(1)若(10)有k个不同的实根,则(9)有通解: xn=CM +C2 (2)若(10)有m重根λ,则通解中有构成项: (c1+c2n+…+cnm) (3)若(10)有一对单复根=a±iB,令:A=p= p=a2+B2,o=arcn,则(9)的通解中有构成项: (4)若有m重复根:=a±iB,A=P,则(9)的通项中有构成 项 (C,+C2n+.+cm n")p"cos n+(cm+l +Cm2 n+.+C2m n" P"sin n 综上所述,由于方程(10)恰有k个根,从而构成方程 (9)的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为:xn 如果能得到方程(8)的一个特解:x,则(8)必有通解: x=x +x 8)的特解可通过待定系数法来确定 例如:如果b(n)=b"pn(m),pn(n)为n的多项式,则当b不是特征根 时,可设成形如b"qn(n)形式的特解,其中qn(n)为m次多项式;如果b 是r重根时,可设特解:b"nqn(m),将其代入(8)中确定出系数即 可 2、差分方程的z变换解法 对差分方程两边关于x取Z变换,利用xn的Z变换F(z)来 表示出x的Z变换,然后通过解代数方程求出F(z),并把F(z) 在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数,其系数就是所要求的xn 例1设差分方程xn2+3x+2xn=0,x=0,x1=1,求xn 解:解法1:特征方程为2+3+2=0,有根:1=-12 故:xn=c(-1)+c2(-2)为方程的解。 由条件x0=0.x=1得:xn=(-1)”-(-2) 解法2:设F(z)=Z(xn)方程两边取变换可得
6 （1） 若（10）有 k 个不同的实根，则（9）有通解： n k k n n n x = c11 + c22 +...+ c ， （2） 若（10）有 m 重根 ，则通解中有构成项： m n (c c n ... cm n ) 1 1 2 − − − − + + + （3）若（10）有一对单复根 = i ，令： i e = ， , arctan 2 2 = + = ，则（9）的通解中有构成项： c n c n n n 1 cos 2 sin − − + （4）若有 m 重复根： = i ， i e = ，则（9）的通项中有构成 项： c c n c n n c c n c n n m n m m m m n ( ... m ) cos ( ... ) sin 1 1 2 2 1 1 2 − − − + + − − − + + + + + + + 综上所述，由于方程（10）恰有 k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有 k 个独立的任意常数。通解可记为： − n x 如果能得到方程（8）的一个特解： * n x ，则（8）必有通解： xn = − n x + * n x （11） （8） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果 b(n) b p (n), p (n) m m n = 为 n 的多项式，则当 b 不是特征根 时，可设成形如 b q (n) m n 形式的特解，其中 q (n) m 为 m 次多项式；如果 b 是 r 重根时，可设特解： n r b n q (n) m ，将其代入（8）中确定出系数即 可。 2、差分方程的 z 变换解法 对差分方程两边关于 n x 取 Z 变换，利用 n x 的 Z 变换 F（z）来 表示出 n k x + 的 Z 变换，然后通过解代数方程求出 F（z），并把 F(z) 在 z=0 的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的 n x 例1 设差分方程 xn+2 + 3xn+1 + 2xn = 0, x0 = 0, x1 =1 ，求 n x 解：解法 1：特征方程为 3 2 0 2 + + = ，有根： 1 = −1,2 = −2 故： n n n x c ( 1) c ( 2) = 1 − + 2 − 为方程的解。 由条件 x0 = 0, x1 = 1 得： n n n x = (−1) − (−2) 解法 2：设 F（z）=Z( n x ),方程两边取变换可得：
2(F(z)-x0-x1-)+3(F(x)-x0)+2F(z)=0 由条件xn=0,x1=1得F()=+32+2 由F(z)在|>2中解析,有 F(=)=z( z+12+2 ∑(-1)2x-2(-1)2=∑(-1)(1-2)x k=0 所以,x 3、二阶线性差分方程组 设=(n)=(-),A=(),形成向量方程组 二(n+1)=A=(m) (12) 则 (n+1)=A"=(1) (13) (13)即为(12)的解 为了具体求出解(13),需要求出A",这可以用高等代数的方法 计算。常用的方法有: (1)如果A为正规矩阵,则A必可相似于对角矩阵,对角线上 的元素就是A的特征值,相似变换矩阵由A的特征向量构成: A=pAy,A=pA"p,∴=(n+1)=(pAp)(1)。 (2)将A分解成A=5n1,5,n为列向量,则有 A=(5m)”=5m5n1.5n=(2mn).A 从而,z(n+1)=A"=()=(m)-1A(1) (3)或者将A相似于约旦标准形的形式,通过讨论A的特征值的性态,找 出A的内在构造规律,进而分析解z(m)的变化规律,获得它的 基本性质 、关于差分方程稳定性的几个结果 (1)k阶常系数线性差分方程(8)的解稳定的充分必要条件是 它对应的特征方程(10)所有的特征根1,1=12.k满足风|<1 (2)一阶非线性差分方程 (14) (14)的平衡点x由方程x=f(x)决定
7 ) 3 ( ( ) ) 2 ( ) 0 1 ( ( ) . 0 1 0 2 − − + z F z −x + F z = z z F z x x 由条件 x0 = 0, x1 = 1 得 3 2 ( ) 2 + + = z z z F z 由 F（z）在 z 2 中解析，有 = = − = = − − − = − − + − + = + − + = 0 0 0 ( 1) (1 2 ) 2 ( 1) 1 ( 1) 2 1 1 1 1 1 ) 2 1 1 1 ( ) ( k k k k k k k k k k z z z z z z z F z z 所以， n n n x = (−1) − (−2) 3、二阶线性差分方程组 设 z(n) = ( ) n y x n ， ( ) c d a b A = ，形成向量方程组 z(n +1) = Az(n) （12） 则 z(n 1) A z(1) n + = （13） （13）即为（12）的解。 为了具体求出解（13），需要求出 n A ，这可以用高等代数的方法 计算。常用的方法有： （1）如果 A 为正规矩阵，则 A 必可相似于对角矩阵，对角线上 的元素就是 A 的特征值，相似变换矩阵由 A 的特征向量构成： , , ( 1) ( ) (1) 1 1 1 A p p A p p z n p p z n n n = = + = − − − 。 （2）将 A 分解成 ,, /, A = 为列向量，则有 A A n n n ( . ) . . . ... . ( ) . / /. / / −1 = = = 从而， ( 1) (1) ( ) . (1) / 1 z n A z Az n n− + = = （3） 或者将 A 相似于约旦标准形的形式，通过讨论 A 的特征值的性态，找 出 n A 的内在构造规律，进而分析解 z(n) 的变化规律，获得它的 基本性质。 4、关于差分方程稳定性的几个结果 （1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是 它对应的特征方程（10）所有的特征根 i k i , =1,2... 满足 i 1 （2）一阶非线性差分方程 ( ) n 1 n x = f x + （14） （14）的平衡点 − x 由方程 ( ) − − x = f x 决定
将f(x)在点x处展开为泰勒形式: f(x,=f(xXx-x)+f(x) (15) 故有:f(x)<1时,(14)的解x是稳定的, (x)>1时,方程(14)的平衡点x是不稳定的 第三节差分方程建模举例 差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致 的,也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的 数值表示(变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等) 概念和记号、几何形式(事物形状、过程轨迹、坐标系统 等),也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学 概念、原理、方法来表现、分析、求解。当然,由于差分方程 的特殊性,首先应当把系统或过程进行特别分解,形成表现整 个系统的各个部分的离散取值形式,或形成变化运动过程的时 间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析, 找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律,从而 得到差分方程。另外,有时有可能通过多个离散变量的关系得 到我们关心的变量的关系,这实际上建立的是离散向量方程, 它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条 件。有时还需要将问题适当分成几个子部分,分别求解。 模型1种群生态学中的虫口模型: 在种群生态学中,考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变 化,他的变化规律是:每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死 亡,第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表 现虫子数目的变化规律 模型假设与模型建立:假设第n年的虫口数目为P,每年 一个成虫平均产卵c个(这个假设有点粗糙,应当考虑更具体 的产卵分布状况),则有:P1=cP,这是一种简单模型 如果进一步分析,由于成虫之间会有争斗以及传染病、天 敌等的威胁,第n+1年的成虫数会减少,如果考虑减少的主要
8 将 ( ) n f x 在点 − x 处展开为泰勒形式： ( ) ( )( ) ( ) / − − − f x = f x x − x + f x n n （15） 故有： ( ) 1 / − f x 时，（14）的解 − x 是稳定的， ( ) 1 / − f x 时，方程（14）的平衡点 − x 是不稳定的。 第三节 差分方程建模举例 差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致 的，也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的 数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等） 概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统 等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学 概念、原理、方法来表现、分析、求解。当然，由于差分方程 的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整 个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时 间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析， 找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而 得到差分方程。另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得 到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程， 它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条 件。有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。 模型 1 种群生态学中的虫口模型： 在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变 化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死 亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表 现虫子数目的变化规律。 模型假设与模型建立：假设第 n 年的虫口数目为 Pn ，每年 一个成虫平均产卵 c 个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体 的产卵分布状况），则有： n n P +1 = cP ，这是一种简单模型； 如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天 敌等的威胁，第 n+1 年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要