建的工程字防 列式 Archtechral Engneering Deoartment 证当a位于第一行第一列时, D= 21 n 12 n 即有D=a1M1·(根据P14例1的结论块形行列式)) 又A1=(-1)M1=M1, 从而D=a141 难证明的是一般情形. 55行列式按行(列展开 5 February2021合6
6 © 2009, Henan Polytechnic University §5 行列式按行(列)展开 6 第一章 行列式 5 February 2021 证 当 ij 位于第一行第一列时, a n n nn n a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 0 0 = 即有 . D = a11M11 又 ( ) 11 1 1 A11 1 M + = − , = M11 从而 . D = a11A11 难证明的是一般情形. （根据P.14例10的结论(块形行列式））
建的工程字防 列式 ArchitectuaL ring Department 我们以4阶行列式为例 12 3 14 13 12l,n 000 (-1) 000 000 34 000 34 152 11 12 13 14 12 13 14 22 23 24 2 23 24 42 44 42 43 44 思考题:能否以(替上述两次行变?2dA电 55行列式按行(列展开 5 February2021合7
7 © 2009, Henan Polytechnic University §5 行列式按行(列)展开 7 第一章 行列式 5 February 2021 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 44 34 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a 我们以4阶行列式为例. 2 3 34 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 44 0 0 0 ( 1) r r a a a a a a a a a a a a a = − 1 2 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 3 44 4 2 0 0 0 ( 1) r r a a a a a a a a a a a a a = − 思考题：能否以r r 1 3 代替上述两次行变换？ 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 4 34 (3 1 4 ) 0 0 0 ( 1) a a a a a a a a a a a a a − = −
建的工程学 第一章行列式 Architectural Engneering De C3 Cfc a13a142 (-1)3(-1)3 12 43 41 42 000 a4被调换到第行,第列 (-1)3(-1) 4-1)14 12 13 11 12E 13 --0-9 aa 42 2 (-)a34 a2a2|=(-1)“an,M 4-34 343 a mel 43 55行列式按行(展 5 February2021合8
8 © 2009, Henan Polytechnic University §5 行列式按行(列)展开 8 第一章 行列式 5 February 2021 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 4 34 (3 1 4 ) 0 0 0 ( 1) a a a a a a a a a a a a a − = − 3 4 2 3 1 2 14 11 12 13 24 21 22 23 44 4 34 (3 1) 3 3 1 42 4 0 0 0 ( 1) ( 1) c c c c c c a a a a a a a a a a a a a − = − − 14 11 12 34 (3 1) 13 24 21 22 23 44 41 42 43 (4 1) 0 0 0 ( 1) ( 1) a a a a a a a a a a a a a − − = − − 342 ( 1) + − = − 3 4 34 ( 1) a + = − 34 34 = a A a34 被调换到第1行，第1列 11 12 13 21 22 23 41 42 43 34 a a a a a a a a a a M34 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 44 34 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a
建的工程字防 列式 思考题:能否以r<替上述两次行变换? 000 =(-1) 13 13 000 22, 43 42 答:不能 55行列式按行(列展开 5 February2021合9
9 © 2009, Henan Polytechnic University §5 行列式按行(列)展开 9 第一章 行列式 5 February 2021 2 3 1 2 34 2 34 41 42 43 44 41 42 43 44 11 12 1 21 22 23 3 14 24 11 12 13 14 21 22 23 24 0 0 0 ( 1) 0 0 0 r r r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − 思考题：能否以 代替上述两次行变换？ 1 3 34 34 41 11 12 1 42 3 14 11 1 43 44 41 4 21 22 23 24 21 22 23 2 2 13 2 3 4 1 4 4 4 4 0 0 0 ( 1) 0 0 0 r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − 答：不能. 1 3 r r
建的工程字 列式 一般情形证明:a1 In D=0 n 把D的第i行依次与第i-1行,第i-2行,第1行对调, 得D=(-1yaut n 55行列式按行(列展开 5 February20214合10
10 © 2009, Henan Polytechnic University §5 行列式按行(列)展开 10 第一章 行列式 5 February 2021 n nj nn ij j n a a a a a a a D 1 11 1 1 = 0 0 把D的第i行依次与第i −1行,第i − 2行,第1行对调, 得 ( ) n nj nn i i j i n ij i a a a a a a a D 1 1,1 1, 1, 1 0 0 1 − − − − = − ij a aij 一般情形证明: