第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 教学目的:学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念,掌握多元 函数的连续性定理,能够判断多元函数的连续性,能够求出连续函数 在连续点的极限。 教学重点:多元函数概念和极限,多元函数的连续性定理 教学难点:计算多元函数的极限。 教学内容 区域 1.邻域 设p0(x0,y0)是xoy平面上的一个点,δ是某一正数。与点P0(x0,y0)距离小于O的 点p(x,y)的全体,称为点P的δ邻域,记为U(,),即 U(P,D)={PPB|<6}, 也就是 (P。,δ)={(x,y)|√(x-xn)2+(y-y)2<o}。 在几何上,U(P0,0)就是xoy平面上以点P0(x0,y)为中心、d>0为半径的圆内部 的点P(x,y)的全体 2.区域 设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域U(P)cE, 则称P为E的内点。显然,E的内点属于E 如果E的点都是内点,则称E为开集。例如,集合E1={(x,y<x2+y2<4}中每 个点都是E1的内点,因此E1为开集 如果点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点(点P本身可以属于E 也可以不属于E),则称P为E的边界点。E的边界点的全体称为E的边界。例如上例中, E1的边界是圆周x2+y2=1和x2+y2=4 设D是点集。如果对于D内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于
第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元 函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数 在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 1． 邻域 设 ( , ) 0 0 0 p x y 是 xoy 平面上的一个点， 是某一正数。与点 ( , ) 0 0 0 p x y 距离小于 的 点 p x y ( , ) 的全体，称为点 P0 的 邻域，记为 ( , ) U P0 ，即 ( , ) U P0 ={ } P PP0 ， 也就是 ( , ) U P0 = { (x, y) │ − + − 2 0 2 0 (x x ) (y y ) }。 在几何上， ( , ) U P0 就是 xoy 平面上以点 ( , ) 0 0 0 p x y 为中心、 0 为半径的圆内部 的点 P(x, y) 的全体。 2． 区域 设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点。如果存在点 P 的某一邻域 U(P) E ， 则称 P 为 E 的内点。显然， E 的内点属于 E 。 如果 E 的点都是内点，则称 E 为开集。例如，集合 {( , )1 4} 2 2 E1 = x y x + y 中每 个点都是 E 1 的内点，因此 E 1 为开集。 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点，也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于 E ， 也可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点。 E 的边界点的全体称为 E 的边界。例如上例中， E 1 的边界是圆周 1 2 2 x + y = 和 2 2 x + y =4。 设 D 是点集。如果对于 D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于
D,则称点集D是连通的 连通的开集称为区域或开区域。例如,{(xy)x+y>0及xy<x2+y2<4都 是区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集,称为闭区域,例如 (x,y)|x+y≥0}及{(x,y)|1≤x2+y2≤4} 都是闭区域。 对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得 ECU(O, r) 其中0是原点坐标,则称E为有界点集,否则称为无界点集。例如,{(x,y)|1≤x2+y2≤ 4}是有界闭区域,{(x,y)|x+y>0}是无界开区域 、多元函数概念 在很多自然现象以及实际问题中,经常遇到多个变量之间的依赖关系,举例如下: 例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系 h 这里,当r、h在集合{(,b)>0,h>0内取定一对值(r,b)时,V的对应值就随之确定。 例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系 RT 其中R为常数。这里,当V、T在集合{(,D>0,7>写}内取定一对值(,T)时,p的 对应值就随之确定 定义1设D是平面上的一个点集。称映射∫:D→R为定义在D上的二元函数,通 常记为 z=f(x,y),(x,y)∈D(或=f(P),P∈D)。 其中点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,二称为因变量。数集 2=f(x,y)(xy)∈D 称为该函数的值域
