《高等数学》课程教学资源：第十章 曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分 第一节对弧长的曲线积分 教学目的:了解对弧长曲线积分的概念和性质,理解和掌握对弧长曲线积分的计 算法和应用 教学重点:弧长曲线积分的计算 教学难点:弧长曲线积分的计算 教学内容: 、对弧长曲线积分的概念与性质 1.曲线形构件质量 设一构件占xoy面内一段曲线弧L,端点为A,B,线密度p(x,y)连续 求构件质量M。 解(1)将L分割△(=12,…,n) (2)(x1,y2)∈△,△M≈p(x,y)△s (3)M≈∑p(x2y 图10-1-1 4)M=lim∑p(x,y)A=max(As,As2,…An} 2.定义L为xoy面内的一条光滑曲线弧,f(x,y)在L上有界,用M将L分成n小段AS, 任取一点(,m)∈AS(=12,3,n),作和∑f(51,AS,令 元=mx{As,As2,…,Asn},当λ→0时,lim∑f(5,)S存在,称此极限值为 f(x,y)在L上对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)记为 f(x,y)=lim∑f(5,nS 注意:(1)若曲线封闭,积分号中f(x,y)ds

第十章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计 算法和应用 教学重点：弧长曲线积分的计算 教学难点：弧长曲线积分的计算 教学内容： 一、对弧长曲线积分的概念与性质 1． 曲线形构件质量 设一构件占 xoy 面内一段曲线弧 L ，端点为 A, B ，线密度 (x, y) 连续 求构件质量 M 。 解（1）将 L 分割 i s (i =1,2,  ,n) （2） ( , ) i i  x y  i s ， Mi  i i i (x , y )s （3） ( ) i n i i i M   x y s =1  , 图 10-1-1 （4） 0 1 lim ( , ) n i i i i M x y s   → = =   max{ , , , } 1 2 n  = s s  s 2．定义 L 为 xoy 面内的一条光滑曲线弧， f (x, y) 在 L 上有界，用 Mi 将 L 分成 n 小段 i S ， 任取一点 i i  Si ( , ) (i n =1,2,3..., ) ， 作和 i n i  f i i S =1 ( , ) ，令 max{ , , , } 1 2 n  = s s  s ，当  → 0 时， 0 1 lim ( , ) n i i i i f S    → =   存在，称此极限值为 f (x, y) 在 L 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为 =  f x y ds L ( , ) 0 1 lim ( , ) n i i i i f S    → =   注意：（1）若曲线封闭，积分号  f (x, y)ds A o x y B

(2)若f(x,y)连续,则[f(x,y)存在,其结果为一常数 (3)几何意义f(x,y)=1,则」f(x,y)=L(L为弧长) (4)物理意义M=p(x,yk 5)此定义可推广到空间曲线「(x=ym∑/(5,n,AS (6)将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上 「mds 重心:x=上 转动惯量:1,=yxy),,= Jxp(x,y)ds,1=J(x2+y2)p(xy (7)若规定L的方向是由A指向B,由B指向A为负方向,但[f(x,y)k与L的方向 无关 3.对弧长曲线积分的性质 a:设L=L2+L2,则(xy)-∫(x,y+/(xy h:J[(x,y)g(x-(xy士∫8(xy) c: kf(x,yds=k f(,yds 二、对弧长曲线积分的计算 =(1) 定理设∫(x,y)在弧L上有定义且连续,L方程 y=y(1) (a≤t≤B),(1)2v(t) 在[a,月上具有一阶连续导数,且o2()+v2()≠0,则曲线积分∫f(xyk存在,且 f(x,y)x=几(,()2(o)+g2()d 说明:从定理可以看出 (1)计算时将参数式代入f(x,y),d=yp"(1)+q"(1)d,在[a,上计算定积 分 (2)注意:下限a一定要小于上限B,a<B(∵AS恒大于零,∴△12>0) (3)L:y=9(x,a≤x≤b时,∫(xyx-广x9(x小+() 同理L:x=0),cy≤d时,∫(xyb=几0y1+(d

（2）若 f (x, y) 连续，则 f x y ds L  ( , ) 存在，其结果为一常数. （3）几何意义 f (x, y) =1，则 f x y ds L  ( , ) =L（L 为弧长） （4）物理意义 M= x y ds L  ( , ) （5）此定义可推广到空间曲线 f x z y ds   ( , , ) = 0 1 lim ( , , ) n i i i i i f S     → =   （6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上 重心： M xds x L  =  ， M yds y L  =  ， M zds z L  =  。 转动惯量：  = L I x y (x, y)ds 2  ，  = L I y x (x, y)ds 2  ，  = + L I o (x y ) (x, y)ds 2 2  （7）若规定 L 的方向是由 A 指向 B，由 B 指向 A 为负方向，但 f x y ds L  ( , ) 与 L 的方向 无关 3．对弧长曲线积分的性质 a：设 L = L1 + L2 ，则 f x y ds L  ( , ) = f x y ds L  1 ( , ) + f x y ds L  2 ( , ) b： f x y g x y ds L  [ ( , )  ( , ]) = f x y ds L  ( , )  ( , ) L g x y ds  c： kf x y ds L  ( , ) = k f x y ds L  ( , ) 。 二、对弧长曲线积分的计算 定理 设 f (x, y) 在弧 L 上有定义且连续， L 方程    = = ( ) ( ) y t x t   （   t   ）， (t), (t) 在 [,] 上具有一阶连续导数，且 ( ) ( ) 0 2 2  t + t  ，则曲线积分 f x y ds L  ( , ) 存在，且 f x y ds L  ( , ) =   +  L f [ (t), (t)] (t) (t)dt 2 2     。 说明：从定理可以看出 （1） 计算时将参数式代入 f (x, y) ， ds (t) (t)dt 2 2 =  + ，在 [,] 上计算定积 分。 （2） 注意：下限  一定要小于上限  ， <  （∵ i S 恒大于零，∴ i t >0） （3） L ： y = (x), a  x  b 时， f x y ds L  ( , ) = f x x x dx b a 2 [ ,( )] 1+[( )]  同理 L ： x = ( y)，c  y  d 时， f x y ds L  ( , ) = f y y y dy d c 2 [( ), ] 1+[( )] 

(4)空间曲线P:x=p(t),y=v(1),=(t) ∫八(xy=1O.m(0N"(0)+v2(+(dh 例1计算曲线积分,其中L是第一象限内从点4(01)到点BL0)的单位圆弧 解(I)L:y=√1-x 0≤x≤1 dx=1 图10-1-2 (V)若是IⅣ象限从A(O1)到B(2 )的单位圆弧 (1) ∫D=jp+jp 图10-1-3 (2)若L:x= (2s1)d=,1+ Jwd=」9J1-y dv= (3)L:x=cost,y=snt--≤t≤ ds= v(sin ()+cos tdt =dt 帖m=mh-厂 2 例2计算 dsL:r=ab=0=所围成的边界 解L=OA+AB+BO在O4上y=0,0≤x≤ads=at

(4) 空间曲线 P ： x = (t) ， y = (t)， z =  (t) ， f x y ds P  ( , ) = f[ (t), (t), (t)] (t) (t) (t)dt 2 2 2          +  +   例 1 计算曲线积分 yds L  ，其中 L 是第一象限内从点 A(0,1) 到点 B(1,0) 的单位圆弧 解 (Ⅰ) L ： 2 y = 1− x 0  x 1 2 2 2 1 1 1 x dx dx x x ds − = − = + ∴ yds L  = 1 1 1 1 2 0 1 0 2 = = − −    dx x dx x 图 10-1-2 (Ⅱ) 若 L 是ⅠⅣ象限从 A(0,1) 到 ) 2 3 , 2 1 B'( − 的单位圆弧 （1） yds L  = y ds AB   + yds BB    = 2 1 0 2 1 1 x dx x − −   + 2 1 2 1 2 1 1 x dx x − −   =  1 0 dx +  1 2 1 dx = 2 3 图 10-1-3 (2) 若 L ： 2 x = 1− y ( 1 2 3 −  y  ) 2 2 2 1 1 1 y dy dy y y ds − = − = + yds L  = dy y y − − 1 2 3 2 1 = dy y y − − − 0 2 3 2 1 + dy y y  − 1 0 2 1 2 3 = (3) L ： x = cost ， y = sin t 3 2   −  t  ， ds = − t + tdt = dt 2 2 ( sin ) cos yds L  = − 2 3 sin   t dt = −  2 0 sin  tdt − 0 3  sin tdt 2 3 = 例 2 计算  + L x y e ds 2 2 L ： r = a  = 0 4   = 所围成的边界 解 L = OA + AB+ BO  在 OA 上 y = 0 ，0  x  a ds = dx o A y x B o x y A B B

ds= edx 在AB上 0≤b≤d=ab 图10-1-4 在OB上 s…"ad=Ce2xhk=c"-1 丌a 例3计算f√x+yL:x2+y2=a 0s6 L:r=acos(-x≤≤x y=rsn 6 x2+y2=r=acos, ds=acos)+(asin 0) de=ads f, Vr2+y ds=Eacos8-ade=asin 0/2=2a? 图10-1-5 或 0≤6≤2丌√x2+ √1+cs d0=2a y 例4xdL:y=xy=x2围成区域的整个边界 解L=O4+OA交点 y=x (00)(1,1) 2ax+[x√1+4x2tx 图10-1-6

  + OA x y e ds 2 2 = 1 0 = −  a a x e dx e 在  AB 上 r = a 4 0     ds = adx    + AB x y e ds 2 2 = =  4 0  e ad a a e a 4  图 10-1-4 在 OB 上 y = x ds = 2dx x y 2x 2 2 + =  + OB x y e ds 2 2 = 2 1 2 2 0 2 = −  a a x e xdx e ∴  + L x y e ds 2 2 = 2( −1) a e + a e a 4  例 3 计算  + L x y ds 2 2 L ： x + y = ax 2 2 解    = =   sin cos y r x r  L ： r = acos ) 2 2 (    −   cos 2 2 x + y = r = a ， ds = (a  ) + (− a  ) d = ads 2 2 cos sin ∴  + L x y ds 2 2 = −  2 2 cos   a  ad = 2 2 2 sin    − a = 2 2a 图 10-1-5 或        = = + sin . 2 cos , 2 2   a y a a x 0   2 + = 2 2 x y 1 cos 2 + a   d a a ds 2 2 sin ) 2 sin ) ( 2 = (− + = d a 2 ∴  + L x y ds 2 2 =    d a a 2 1 cos 2 2 0 +   =    2  0 2 2 cos 2 d a = 2 2a 例 4 L xds L ： y = x 2 y = x 围成区域的整个边界 解 L =  OA + OA 交点    = = 2 y x y x (0,0) (1,1) L xds = OA xds +   OA xds=  1 0 x 2dx +  + 1 0 2 x 1 4x dx 图 10-1-6 o x y B A o y x a o x y A

(√+4x2) 小结 1.对弧长曲线积分的概念和性质, 2.对弧长曲线积分的计算法和应用 作业 作业卡p30-31

= 1 0 2 2 2 x + 1 0 2 3 ( 1 4 ) 3 2 8 1  + x = 2 2 + (5 5 1) 12 1 − 小结 1.对弧长曲线积分的概念和性质， 2.对弧长曲线积分的计算法和应用 作业 作业卡 p30-31