§3生产设备的最大经济效益 某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度 愈来愈大,因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小;另一方面生产设备总是要进行 日常保养,花费一定的保养费,保养可以减缓设备的磨损程度,提高设备的转卖价。那么, 怎样确定最优保养费和设备转卖时间,才能使这台设备的经济效益最大。 3.1问题分析与假设 (i)设备的转卖价是时间t的函数,记为x(t),x(1)的大小与设备的磨损程度和保养 费的多少密切相关。记初始转卖价x(O)=x (ⅱi)设备随其运行时间的推移,磨损程度越来越大。t时刻设备的磨损程度可以用t时 刻转卖价的损失值来刻划,常称其为磨损函数或废弃函数,记为m(t) (ⅲi)保养设备可以减缓设备的磨损速度,提高转卖价。如果u(1)是单位时间的保养费, g(1)是t时刻的保养效益系数(每用一元保养费所增加的转卖价),那么单位时间的保养效 益为g(t)u(t)。另外,保养费不能过大(如单位时间保养费超过单位时间产值时,保养失去 了意义),只能在有界函数集中选取,记有界函数集为W,则l(1)∈W (iv)设单位时间的产值与转卖价的比值记为p,则px()表示在t时刻单位时间的产 值,即t时刻的生产率。 (ⅴ)转卖价x(t)及单位时间的保养费u(t)都是时间t的连续可微函数。为了统一标准 采用它们的贴现值。对于贴现值的计算,例如转卖价x(1)的贴现值计算,如果它的贴现因 子为δ(经过单位时间的单位费用贴现),那么由 dx(1) a(t1) x(1)=1 解得 x(1)=e-6(-h) 令1=0,便得时刻单位费用的贴现(称贴现系数)为e“,所以设备在t时刻转卖价x(1) 的贴现为x(1)e。仿此计算,u(1)的贴现为()e-a,单位时间产值的贴现为px()e (v)欲确定的转卖时间t和转卖价x()都是自由的 3.2模型构造 根据以上的分析与假设可知:考察的对象是设备在生产中的磨损一保养系统:转卖价体
1 §3 生产设备的最大经济效益 某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度 愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行 日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。那么， 怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。 3.1 问题分析与假设 （i）设备的转卖价是时间 t 的函数，记为 x(t) ， x(t) 的大小与设备的磨损程度和保养 费的多少密切相关。记初始转卖价 0 x(0) = x 。 （ii）设备随其运行时间的推移，磨损程度越来越大。 t 时刻设备的磨损程度可以用 t 时 刻转卖价的损失值来刻划，常称其为磨损函数或废弃函数，记为 m(t) 。 （iii）保养设备可以减缓设备的磨损速度，提高转卖价。如果 u(t) 是单位时间的保养费， g(t) 是 t 时刻的保养效益系数（每用一元保养费所增加的转卖价），那么单位时间的保养效 益为 g(t)u(t) 。另外，保养费不能过大（如单位时间保养费超过单位时间产值时，保养失去 了意义），只能在有界函数集中选取，记有界函数集为 W ，则 u(t)W 。 （iv）设单位时间的产值与转卖价的比值记为 p ，则 px(t) 表示在 t 时刻单位时间的产 值，即 t 时刻的生产率。 （v）转卖价 x(t) 及单位时间的保养费 u(t) 都是时间 t 的连续可微函数。为了统一标准， 采用它们的贴现值。对于贴现值的计算，例如转卖价 x(t) 的贴现值计算，如果它的贴现因 子为 （经过单位时间的单位费用贴现），那么由 = = ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 1 x t x t dt dx t 解得 ( ) 1 1 ( ) t t x t e − − = 令 t 1 = 0 ，便得 t 时刻单位费用的贴现（称贴现系数）为 t e − ，所以设备在 t 时刻转卖价 x(t) 的贴现为 t x t e − ( ) 。仿此计算， u(t) 的贴现为 t u t e − ( ) ，单位时间产值的贴现为 t px t e − ( ) 。 （vi）欲确定的转卖时间 f t 和转卖价 ( ) f x t 都是自由的。 3.2 模型构造 根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损—保养系统；转卖价体
