x x T y y y M M 2 1 2 1 1 称为坐标变换公式 4.1.10 施密特正交化方法 任给 V 中的一组基a a ar , , , 1 2 L ，可由施密特正交化过程构造出一组新的正交基 b b br , , , 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 , , , , , , - - - - = - - - = - = r r r r r r r r b b b b a b b b b a b a b b b b a b a b a L LL 4.1.11 标准正交基 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(1)定义：若V的一组基1,2…，1，满足 m》-8/ 6j=1,2,…,r） 则称1,2，…，1，是V的一组标准（规范）正交基。 (2)求法：第一种：对V中的任一组基1C2“,,可先由施密特正交化方法，得 到一组正交基B,B,,B,再把每个B单位化 %风Bk=2.月 1 得到的1,2，…，1，即为V的标准正交基 a2 ≠0，a∈R" 第二种：对任一 ,可以扩充为R”的一组标准正交 基，设x=西…x厂满足任，）=0即 ax1+a2x2+…+anxn=0(*) 求得(*)的一个基础解系B,B…,Bn-1,从而a,B,B,…,Pm-1必为R”的 “组基，再由第一种方法得到一组标准正交基 4.1.12正交矩阵 (I)A为正交矩阵的定义是：A满足A4=A「A=I(或AI=A) (2)A为正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组为标准正交向量组 注由(2)可知，若1,2，“，m是R”的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准 正交基，2，，m,以它们为列作出矩阵 0=hn2…nn] 则Q必为正交阵。 (3)正交阵的性质： 若A为正交阵，则个=±山且4'，4，A'均为正交阵 若B也为正交阵，则AB也是正交阵 4.1.13齐次线性方程组Ax=0的解空间(A为m×n矩阵) PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
(1) 定义：若 V 的一组基h h hr , , , 1 2 L 满足 (i j r) i j i j i j , 1,2, , 1 0 , = L î í ì = ¹ h h = 则称h h hr , , , 1 2 L 是 V 的一组标准（规范）正交基。 (2) 求法：第一种：对 V 中的任一组基a a ar , , , 1 2 L 可先由施密特正交化方法，得 到一组正交基 b b br , , , 1 2 L ，再把每个 bk 单位化 ( 1,2, , ) 1 k r k k t = b = L b h 得到的h h hr , , , 1 2 L 即为 V 的标准正交基 第二种：对任一 n n ¹ Î R ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = a a a a a 0, 2 1 M ，可以扩充为 n R 的一组标准正交 基，设 [ ] T n x x x L x = 1 2 满足 x,a = 0即 0 (*) a1 x1 + a2 x2 +L+ an xn = 求得（*）的一个基础解系 1 2 1 , , , b b L bn- ，从而 1 2 1 , , , , a b b L bn- 必为 n R 的 一组基，再由第一种方法得到一组标准正交基 4.1.12 正交矩阵 (1) A 为正交矩阵的定义是：A 满足 AAT = A T A = I(或A T = A -1） (2) A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列（行）向量组为标准正交向量组 注 由(2)可知，若a a an , , , 1 2 L 是 n R 的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准 正交基h h hn , , , 1 2 L ，以它们为列作出矩阵 [ ] Q = h1 h2 L hn 则 Q 必为正交阵。 (3) 正交阵的性质： 若 A 为正交阵，则 1 * A 1, A , A , A T - = ± 且 均为正交阵 若 B 也为正交阵，则 AB 也是正交阵 4.1.13 齐次线性方程组 Ax=0 的解空间（A 为 m ´ n 矩阵） PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
齐次线性方程组Ax=0若有非零解，则其全体解构成一个向量空间，称为Ax=0的解 空间，记作N(A) (1)Ax=0的一个基础解系即为N(A)的一组基，故基础解系不唯一。 (2)Ax=0的每一个基础解系所含向量个数n-r(A)即为dimV(A)是固定的 (③)若已知，，，“-是Ax=0的一个基础解系，则 N(A)=spanla1a2·an-rt4】 (4)从而Ax=0的通解 x=Ia+ta2+.+In-r()an-r(4) 其中1,2，…，ln-()为任意常数 注由于基础解系不唯一，故通解形式不唯一。 4.2典型例题分析 1)向量a可由向量组B,P,,Pm线性表出的判定 方法：(1)用定义 (2)a可否由B,B,,Bm线性表出等价于线性方程组 [B,B2…Bnr=a是否有解。 例1设 a=21,B=11',B2=1-1-,B=-11- B4=-1-1,问a可否由B,P2,B,B:线性表出，若可以，请写出线性表 示式。 a=x1B+x22+xB3+xB=[B B2 B:B] 解设 记x=[xxxx,则问题转化为方程组B,B,B,B,r=a是否有解。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
