《高等数学》课程教学资源：第八章 多元函数微分法及其应用

f2(00)=lim f(0+△x,0)-f(0,0) 同样有 f,(0.0)=im f(0,0+△y)-f(0,0 但是我们在第一节中已经知道这函数在点(0,0)并不连续。 高阶偏导数 设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数 f(x,y) 0E=f、(x 那么在D内Jx(x,y)、J(x,y)都是x,y的函数。如果这两个函数的偏导数也存在,则 称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导 a(aza a(az a ax ax) ax2 f(x,y) f(x, y) ay( ax axd a ax 其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数。二阶及二 阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。 例5设z=x3y2-3xy3-xy+1,求 a202z Ova a a 2x3-18 andy a3 6

0 (0 ,0) (0,0) (0,0) lim 0 =  +  − =  → x f x f f x x 同样有 0 (0,0 ) (0,0) (0,0) lim 0 =  +  − =  → y f y f f y y 但是我们在第一节中已经知道这函数在点（0，0）并不连续。 二、 高阶偏导数 设函数 z = f (x, y) 在区域 D 内具有偏导数 f (x, y) x z = x   , f (x, y) y z = y   , 那么在 D 内 f (x, y) x 、 f (x, y) y 都是 x，y 的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则 称它们是函数 z = f (x, y) 的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导 数：           x z x = ( , ) 2 2 f x y x z = xx   ,           x z y = ( , ) 2 f x y x y z = xy    ,             y z x = ( , ) 2 f x y y x z = yx    ,             y z y = ( , ) 2 2 f x y y z = yy   其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数。二阶及二 阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。 例 5 设 3 1 3 2 3 z = x y − xy − xy + ，求 2 2 x z   、 y x z    2 、 x y z    2 、 2 2 y z   及 3 3 x z   。 解 x z   = x y − y − y 2 2 3 3 3 , y z   = x y − xy − x 3 2 2 9 ； 2 2 x z   = 2 6xy , y x z    2 = 6 9 1 2 2 x y − y − ； x y z    2 = 6 9 1 2 2 x y − y − , 2 2 y z   = 3 2 18 x xy − ； 3 3 x z   = 6 2 y

我们看到例5中两个二阶混合偏导数相等,即 这不是偶然的。事实上 avax a 我们有下述定理。 定理如果函数x=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 例6验证函数二=h√x2+y2满足方程 O 证因为=h、x2+y2=1m(x2+y) z 所以 a2=_(x2+y2) y ty 因此 例7证明函数u 满足方程 au au au ax ay az 其中r= I ar a2u 3x ar 由于函数关于自变量的对称性,所以

我们看到例 5 中两个二阶混合偏导数相等，即 y x z    2 = x y z    2 这不是偶然的。事实上， 我们有下述定理。 定理 如果函数 z = f (x, y) 的两个二阶混合偏导数 y x z    2 及 x y z    2 在区域 D 内连续， 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。 例6 验证函数 2 2 z = ln x + y 满足方程 2 2 x z   + 2 2 y z   =0 。 证 因为 ln( ) 2 1 ln 2 2 2 2 z = x + y = x + y , 所以 x z   = 2 2 x y x + , y z   = 2 2 x y y + , 2 2 x z   = 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) x y x x x y + − + = ( ) 2 2 2 2 2 x y y x + − , 2 2 y z   = 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) x y y y x y + − + = ( ) 2 2 2 2 2 x y x y + − 因此 2 2 x z   + 2 2 y z   = ( ) 2 2 2 2 2 x y y x + − + ( ) 2 2 2 2 2 x y x y + − =0. 例 7 证明函数 r u 1 = ，满足方程 2 2 x u   + 2 2 y u   + 2 2 z u   =0 , 其中 2 2 2 r = x + y + z . 证 x u   =－ 2 1 r x r   =－ 2 1 r · r x =－ 3 r x , 2 2 x u   =－ 3 1 r + 4 3 r x · x r   =－ 3 1 r + 5 2 3 r x . 由于函数关于自变量的对称性，所以 2 2 y u   =－ 3 1 r + 5 2 3 r y , 2 2 z u   =－ 3 1 r + 5 2 3 r z

因此2ua2n 3.3(x2+y2+2)3,3 例6和例7中两个方程都叫做拉普拉斯( Laplace)方程,它是数学物理方程中一种很重要 的方程 结 本节在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数(以二元函数为重点)偏 导数的定义及存在条件和求法,这是多元函数微分学的基础。 作业 作业卡p9-10

因此 2 2 x u   + 2 2 y u   + 2 2 z u   =－ 3 3 r + 5 2 2 2 3( ) r x + y + z =－ 3 3 r + 5 2 3 r r =0. 例 6 和例 7 中两个方程都叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是数学物理方程中一种很重要 的方程。 小结： 本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）偏 导数的定义及存在条件和求法，这是多元函数微分学的基础。 作业： 作业卡 p9-10

