注1记号lmf(x)=∞并不是表明函数x)当x→x x→0 (x->∞)时极限存在,而仅是为了表明函数f(x)当自变量 在变化的过程中,有确定的变化趋势; 2无穷大(∞)不是一个数
注 1.记号 并不是表明函数f(x)当x→x0 (x→∞)时极限存在，而仅是为了表明函数f(x)当自变量 在变化的过程中，有确定的变化趋势； 2.无穷大(∞)不是一个数． lim ( ) x f x →∞ = ∞
例2证明lim-1=∞,即函数(x)=1当x→1时 x→1 x 为无穷大 证VMED,要使>M,即x-1<故取 X M 当0<xx0<6=,有 M M y 即:lim x少1x-1
例2 证明 ，即函数 当 x → 1 时 为无穷大． 1 1 li m x → x 1 = ∞ − 1 ( ) 1 f x x = − 证 ∀ M>0，要使 ，即 故取 1 , 1 M x > − 1 x 1 , M − < 1 M δ = 当0<| x -x 0|< ，有 1 M δ = 1 , 1 M x > − 即： 1 1 li m . x → x 1 = ∞ − x y o 1 1 1 y x = −
4定理2在自变量的某一个变化过程中,如果八x)为无穷 大,则为无穷小;反之,如果fx)为无穷小,且 fx)=0,则一、为无穷大 f(x) 证设imf(x)=∞,VE>0,由无穷大的定义 x->X0 彐8>0,当0<xx08时,有 f(x)>=M, 即 <￡ (x)
定理2 在自变量的某一个变化过程中，如果 f(x )为无穷 大，则 为无穷小；反之，如果f(x )为无穷小，且 1 f x( ) f(x ) ≠0, 则 为无穷大． 1 f x( ) 证 设 ，∀ε>0，由无穷大的定义， ∃δ>0，当0<| x -x 0|< δ时，有 0 li m ( ) x x f x → = ∞ 1 f ( ) x M , ε > = 即， 1 , f x( ) < ε
即,im x→>x0f(x) 反之,设limf(x)=0,则由无穷小的定义,对E x→ M 彐8>0,当0<x<8时,有 f(x<e 因当0-x-x0<8时,fx)0,从而 f(x)M 即,limf(x)=0 x→ Xo
即， 0 1 lim 0. ( ) x x → f x = 反之，设 则由无穷小的定义，对 ∃δ>0, 当0<|x-x0|<δ时，有 0 lim ( ) 0, x x f x → = 1 M ε = 1 f x( ) , M < = ε 因当0<|x-x0|<δ时，f(x)≠0，从而 1 1 , f x( ) M> 即， 0 lim ( ) 0. x x f x → =
4类似,可证limf(x)=0的情形 x→>x0
类似，可证 的情形． 0 lim ( ) 0 x x f x → =