齐次线性方程组 Ax=0 若有非零解，则其全体解构成一个向量空间，称为 Ax=0 的解 空间，记作 N（A） (1) Ax=0 的一个基础解系即为 N（A）的一组基，故基础解系不唯一。 (2) Ax=0 的每一个基础解系所含向量个数 n-r（A）即为dimN(A) 是固定的 (3) 若 已 知 1 2 ( ) , , , a a L an-r A 是 Ax=0 的一个 基 础 解 系 ， 则 ( ) 1 2 ( ) ( ) n r A N A = span a a L a - (4) 从而 Ax=0 的通解 1 1 2 2 n r( A) n r(A) x t t t = a + a +L+ - a - 其中 1 2 ( ) , , , n r A t t t L - 为任意常数 注 由于基础解系不唯一，故通解形式不唯一。 4.2 典型例题分析 1) 向量a 可由向量组 b b bm , , , 1 2 L 线性表出的判定 方法：(1)用定义 (2) a 可 否 由 b b bm , , , 1 2 L 线 性 表 出 等 价 于 线性方 程 组 [b1 b2 L bn ]x = a 是否有解。 例 1 设 [ ] [ ] [ ] [ ] T T T T 1 2 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 a = b1 = b2 = - - b3 = - - [ ] T 1 1 1 1 b4 = - - ，问a 可否由 1 2 3 4 b , b , b , b 线性表出，若可以，请写出线性表 示式。 解 设 [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = + + + = 4 3 2 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 x x x x a x b x b x b x b b b b b 记 [ ] T x x x x x = 1 2 3 4 ，则问题转化为方程组[b1 b2 b3 b4 ]x = a 是否有解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
[11111 「1111：1 11-1-1:2 0 0 -2-2:1 B B2 B:Ba]= 1-11-1:1 0-20-2:0 1-1-11 :1 0-2-2 0:0 1000: 「10 0 1:17 4 00 0 1: 1 010 0: 4 4 00-11:0 0010: 010 1:0 1 0001: 4 可见可由B,P,B,B4唯一线性表示，且 1 4 例2 a1=023,a2=135,a=1-1a+2y,a4=24a+8 B=11b+35 (1)a,b为何值时，阝不能表示成1,2，，4的线性组合？ (2)a,b为何值时，B可由1,02,0,4唯一线性表出？ 解设B=4a+%,+1,+L,a4则 41+2+13+14=1 52-13+214=1 21+3t2+(a+2)43+414=b+3 311+512+43+(a+8)14=5 其增广矩阵 [11 1 1:17 [111 1:1 01-1 2 :1 7= 0 1-1 2 :1 23a+24:b+3 0 0a+1 0:b 351 a+8:5 000a+1:0 当a=-1,b≠0时，r(A)=2,r(A)=3,可知方程组无解，即B不能表示成1,2,3,4 的线性组合。 当a≠-1时，方程组有唯一解，故阝可由1,2,03,04线性表出，且表达式唯一，表 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.fineprint.cn
[ ] ú ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ê ë é - - ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - - = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - = 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 1 0 4 1 0 1 0 0 4 5 1 0 0 0 ~ 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 4 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 2 1 1 1 1 1 1 ~ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 3 4 M M M M M M M M M M M M M M M M b b b b Ma 可见a 可由 1 2 3 4 b , b , b , b 唯一线性表示，且 1 2 3 4 4 1 4 1 4 1 4 5 a = b + b - b - b 例 2 [ ] [ ] [ ] [ ] T T T T 1 0 2 3 , 1 1 3 5 , 1 1 a 2 1 , 1 2 4 a 8 a1 = a2 = a3 = - + a4 = + [ ] T b = 1 1 b + 3 5 (1) a,b 为何值时， b 不能表示成 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 的线性组合？ (2) a,b 为何值时， b 可由 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 唯一线性表出？ 