20置信区间是不唯一的如在上例中,若取 X <0}=0.95, 可得X-0u0n,x+=0)也是的置信 度为9置信区间 3对于同一未知参数以有各种不同的置偌间 显然置信度相同时置信区间越短越好一般地 对于密度函数为单幃称的随机变量如正秀布 或分布取双侧分位点置信区间最短。 3-6
3 - 6 或 分 布 取双侧分位点时置信区间最短。 对于密度函数为单峰对称的随机变量如正态分 布 显然置信度相同时置信区间越短越好一般地 对于同一未知参数可以有各种不同的置信区 间 t , , , , , , 3 , , 0 度为 的置信区间。 可得 也 是 的置信 置信区间是不唯一的。如在上例中，若取 0.9 5 z ) n z ,X n (X z } 0.9 5, n X P{ z 2 0.0 1 0.0 4 0.0 4 0.0 1 0 + − = − − u0.04 u0.01 u0.01 u0.04
求置信区间的一般步骤: 1.设法构造一个随机变量Z=Z(X1,X2…,Xn;0),除 了参数θ外,Z不包含其他任何未知参数,Z的分布 已知(或可求出),并且不依赖于参数θ,也不依赖 于其他任何未知参数。 2.对于给定的置信度-a,求出a,b,使得 {a<Z(X1,X2,…,xn;6)<b} 3.由不等式<Z(X1,X2,…,Xn;0)<b解得 (X1,X2,…,Xn;a,b)<6<θ2(X1,X2,…,Xn;a,b) 这样就得到的置信区间 3-7
3 - 7 求置信区间的一般步骤: 1. 设法构造一个随机变量Z=Z(X1 , X2 , …, Xn ;),除 了参数外, Z不包含其他任何未知参数, Z的分布 已知(或可求出),并且不依赖于参数, 也不依赖 于其他任何未知参数。 = − − P{a Z(X ,X , ,X ; ) b} 1 2. 1 , a,b, 1 2 n 对于给定的置信度 求 出 使 得 . (X ,X , ,X ;a,b) ˆ (X ,X , ,X ;a,b) ˆ 3. a Z(X ,X , ,X ; ) b 1 1 2 n 2 1 2 n 1 2 n 这样就得到了的置信区间 由不等式 解 得
3.2单参数分布族的置信区间 设总体X~N(μ,J2),X1,X2,…,X,是一个样本 1当2已知时,求的置信区间 选耶UX一,由例可得的置信度为-a的 置信区间:(X±-r4a2) 例2.有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量如下: 506508499503504510497512 514505493496506502509496 设袋装糖果的重量近似地服从N(,6)分布,试 求:总体均值的置信度为0.95的置信区间。 3-8
3 - 8 3.2 单参数分布族的置信区间 X ~ N( , ), X , X , X . 1 2 设总体 2 , n 是一个样本 例2. 有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量如下： 设袋装糖果的重量近似地服从 分布，试 求：总体均值μ的置信度为 0.95 的置信区间。 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 ( , 6 ) 2 N z ) . n (X 1 1 n X Z 1. / 2 2 − − = 置信区间： 选 取 ，由例可 得 的置信度为 的 当 已知时，求的置信区间。 U u 2
的1-a置信区间为X±=na2=5035±:×1.96 n 16 2.求2的置信区间: 考虑z(n-D2 ∝2-,由定理131知z~x2(n-1),不依赖 于任何未知参数。对给定的置信度1-c,注意到 ∫(n-D)s 2 1)S x,1-a2(n-1) 2 1-P(n-1)s2 >X 0 x1-a/2(-1)xa/2(n-1) 3-9
3 - 9 2 ( 1) ( 1) 1 , 1.3.1 ~ ( 1) , ( 1) 2. 2 2 , 2 2 2 2 2 2 = − − − − − = n n S P Z n n S Z 于任何未知参数。对于给定的置信度 ，注意到 考 虑 由定理 知 不依赖 求 的置信区间： = − 1.96 16 6 1 2 503.75 u n 的 置信区间为 X 2 ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) 2 2 , 1 2 2 2 2 , 1 2 2 = − − = − − − − − n n S P n n S P ( 1) 2 / 2 − ( 1) n 2 1 / 2 − − n 2 2