第三节全微分及其应用 教学目的:学习和掌握多元函数(以二元函数为主)全微分的定义,掌握二元函 数可微与偏导数存在之间的关系,会求多元函数的全微分。 教学重点:可微与偏导数存在之间的关系,多元函数的全微分。 教学难点:计算多元函数的全微分。 教学内容 全微分的定义 我们已经知道,二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时,因变量 相对于该自变量的变化率根据一元函数微分学中增量与微分的关系,可得 f(x+Ax,y)-f(x,y)≈f(x,y)△x f∫(x,y+△y)-f(x,y)≈f(x,y)△y 上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的偏增量,而右端分别叫做二元函数对x和对 y的偏微分 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域内有定义,并设P(x+△x,y+△y)为这邻 域内的任意一点,则称这两点的函数值之差f(x+△x,y+△y)-f(x,y)为函数在点P对应 于自变量增量Ax、△y的全增量,记作Az,即 A=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 般说来,计算全增量A比较复杂与一元函数的情形一样,我们希望用自变量的增量 △x、△y的线性函数来近似的代替函数的全增量A,从而引入如下定义 定义如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)的全增量 A=f(x+Ar,y+Ay)-f(x, y) 可表示为 A△x+BAy+o(p), 其中A、B不依4y赖于Ax、4y而仅与x、y有关,p=(△x)2+(4y)2,则称函数 二=f(x,y)在点P(x,y)可微分,而A△x+BAy称为函数=f(x,y)在点P(x,y)的全微

第 三 节 全微分及其应用 教学目的：学习和掌握多元函数（以二元函数为主）全微分的定义，掌握二元函 数可微与偏导数存在之间的关系，会求多元函数的全微分。 教学重点：可微与偏导数存在之间的关系，多元函数的全微分。 教学难点：计算多元函数的全微分。 教学内容： 一、全微分的定义 我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量 相对于该自变量的变化率根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得 f (x + x, y) − f (x, y)  fx(x, y)x ， f (x, y + y) − f (x, y)  fy(x, y)y ． 上面两式的左端分别叫做二元函数对 x 和对 y 的偏增量，而右端分别叫做二元函数对 x 和对 y 的偏微分. 设函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 的某一邻域内有定义，并设 P`(x + x, y + y) 为这邻 域内的任意一点，则称这两点的函数值之差 f (x + x, y + y) − f (x, y) 为函数在点 P 对应 于自变量增量 x 、 y 的全增量，记作 z ，即 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) （1） 一般说来，计算全增量 z 比较复杂.与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增量 x 、 y 的线性函数来近似的代替函数的全增量 z ,从而引入如下定义 定义 如果函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 的全增量 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 可表示为 z = Ax + By + o() ， （2） 其中 A 、 B 不依 y 赖于 x 、 y 而仅与 x、y 有关， 2 2 ＝ (x) + (y) ，则称函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 可微分，而 Ax + By 称为函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 的全微

分,记作d,即a=Ax+B△y 在第二节中曾指出,多元函数在某点的各个偏导数即使都存在,却不能保证函数在该点 连续。但是,由上述定义可知,如果函数=f(x,y)在点P(x,y)可微分,那末函数在该点 必定连续。事实上,这时由(2)式可得 lm△z=0, 从而 Im(x+Ax, y+ Ay)=lim[x,y)+A=]=f(, y) 因此函数二=f(x,y)在点P(x,y)处连续。 下面讨论函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分的条件 定理1(必要条件)如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分,则该函数在点P(x,y) 的偏导数 必定存在,且函数z=f(x,y)在点P(x,y)的全微分为 az 证设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分。于是,对于点P的某个邻域的任意一点 P"(x+△x,y+△y),(2)式总成立。特别当△y=0时(2)式也应成立,这时p=△x|, 所以(2)式成为 f(x+Ax,y)-f(x,y)=A.△x+o(△xD)。 上式两边各除以Ax,再令Ax→0而取极限,就得 lim f(x+△x,y)-f(x,y) △x→0 从而偏导数一存在,且等于A。同样可证=B。所以(3)式成立。证毕 我们知道,一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件。但对于多元函数来 说,情形就不同了。当函数的各偏导数都存在时,虽然能形式地写出Ax+Ay,但 它与A之差并不一定是较P高阶的无穷小,因此它不一定是函数的全微分。换句话说,各

分，记作 dz ，即 dz = Ax + By 。 在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点 连续。但是，由上述定义可知，如果函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 可微分，那末函数在该点 必定连续。事实上，这时由（2）式可得 lim 0 0  = → z  ， 从而 lim ( , ) lim [( , ) ] ( , ) 0 0 0 x x y y x y z f x y y x +  +  = +  =  →  →  →  。 因此函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 处连续。 下面讨论函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 可微分的条件。 定理 1（必要条件） 如果函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 可微分，则该函数在点 P(x, y) 的偏导数 x z   、 y z   必定存在，且函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 的全微分为 dz = x z   x + y z   y 。 （3） 证 设函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 可微分。于是，对于点 P 的某个邻域的任意一点 P'(x + x, y + y) ，（2）式总成立。特别当 y = 0 时（2）式也应成立，这时  =| x |， 所以（2）式成为 f (x + x, y) − f (x, y) = Ax + o(| x |) 。 上式两边各除以 x ，再令 x →0 而取极限，就得 lim x f x x y f x y  ( +  , ) − ( , ) = A ， 从而偏导数 x z   存在，且等于 A 。 同样可证 y z   = B 。所以（3）式成立。证毕。 我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件。但对于多元函数来 说，情形就不同了。当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出 x z   x + y z   y ，但 它与 z 之差并不一定是较  高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分。换句话说，各 △x→0