解设 b 1a1 2a2 3a3 4a4 = t + t + t + t 则 ï ï î ï ï í ì + + + + = + + + + = + - + = + + + = 3 5 ( 8) 5 2 3 ( 2) 4 3 2 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 t t t a t t t a t t b t t t t t t t 其增广矩阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + + - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + + + - = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ~ 3 5 1 8 5 2 3 2 4 3 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ~ M M M M M M M M a a b a a b A 当a = -1, b ¹ 0 时，（r A）=2，（r A ~ ）=3，可知方程组无解，即 b 不能表示成 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 的线性组合。 当a ¹ -1时，方程组有唯一解，故 b 可由 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 线性表出，且表达式唯一，表 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
达式为 B=、 2b a+b+1 1+ a+1 a3+004 a+1 a+1 2)线性相关性的判定 常用方法：(1)从定义出发： (2)利用矩阵秩或行列式： (3)利用性质。 17 「17 -17 0 4 2 02= 0 C3= -8 例3己知 1 2 k」线性相关，求k 解解法一（利用矩阵的秩） 「1 1 -17 [「11 -1 10 -4 0 -1 -3 A=a a2 a]= 2 0 -8 0 0k-2 12 k 0 0 0 由1,2,3线性相关可知必有r(A)<3,故k=2 解法二（利用行列式及性质） 将2,0的第三个分量去掉，地向量组 B,=11,B2=02,B=1-4k,则 11-111-1 B,B,Bl-10-4= 0 -4 12k-10k+2 由于1,2,3线性相关，所以B,P2,P线性相关 故B,B2,B=0,即k=2 例4设a1,a2,…,am(m≤m）是m个互不相等且不为零的常数，向量 g=4,a,…,a=1,2…,m）,问a1,2,…,am是否线性相关？ 解由于m≤n,a,≠a,i≠j,ij=12,,m)且a,≠0i=12,…,m）,故 2从而B=b,…,a,,=b,,,a…,B=ba,a线性无 关，所以向量组102，“0m亦线性无关。 例5设向量组1,2，，am(m>)线性无关，且B=a+a,++m,判断向量 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建www.fineprint.cn
达式为 1 2 3 0 4 1 1 1 1 2 b a a a + ×a + + + + + + + = - a b a a b a b 2) 线性相关性的判定 常用方法：(1)从定义出发； (2)利用矩阵秩或行列式； (3)利用性质。 例 3 已知 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = k 8 4 1 2 0 0 1 1 2 1 1 a1 a2 a3 线性相关，求 k 解 解法一（利用矩阵的秩） [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - = = 0 0 0 0 0 2 0 1 3 1 1 1 ~ 1 2 2 0 8 1 0 4 1 1 1 1 2 3 k k A a a a 由 1 2 3 a ,a ,a 线性相关可知必有 r（A）<3，故 k=2 解法二（利用行列式及性质） 将 1 2 3 a ,a ,a 的第三个分量去掉，地向量组 [ ] [ ] [ ] T T T 1 1 1 , 1 0 2 , 1 4 k b1 = b2 = b3 = - - ，则 k k k k = - - + - = - - + - - - = - = 2 1 2 1 4 1 0 2 1 0 4 1 1 1 1 2 1 0 4 1 1 1 , , b1 b2 b3 由于 1 2 3 a ,a ,a 线性相关，所以 1 2 3 b , b , b 线性相关 故 b1 , b2 , b3 = 0,即k = 2 例4 设 , , , ( ) 1 2 a a a m n L m £ 是 m 个互不相等且不为零的常数，向量 [ , , , ] ( 1,2, , ) 2 a a a i m T n ai = i i L i = L ，问a a am , , , 1 2 L 是否线性相关？ 解 由于m n, a a (i j,i, j 1,2, ,m) a 0(i 1,2, ,m) £ i ¹ j ¹ = L 且 i ¹ = L ，故 2 从而 [ ] [ ] [ ] T n m m m m T n T n a , a , , a , a , a , , a , , a , a , , a 2 2 2 1 2 2 2 2 b1 = 1 1 L b = L K b = L 线性无 关，所以向量组a a am , , , 1 2 L 亦线性无关。 例5 设向量组 , , , ( 1) a1 a2 L am m > 线性无关，且 b = a1 +a2 +L+am ，判断向量 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn