《数学建模》绪言

绪言 任何新生事物的产生和发展,都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程, 一种新理论、一种新学科的问世,往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模 糊数学自1965年L.A. Zadeh教授开创以来所走过的道路,充分证实了这一点, 然而,实践是检验真理的标准,模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨 大成果,不仅消除了人们的疑虑,而且使模糊数学在科学领域中,占有了自己的 席之地。 经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的,不 可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象,都是无生命的机械系 统,大都是界限分明的清晰事物,允许人们作出非此即彼的判断,进行精确的测 量,因而适于用精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科 特别是有关生命现象、社会现象的学科,研究的对象大多是没有明确界限的模糊 事物,不允许作出非此即彼的断言,不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量 可以精确测定,能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据 不能按精确方法建立数学模型。实践证明,对于不同质的矛盾,只有用不同质的 方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效,但用于对人类行为起重要作用 的系统,就显得太精确了,以致于很难达到甚至无法达到 精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑,即要求符合非此即彼的排中律,这 对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时,就会产生逻辑悖论。如 判断企业经济效益的好坏时,用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业” 表达,否则,便是经济效益不好的企业。根据常识,显而易见:“比经济效益好 的企业年利税少1元的企业,仍是经济效益好的企业”,而不应被划为经济效益 不好的企业。这样,从上面的两个结论出发,反复运用经典的二值逻辑,我们最 后就会得到,“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许 多,历史上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物 时产生的。 客观实际中存在众多的模糊性事物和现象,促使人们寻求建立一种适于描述 模糊事物和现象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊 方法的逻辑基础是连续值逻辑,它是建立在[0,1]上的。如若我们把年利税在 100万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为1,那末,相比之 下,年利税少1元的企业,属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一

绪言 任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程， 一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模 糊数学自 1965 年 L.A.Zadeh 教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点， 然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨 大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的 一席之地。 经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不 可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系 统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测 量，因而适于用精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科， 特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊 事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量 可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据， 不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的 方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用 的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。 精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这 对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如 判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在 100 万元以上者为经济效益好的企业” 表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见：“比经济效益好 的企业年利税少 1 元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益 不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最 后就会得到，“年利税为 0 者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许 多，历史上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物 时产生的。 客观实际中存在众多的模糊性事物和现象，促使人们寻求建立一种适于描述 模糊事物和现象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊 方法的逻辑基础是连续值逻辑，它是建立在[0，1]上的。如若我们把年利税在 100 万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为 1，那末，相比之 下，年利税少 1 元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一

点,比如为0.9999,依此类推,企业的年利税每减少1元,它属于“经济效益 好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去,当企业的年利税为0时,它 属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为0了,显然,模糊方法的这种处理方 式,是符合于人们的认识过程的,连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。 现代科学发展的总趋势是,从以分析为主对确定性现象的研究,进到以综合 为主对不确定性现象的研究。各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型 现象之后,正在扩大视域,转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同 学科之间,社会科学不同学科之间,自然科学和社会科学之间,相互渗透的趋势 日益加强,原来截然分明的学科界限一个个被打破,边缘科学大量涌现出来。随 着科学技术的综合化、整体化,边界不分明的对象,亦即模糊性对象,以多种多 样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿 模糊集合理论自诞生以来,获得了长足的发展,每年全世界发表的研究论文 的数量,以指数级速度増长。硏究范围从开始时的模糊集合,发展为模糊数、模 糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑…等众多的分 枝 和模糊集合理论的发展速度相比,模糊技术的应用虽稍迟一步,但也取得了 令人可喜的进展。自1980年第一例应用模糊技术的产品问世以来,有关这方面 的硏究报告已逾τ000多篇,制造出近千种模糊产品,如计算机、电饭煲、摄像 机、微波炉、洗衣机、空调器等。如日本松下公司硏制的智能化家用空调器,可 根据内置的传感器提供的室内空气温度数据,在室温高或低于25℃时,会自动 地“稍稍”调节空调器的阀门,进行4608种不同状态设定选择,从而获得最佳 开启状态和尽可能少的消耗。而这种“稍稍”的程度,只有通过有经验的人的感 觉来决定 模糊技术方法不是对精确的摒弃,而是对精确更圆满的刻画。它通过模糊控 制规划,利用人类常识和智慧,理解词语的模糊内涵和外延,将各方面专家的思 维互相补充。虽然,目前要使模糊技术接近于人的思维,尚难以做到,但正如日 本夏普公司电子专家日吉考庄所说:一个普遍应用模糊技术的时代,不久就会到 来 我国自70年代开始模糊数学研究以来,成就突出,已形成了2000至3000 人的世界最庞大的硏究队伍,并在髙速模糊推理硏究等领域,居世界领先地位。 但同时在其它方面,也存在着一些差距,尤其突出的是实验室里的成果,还有许

点，比如为 0.99999，依此类推，企业的年利税每减少 1 元，它属于“经济效益 好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去，当企业的年利税为 0 时，它 属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为 0 了，显然，模糊方法的这种处理方 式，是符合于人们的认识过程的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。 现代科学发展的总趋势是，从以分析为主对确定性现象的研究，进到以综合 为主对不确定性现象的研究。各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型 现象之后，正在扩大视域，转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同 学科之间，社会科学不同学科之间，自然科学和社会科学之间，相互渗透的趋势 日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边缘科学大量涌现出来。随 着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象，以多种多 样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿。 模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文 的数量，以指数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模 糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑……等众多的分 枝。 和模糊集合理论的发展速度相比，模糊技术的应用虽稍迟一步，但也取得了 令人可喜的进展。自 1980 年第一例应用模糊技术的产品问世以来，有关这方面 的研究报告已逾 7000 多篇，制造出近千种模糊产品，如计算机、电饭煲、摄像 机、微波炉、洗衣机、空调器等。如日本松下公司研制的智能化家用空调器，可 根据内置的传感器提供的室内空气温度数据，在室温高或低于 25℃时，会自动 地“稍稍”调节空调器的阀门，进行 4608 种不同状态设定选择，从而获得最佳 开启状态和尽可能少的消耗。而这种“稍稍”的程度，只有通过有经验的人的感 觉来决定。 模糊技术方法不是对精确的摒弃，而是对精确更圆满的刻画。它通过模糊控 制规划，利用人类常识和智慧，理解词语的模糊内涵和外延，将各方面专家的思 维互相补充。虽然，目前要使模糊技术接近于人的思维，尚难以做到，但正如日 本夏普公司电子专家日吉考庄所说：一个普遍应用模糊技术的时代，不久就会到 来。 我国自 70 年代开始模糊数学研究以来，成就突出，已形成了 2000 至 3000 人的世界最庞大的研究队伍，并在高速模糊推理研究等领域，居世界领先地位。 但同时在其它方面，也存在着一些差距，尤其突出的是实验室里的成果，还有许

多未转化成经济效益。需要在政府和工业界的支持和参与下,成立专门的开发实 体,制定规划,并积极开展国际交流,为我国21世纪的技术发展和科学腾飞奠 定基础。 第二章模式识别 §2-1模式识别及识别的直接方法 在日常生活中生活中,经常需要进行各种判断、预测。如图象文字识 别、故障(疾病)的诊断、矿藏情况的判断等,其特点就是在已知各种标 准类型前提下,判断识别对象属于哪个类型的问题。这样的问题就是模式 识别 、模糊模式识别的一般步骤 模式识别的问题,在模糊数学形成之前就已经存在,传统的作法主要 用统计方法或语言的方法进行识别。但在多数情况下,标准类型常可用模 糊集表示,用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的,以模糊数学为 基础的模式识别方法称为模糊模式识别。 模式识别主要包括三个步骤 第一步:提取特征,首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征, 并度量这些特征,设x12…,xn分别为每个特征的度量值,于是每个识别对 象x就对应一个向量(x1,x2,…,xn),这一步是识别的关键,特征提取不合理, 会影响识别效果。 第二步:建立标准类型的隶属函数,标准类型通常是论域 U=(x1…xn)}的模糊集,x是识别对象的第i个特征 第三步:建立识别判决准则,确定某些归属原则,以判定识别对象属 于哪一个标准类型。常用的判决准则有最大隶属度原则(直接法)和择近 原则(间接法)两种 二、最大的隶属度原则 若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集,待识别对象是论域中的某 一元素(个体)时,往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型,因而 隶属度不为1,这类问题人们常常是采用称为“最大隶属度原则”的方法 加以识别,这种方法(以及下面的“阈值原则”)是处理个体识别问题的 称为直接法。 最大隶属度原则:设A,A2…An∈F(U)是n个标准类型,x0∈U,若 A(x)-mx{A(x)1≤k≤n}

多未转化成经济效益。需要在政府和工业界的支持和参与下，成立专门的开发实 体，制定规划，并积极开展国际交流，为我国 21 世纪的技术发展和科学腾飞奠 定基础。 第二章 模式识 别 §2 -1 模 式 识 别 及 识 别 的 直 接 方 法 在 日 常 生 活 中 生 活 中 ，经 常 需 要 进 行 各 种 判 断 、预 测 。如 图 象 文 字 识 别 、故 障（ 疾 病 ）的 诊 断 、矿 藏 情 况 的 判 断 等 ，其 特 点 就 是 在 已 知 各 种 标 准 类 型 前 提 下 ，判 断 识 别 对 象 属 于 哪 个 类 型 的 问 题 。这 样 的 问 题 就 是 模 式 识别。 一 、 模 糊 模 式 识 别 的 一 般 步 骤 模 式 识 别 的 问 题 ， 在 模 糊 数 学 形 成 之 前 就 已 经 存 在 ，传 统 的 作 法 主 要 用 统 计 方 法 或 语 言 的 方 法 进 行 识 别 。但 在 多 数 情 况 下 ，标 准 类 型 常 可 用 模 糊 集 表 示 ，用 模 糊 数 学 的 方 法 进 行 识 别 是 更 为 合 理 可 行 的 ，以 模 糊 数 学 为 基 础 的 模 式 识 别 方 法 称 为 模 糊 模 式 识 别 。 模式识别主要 包 括 三 个 步 骤 ： 第 一 步 ： 提 取 特 征 ， 首 先 需 要 从 识 别 对 象 中 提 取 与 识 别 有 关 的 特 征 ， 并 度 量 这 些 特 征 ， 设 n x , , x 1  分 别 为 每 个 特 征 的 度 量 值 ， 于 是 每 个 识 别 对 象 x 就 对 应 一 个 向 量 ( , , , ) 1 2 n x x  x ，这 一 步 是 识 别 的 关 键 ，特 征 提 取 不 合 理 ， 会 影 响 识 别 效 果 。 第 二 步 ： 建 立 标 准 类 型 的 隶 属 函 数 ， 标 准 类 型 通 常 是 论 域 U = (x1 , xn ) 的模糊集， i x 是 识 别 对 象 的 第 i 个 特 征 。 第 三 步 ：建 立 识 别 判 决 准 则 ， 确 定 某 些 归 属 原 则 ， 以 判 定 识 别 对 象 属 于 哪 一 个 标 准 类 型 。常 用 的 判 决 准 则 有 最 大 隶 属 度 原 则（ 直 接 法 ）和 择 近 原 则 （ 间 接 法 ） 两 种 。 二、最大的隶属度原则 若 标 准 类 型 是 一 些 表 示 模 糊 概 念 的 模 糊 集 ，待 识 别 对 象 是 论 域 中 的 某 一 元 素 （ 个 体 ）时 ， 往 往 由 于 识 别 对 象 不 绝 对 地 属 于 某 类 标 准 类 型 ， 因 而 隶 属 度 不 为 1， 这 类 问 题 人 们 常 常 是 采 用 称 为 “ 最 大 隶 属 度 原 则 ” 的 方 法 加 以 识 别 ， 这 种 方 法（ 以 及 下 面 的“ 阈 值 原 则 ”）是 处 理 个 体 识 别 问 题 的 ， 称为直接 法 。 最 大 隶 属 度 原 则 ： 设 , ( ) A1 A2 An  F U 是 n 个 标 准 类 型 ， x0 U ， 若 Ai (x0 ) − max Ak ( x0 ) 1 k  n 

则认为x0相对隶属于A所代表的类型 例1通货膨胀识别问题 通货膨胀状态可分成五个类型:通货稳定;轻度通货膨胀;中度通货膨 胀;重度通货膨胀;恶性通货膨胀.以上五个类型依次用R*(非负实数域,下 同)上的模糊集A,A2,A3,A4,A3表示,其隶属函数分别为 1, < A1(x)= p[-[]] x≥5 x-10 A2,(x)=exp(-( 5 x-20 A(x)=exp(-( A4(x)=e(-(+~30 x-50 A5(x) 0≤x<50 15 ≥50 其中对x≥0,表示物价上涨x%。问x=840时,分别相对隶属于哪种 类型? 解1(8)=0.3679,A(8)=0.8521 A3(8)=00529,A4(8)=00032 A5(8)=0.0000 A(40)=0.000,42(40)=0.000 A3(40)=00003,A4(40)=0.1299 A(40)=06412 由最大隶属原则,x=8应相对隶属于A2,即当物价上涨8%时,应视 为轻度通货膨胀;x=40,应相对隶属于A3,即当物价上涨40%时,应视 为恶性通货膨胀。 阈值原则 在使用最大隶属度原则进行识别中,还会出现以下两种情况,其一是

则认为 0 x 相 对 隶 属 于 Ai 所 代 表 的 类 型 。 例 1 通 货 膨 胀 识 别 问 题 通货膨胀状态可分成五个类型 :通 货 稳 定 ;轻度通货膨胀 ;中 度 通 货 膨 胀 ;重度通货膨胀 ;恶性通货膨胀 . 以上五个类型依次用 + R ( 非负实数域 , 下 同 ) 上的模糊集 1 2 3 4 5 A , A , A , A , A 表 示 , 其 隶 属 函 数 分 别 为 :      − −   = ] ], 5 3 5 exp[ [ 1, 0 5 ( ) 1 2 x x x A x ) ) 5 10 ( ) exp( ( 2 2 − = − x A x ) ) 7 20 ( ) exp( ( 2 3 − = − x A x ) ) 9 30 ( ) exp( ( 2 4 − = − x A x        − − = 1, 50 ) ), 0 50 15 50 exp[ ( ( ) 2 5 x x x A x 其中对 x  0 , 表 示 物 价 上 涨 x% 。 问 x = 8,40 时 ， 分 别 相 对 隶 属 于 哪 种 类型？ 解 A1 (8) = 0.3679， A2 (8) = 0.8521 A3 (8) = 0.0529， A4 (8) = 0.0032 A5 (8) = 0.0000 A1 (40) = 0.0000， A2 (40) = 0.0000 A3 (40) = 0.0003， A4 (40) = 0.1299 A5 (40) = 0.6412 由 最 大 隶 属 原 则 ， x = 8 应 相 对 隶 属 于 A2 ， 即 当 物 价 上 涨 8% 时 ， 应 视 为 轻 度 通 货 膨 胀 ； x = 40 ， 应 相 对 隶 属 于 A5 ， 即 当 物 价 上 涨 40% 时 ， 应 视 为 恶 性 通 货 膨 胀 。 三、阈值原则 在 使 用 最 大 隶 属 度 原 则 进 行 识 别 中 ， 还 会 出 现 以 下 两 种 情 况 ，其 一 是

有时待识别对象x关于模糊集A13A2…An中每一个隶属程度都相对较低 这时说明模糊集合A,A2…An对元素x不能识别:其二是有时待识别对象x 关于模糊集A1,A2…A中若干个的隶属程度都相对较高,这时还可以缩小x 的识别范围,关于这两种情况有如下阈值原则 阂值原则:A1,A4…An∈F(U)是n个标准类型,x0∈U,d∈(0,为一阈 值(置信水平)令a=mx({41(x)1≤k≤n 若a<d则不能识别,应查找原因另作分析 若a≥d且有A1(x)2d,A2(x)≥d…4,(x)2d则判决x相对地属 于A1∩42∩…4 例2三角形识别问题 我们把三角形分成等腰三角形I,直角三角形R,正三角形E,非典型 三角形T,这四个标准类型,取定论域 X={xx=(A,BC,A+B+C=180,A≥B≥C 这里A,B,C是三角形三个内角的度数,通过分析建立这四类三角形的 隶属函数为: I(x)=1-[(A-B)A(B-C】州 R(x)=1-1 E(x)=1180(A-C) 7(x)=mn3(A-B)3(B-C,A-C2|4-90 现给定,x=(A,B,C)=(85,50,45),x0对上述四个标准类型的隶属度 (x0)=0.916R(x0)=0.94E(x)=0.7T(x0)=006 由于x关于Ⅰ,R的隶属程度都相对高,故采用阈值原则,取d=0.8 因I(x)=0.916≥0.8,R(x)=0.94≥0.8,按阈值原则,x相对属于∩R 即x可识别为等腰直角三角形

有 时 待 识 别 对 象 0 x 关 于 模 糊 集 A1 A2 An , 中 每 一 个 隶 属 程 度 都 相 对 较 低 ， 这 时 说 明 模 糊 集 合 A1 A2 An , 对 元 素 x 不 能 识 别 ；其 二 是 有 时 待 识 别 对 象 x 关 于 模 糊 集 A1 A2 An , 中 若 干 个 的 隶 属 程 度 都 相 对 较 高 ，这 时 还 可 以 缩 小 x 的 识 别 范 围 ， 关 于 这 两 种 情 况 有 如 下 阈 值 原 则 。 阈值原则： , ( ) A1 A2 An  F U 是 n 个标准类型， , (0,1] x0 U d  为一阈 值 （ 置 信 水 平 ） 令  = max Ak (x0 ) 1 k  n  若   d 则 不 能 识 别 ， 应 查 找 原 因 另 作 分 析 。 若  d 且 有 Ai (x0 )  d 1 ， Ai (x0 )  d 2 … A x d im ( 0 )  则 判 决 0 x 相 对 地 属 于 i i im A  A A 1 2 例 2 三角形识别问题 我 们 把 三 角 形 分 成 等 腰 三 角 形 I ,直 角 三 角 形 R , 正三角形 E , 非典型 三角形 T , 这 四 个 标 准 类 型 ,取 定 论 域 X =  x x = (A,B,C), A+ B +C =180, A  B  C  这 里 A, B,C 是 三 角 形 三 个 内 角 的 度 数 ，通 过 分 析 建 立 这 四 类 三 角 形 的 隶属函数为： [( ) ( )] 60 1 I(x) = 1− A − B  B − C ( 2 1 An (x)= 90 90 1 R(x) = 1− A − ( ) 180 1 E(x) = 1− A − C min[ 3( ),3( ), ,2 90 ] 180 1 T(x) = A − B B − C A − C A − 现 给 定 ， ( , , ) (85, 50, 45) x0 = A B C = ， 0 x 对 上 述 四 个 标 准 类 型 的 隶 属 度 为 ： I(x0 ) = 0.916 R(x0 ) = 0.94 E(x0 ) = 0.7 T(x0 ) = 0.06 由 于 0 x 关 于 I , R 的 隶 属 程 度 都 相 对 高 ， 故 采 用 阈 值 原 则 ， 取 d = 0.8 ， 因 I(x0 ) = 0.916  0.8， R(x0 ) = 0.94  0.8 ， 按 阈 值 原 则 ， 0 x 相对属于 I ∩ R , 即 0 x 可 识 别 为 等 腰 直 角 三 角 形