现了磨损和保养的综合指标,可以选作系统的状态变量:;在生产中设备磨损的不可控性强, 其微弱的可控性也是通过保养体现,加之保养本身具有较强的可控性,所以选单位时间的保 养费u(t)作为控制策略。这样,生产设备的最大经济效益模型可以构成为在设备磨损一保 养系统的(转卖价)状态方程 dx(o) (21)(1) 之下,在满足0≤(1)≤U的函数集W中寻求最优控制策略u(),使系统的经济效益这 性能指标 J(u(o)=x(t, )e Ipx(r)-u(tJe (22)(2 为最大,其中1r,x()都是自由的 3.3模型求解 首先写出问题的哈密顿函数 H=[px(1)-l()le+[-m()+g(D)m() 再由协态方程及边界条件求出A(1),即由 da(o) H 解得 P ()=(1-2)e P 下面利用最大值原理求u()。先将(3)式改变为 H=px()e-am()+[2g(1)-e(t) 显然,H是对的线性函数,因此得到 0 0 2g(1)-e<0 或 PJe-d/+Pe-dlg(-ed>0 P、-a,,P 在上式中,还需解决两个问题:一是u(1)=U与()=0的转换点t,在什么位置,即
2 现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可控性强， 其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选单位时间的保 养费 u(t) 作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成为在设备磨损—保 养系统的（转卖价）状态方程 = = − + 0 (0) ( ) ( ) ( ) ( ) x x m t g t u t dt dx t （21）(1) 之下，在满足 0 u(t) U 的函数集 W 中寻求最优控制策略 ( ) * u t ，使系统的经济效益这一 性能指标 − − = + − f f t t t J u t x t f e px t u t e dt 0 ( ( )) ( ) [ ( ) ( )] （22）(2) 为最大，其中 , ( ) f f t x t 都是自由的。 3.3 模型求解 首先写出问题的哈密顿函数 H [ px(t) u(t)]e [ m(t) g(t)m(t)] t = − + − + − （23）（3） 再由协态方程及边界条件求出 (t) ，即由 = = = − = − − − f f t f x t t x t e H pe dt d t ( ) ( ) ( ) 解得 t t e p e p t f − − ( ) = (1− ) + 下面利用最大值原理求 ( ) * u t 。先将（3）式改变为 H px(t)e m(t) [ g(t) e ]u(t) t t − − = − + − 显然， H 是对 u 的线性函数，因此得到 − − = − − 0, ( ) 0 , ( ) 0 ( ) * t t g t e U g t e u t （24）（4） 或 − + − − + − = − − − − − − 0, [(1 ) ] ( ) 0 , [(1 ) ] ( ) 0 ( ) * t t t t t t e g t e p e p e g t e p e p U u t f f （25） 在上式中，还需解决两个问题：一是 u (t) =U * 与 ( ) 0 * u t = 的转换点 s t 在什么位置，即
t,等于多少?二是'(1)是由U到0,还是由0到U 转换点L应满足 -2)e+2e-alg()-e→=0 1P-(P-1l21g()-1=0 (26)(6) 从而可解出 因为g(1)是时间t的减函数,所以(6)式的左端也是时间t的减函数,也就是说n'(t) 随时间应由U到0。于是最优控制策略的具体表达式为 0≤1<t ul t s <Ist, 至于1r,x(t)的求法,请见下面的例子 在生产设备的最大经济效益的问题中,设x(0)=100,U=1,m(t)=2,p=0.1, =005,g(1)= x,试求1,x(7)和(1) 由(6)式可得求1的公式 (1+1)2=4-2e004-) (27)(7) 当t<t,时,u(D)=U=1,状态方程为 dx dt (1+D) 当1>时,u()=0,状态方程为 于是t>t,时,有 d=[ ldt +(-2)dt (1+1)2 解得
3 s t 等于多少？二是 ( ) * u t 是由 U 到 0 ，还是由 0 到 U 。 转换点 s t 应满足 [(1− ) + ] ( ) − = 0 − − t − t t e g t e p e p f 即 [ ( 1) ] ( ) 1 0 ( ) − − − = − e g t p p f t t （26）（6） 从而可解出 s t 。 因为 g(t) 是时间 t 的减函数，所以（6）式的左端也是时间 t 的减函数，也就是说 ( ) * u t 随时间应由 U 到 0。于是最优控制策略的具体表达式为 = s f s t t t U t t u 0, , 0 * 至于 f t ， ( ) f x t 的求法，请见下面的例子。 在生产设备的最大经济效益的问题中，设 x(0) = 100 ，U =1，m(t) = 2 ， p = 0.1， = 0.05， 2 1 (1 ) 2 ( ) t g t + = ，试求 f t ， ( ) f x t 和 ( ) * u t 。 由（6）式可得求 s t 的公式 0.05( ) 2 1 (1 ) 4 2 s f t t s t e − + = − （27）（7） 当 s t t 时， ( ) 1 * u t =U = ，状态方程为 2 1 (1 ) 2 2 t dt dx + = − + 当 s t t 时， ( ) 0 * u t = ，状态方程为 = −2 dt dx 于是 s t t 时，有 + − + = − + t t t t s s dt dt t dt dt dx 0 0 2 1 ] ( 2) (1 ) 2 [ 2 解得
x()=4(1+t)2+96-2t (28)(8) 由自由边界条件H(=9,及(t)=c,得 -px()2+2e-=-8x(t) 于是 2 x(t,) 当【=t时,由(8)式有 t=2(1+1)2+28 (29)(9) 将(7)和(9)联立求解,编写如下 Matlab程序 x,y]= solve('(1+ts)^(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf))’,'tf=2*(1+ts)^(1/ 2)+28) 求得 10.6 34 于是,最优控制策略(保养费)为 0≤t<106 0,10.6<t≤348 题 1.求自原点(00)到直线x+y-1=0的最速降线 2.求概率密度函数q(x),使得信息量 J=-Lp(x)n[vo(x)dr 取最大值,且满足等周条件 o(x)k=1,xox)dk=a2(常数) 3.在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件,如滚珠、轴承、电器元件等会突然发 生故障或损坏,即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行 定时期后,就对尚属正常的零件做预防性更换,以避免一旦发生故障带来的损失, 从经济上看是否更为合算?如果合算,做这种预防性更换的时间如何确定呢 4.设有一盛放液体的连续搅拌槽,如图所示,槽内装有不停地转动着的搅拌器,使槽
4 x t t t ( ) 4(1 s ) 96 2 2 1 = + + − （28）（8） 由自由边界条件 f f H t=t = −t 及 f t f t e − ( ) = ，得 ( ) 2 ( )f t t t f px t e e e x t f f f − − − − + = − 于是 40 2 ( ) = − = p x t f 当 f t = t 时，由（8）式有 s f 40 4(1 t ) 96 2t 2 1 = + + − 即 2(1 ) 28 2 1 t f = + t s + （29）（9） 将（7）和（9）联立求解，编写如下 Matlab 程序 [x,y]=solve('(1+ts)^(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf))','tf=2*(1+ts)^(1/ 2)+28') 求得 t s = 10.6，t f = 34.8 于是，最优控制策略（保养费）为 = 0, 10.6 34.8 1, 0 10.6 ( ) * t t u t 习 题 1. 求自原点（0,0）到直线 x + y −1 = 0 的最速降线。 2. 求概率密度函数 (x) ，使得信息量 + − J = − (x)ln[(x)]dx 取最大值，且满足等周条件 ( ) = 1 + − x dx ， 2 2 ( ) = + − x x dx （常数）。 3. 在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突然发 生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行 一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失， 从经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？ 4. 设有一盛放液体的连续搅拌槽，如图所示，槽内装有不停地转动着的搅拌器，使槽
内液体处于完全的混合状态。槽中原来盛放有0℃的某种液体,现在需要将其温度 在给定的一段时间tr内升高到某一给定的温度T℃C。为此,在入口处流入一定量的 液体,温度为(0),而在出口处流出等量的液体,以便保持糟内液面恒定。试给出 如下问题的数学模型:确定流入槽内液体的温度u()的变化规律,使槽中原有的液 体在给定的时间内由0℃上升到给定的温度T℃,并使搅拌槽散失的热量为最少 参考文献: 1.姜启源:数学模型。高等教育出版社1993 2.谭永基,俞文鱼此:数学模型。复旦大学出版社 1997
5 内液体处于完全的混合状态。槽中原来盛放有 0℃的某种液体，现在需要将其温度 在给定的一段时间 t f 内升高到某一给定的温度 Tf℃。为此，在入口处流入一定量的 液体，温度为 u(t)，而在出口处流出等量的液体，以便保持糟内液面恒定。试给出 如下问题的数学模型：确定流入槽内液体的温度 u(t)的变化规律，使槽中原有的液 体在给定的时间内由 0℃上升到给定的温度 Tf℃ ，并使搅拌槽散失的热量为最少。 参考文献： 1．姜启源：数学模型。高等教育出版社 1993 2．谭永基,俞文鱼此：数学模型。复旦大学出版社 1997