正交化 QR分解 矩阵M正交的几何意义 如果MM2=01≠/且M·M=1则矩阵M正交 维向量的几何意义 M M 非正交 正交 SMA-HPC C2003 MIT
QR分解 SMA-HPC ©2003 MIT 正交化 矩阵M正交的几何意义 如果 0 Mi j • M ij = ≠ G G 且 1 M M j j • = G G 二维向量的几何意义 则矩阵M正交 非正交 正交
正交化 QR分解 QR法的基本思想 VI 个个…↑ M 原始矩阵 带有正交列向量的矩阵 Qy=b→y=Qb 怎么来完成这一步变换? SMA-HPC C2003 MIT
QR分解 SMA-HPC ©2003 MIT 正交化 QR法的基本思想 原始矩阵 带有正交列向量的矩阵 T Qy b y Q b =⇒ = 怎么来完成这一步变换？
正交化 QR分解 推导公式 给出M,M2,求Q2=M2-2M满足 M,·O,=M1 M)=0 ● 即必有 M M SMA-HPC C2003 MIT
QR分解 SMA-HPC ©2003 MIT 正交化 推导公式 给出 1 2 M , M G G ，求Q M rM 2 2 12 1 = − G G 满足 M Q M M rM 1 2 1 2 12 1 • =• − = ( ) 0 G GG G G 即必有 1 2 12 1 1 M M r M M • = • G G G G
正交化 QR分解 标准化 如果我们将向量标准化,公式将会变得简单,因此我们先来将向量Q1标准化: M1=-M1→Q·Q=1 现在要求Q2=M2-121以便满足Q2·Q=0 得:F12 最后求得:Q SMA-HPC C2003 MIT
QR分解 SMA-HPC ©2003 MIT 正交化 标准化 如果我们将向量标准化，公式将会变得简单，因此我们先来将向量Q1标准化： 1 1 1 11 11 1 1 1 1 Q M M QQ 1 M M r = = ⇒•= • G GG G G G G 现在要求 Q M rQ 2 2 12 1 = − G G G 以便满足 2 1 Q Q• = 0 G G 得： 12 1 2 r QM = • G G 最后求得： 2 22 22 2 2 1 1 Q QQ r Q Q = = • G GG G G
正交化 QR分解 2*2矩阵的变化过程 既然Mx等于Qy,那么我们可以找到x与y之间得关系。 =xM1+x2M2=22=yg+y2 x2 M1=n1QM2=2Q2+29 nxv x2[y2 SMA-HPC C2003 MIT
QR分解 SMA-HPC ©2003 MIT 正交化 2*2矩阵的变化过程 既然Mx等于Qy，那么我们可以找到x与y之间得关系