D，则称点集 D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如， {(x, y) x + y 0} 及 {( , )1 4} 2 2 x y x + y 都 是区域。 开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如 { (x, y) │ x + y ≥0}及{ (x, y) │1≤ 2 2 x + y ≤4} 都是闭区域。 对于平面点集 E ,如果存在某一正数 r ，使得 E U r (0, )， 其中 0 是原点坐标，则称 E 为有界点集，否则称为无界点集。例如，{ (x, y) │1≤ 2 2 x + y ≤ 4}是有界闭区域，{ (x, y) │ x + y >0}是无界开区域。 二、多元函数概念 在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下： 例 1 圆柱体的体积 V 和它的底半径 r 、高 h 之间具有关系 V r h 2 = 。 这里，当 r 、h 在集合 {(r,h)r 0,h 0} 内取定一对值 (r,h) 时， V 的对应值就随之确定。 例 2 一定量的理想气体的压强 p 、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系 p = V RT ， 其中 R 为常数。这里，当 V 、T 在集合 0 {( , ) 0, } V T V T T 内取定一对值 ( , ) V T 时， p 的 对应值就随之确定。 定义 1 设 D 是平面上的一个点集。称映射 f D R : → 为定义在 D 上的二元函数，通 常记为 z = f (x, y) ，( , ) x y D （或 z = f (P)， P D ）。 其中点集 D 称为该函数的定义域， x、y 称为自变量， z 称为因变量。数集 {z z = f (x, y),(x, y)D} 称为该函数的值域
二是x,y的函数也可记为z=z(x,y),二=0(x,y)等等。 类似地可以定义三元函数=f(x,y,=)以及三元以上的函数。一般的,把定义1中的 平面点集D换成n维空间内的点集D,则可类似地可以定义n元函数 l=f(x12x2,…,x)。n元函数也可简记为t=f(P),这里点P(x12x2…,xn)∈D。当 n=1时,n元函数就是一元函数。当n≥2时,n元函数就统称为多元函数。 关于多元函数定义域,与一元函数类似,我们作如下约定:在一般地讨论用算式表达 的多元函数u=f(x)时,就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函 数的自然定义域。例如,函数z=h(x+y)的定义域为 (x+y)x+y>0 (图8-1),就是一个无界开区域。又如,函数z= arcsin(x2+y2)的定义域为 i(x+y (图8-2),这是一个有界闭区域 图8-1-1 图8-1-2 设函数z=f(x,y)的定义域为D。对于任意取定的点P(x,y)∈D,对应的函数值为 =f(x,y)。这样,以x为横坐标、y为纵坐标、z=f(x,y)为竖坐标在空间就确定一点 M(x,y,z)。当(x,y)遍取D上的一切点时,得到一个空间点集 ((x,y, ===f(x,D),(,y)E) 这个点集称为二元函数z=f(x,y)的图形。通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。 三、多元函数的极限
z 是 x, y 的函数也可记为 z = z(x, y) ， z x y =( , ) 等等。 类似地可以定义三元函数 u = f (x, y,z) 以及三元以上的函数。一般的，把定义 1 中的 平 面 点 集 D 换 成 n 维 空 间 内 的 点 集 D ， 则 可 类 似 地 可 以 定 义 n 元函数 ( , , , ) 1 2 n u = f x x x 。 n 元函数也可简记为 u = f (P) ，这里点 P(x1 , x2 , , xn ) D 。当 n =1 时， n 元函数就是一元函数。当 n 2 时， n 元函数就统称为多元函数。 关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达 的多元函数 u f x = ( ) 时，就以使这个算式有意义的变元 x 的值所组成的点集为这个多元函 数的自然定义域。例如，函数 z = ln( x + y) 的定义域为 {(x + y) x + y 0} （图 8-1），就是一个无界开区域。又如，函数 arcsin( ) 2 2 z = x + y 的定义域为 {( ) 1} 2 2 x + y x + y （图 8-2），这是一个有界闭区域。 图 8-1-1 图 8-1-2 设函数 z = f (x, y) 的定义域为 D 。对于任意取定的点 P(x, y) D ，对应的函数值为 z = f (x, y) 。这样，以 x 为横坐标、 y 为纵坐标、 z = f (x, y) 为竖坐标在空间就确定一点 M (x, y,z) 。当 (x, y) 遍取 D 上的一切点时，得到一个空间点集 {(x, y,z)z = f (x, y),(x, y) D}， 这个点集称为二元函数 z = f (x, y) 的图形。通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。 三、多元函数的极限
定义2设二元函数f(x,y)的定义域为D,B(x0,y0)是D的聚点。如果存在常数A 对于任意给定的正数E,总存在正数,使得当点P(x,y)∈D∩U(P0,6)时,都有 (x,y)-A<成立,则称常数A为函数f(x,y)当(x,y)→(x,)时的极限,记作 lim f(x,y)=A (x,y)+(x0,%) 或∫(x,y)→>A((x,y)→(x0,y0)) 为了区别于一元函数的极限,我们把二元函数的极限叫做二重极限。 我们必须注意,所谓二重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋于P(x,y)时,函数 都无限接近于A。因此,如果P(x,y)以某一种特殊方式,例如沿着一条直线或定曲线趋于 (xy)时,即使函数无限接近于某一确定值,我们还不能由此断定函数的极限存在。但 是反过来,如果当P(x,y)以不同方式趋于B(x0,y)时,函数趋于不同的值,那么就可以 断定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。 考察函数 x x2+y2≠0 显然,当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,imf(x,y)=limf(x,0)=0;又 (x,y)→+(0,0) 当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时,limf(x,y)=limf(0,y)=0 虽然点P(x,y)以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限存在并且 相等但是Iimf(x,y)并不存在这是因为当点P(x,y)沿着直线y=kx趋于点(0,0) 时,有 =Im x→0 显然它是随着k的值的不同而改变的 例3求 lim sin(ry) (x,y)(0,2)x 解这里(x,y)=53的定义域为D={(xyx≠0y∈R,02)为D的
定义 2 设二元函数 f (x, y) 的定义域为 D ， ( , ) 0 0 0 P x y 是 D 的聚点。如果存在常数 A ， 对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当点 0 P x y D U P ( , ) ( , ) 时，都有 f (x, y) − A 成立，则称常数 A 为函数 f (x, y) 当 0 0 ( , ) ( , ) x y x y → 时的极限，记作 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y A → = ， 或 f (x, y) → A （ 0 0 ( , ) ( , ) x y x y → ）。 为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。 我们必须注意，所谓二重极限存在，是指 P(x, y) 以任何方式趋于 0 0 0 P x y ( , ) 时，函数 都无限接近于 A 。因此，如果 P(x, y) 以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于 0 0 0 P x y ( , ) 时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。但 是反过来，如果当 P(x, y) 以不同方式趋于 0 0 0 P x y ( , ) 时，函数趋于不同的值，那么就可以 断定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。 考察函数 + = + = + 0, 0, , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 显然，当点 P(x, y) 沿 x 轴趋于点 (0,0) 时， ( , ) (0,0) 0 0 lim ( , ) lim ( ,0) 0 x y x y f x y f x → → → = = ；又 当点 P(x, y) 沿 y 轴趋于点 (0,0) 时， ( , ) (0,0) 0 0 lim ( , ) lim (0, ) 0 x y y x f x y f y → → → = = 。 虽然点 P(x, y) 以上述两种特殊方式(沿 x 轴或沿 y 轴)趋于原点时函数的极限存在并且 相等,但是 ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → 并不存在.这是因为当点 P(x, y) 沿着直线 y = kx 趋于点 (0,0) 时,有 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 0 lim lim x y x 1 y kx xy kx k → → x y x k x k = = = + + + ， 显然它是随着 k 的值的不同而改变的. 例 3 求 ( , ) (0,2) sin( ) lim x y xy → x . 解 这里 x xy f x y sin( ) ( , ) = 的定义域为 D x y x y R = ( , ) 0, ， 0P (0,2) 为 D 的
聚点。由极限运算法则得 sin(xy) sin(xy) =lm limy=12=2。 四、多元函数的连续性 定义3设函数f(x,y)在开区域(闭区域)D内有定义,B(x0,y)是D聚点,且 P∈D。如果 lim f(x, y)=f (r,y)=o,o 则称函数∫(x,y)在点P(x0,y0)连续 如果函数∫(x,y)在开区域(或闭区域)D内的每一点连续,那么就称函数∫(x,y)在D 内连续,或者称f(x,y)是D内的连续函数 若函数f(x,y)在点B(x0,y0)不连续,则称P为函数f(x,y)的间断点。这里顺便指 出:如果在开区域(或闭区域)D内某些孤立点,或者沿D内某些曲线,函数∫(x,y)没 有定义,但在D内其余部分都有定义,那么这些孤立点或这些曲线上的点,都是函数f(x,y) 的不连续点,即间断点。 前面已经讨论过的函数 x2+y2≠0 f(x,y)=x+y 0, 当(x,y)→>(0,0)时的极限不存在,所以点(0,0)是该函数的一个间断点。二元函数的间断点 可以形成一条曲线,例如函数 sin 在圆周x2+y2=1上没有定义,所以该圆周上各点都是间断点。 与闭区域上一元连续函数的性质相类似,在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质 性质1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上一定有 最大值和最小值。这就是说,在D上至少有一点P及一点P2,使得f(B)为最大值而f(P2)
聚点。由极限运算法则得 ( , ) (0,2) 0 2 sin( ) sin( ) lim lim lim 1 2 2 x y xy y xy xy y → → → x xy = = = 。 四、多元函数的连续性 定义 3 设函数 f (x, y) 在开区域（闭区域） D 内有定义， ( , ) 0 0 0 P x y 是 D 聚点，且 P0 D 。如果 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y → = , 则称函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 连续。 如果函数 f (x, y) 在开区域（或闭区域） D 内的每一点连续，那么就称函数 f (x, y) 在 D 内连续，或者称 f (x, y) 是 D 内的连续函数。 若函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 不连续，则称 P0 为函数 f (x, y) 的间断点。这里顺便指 出：如果在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内某些曲线，函数 f (x, y) 没 有定义，但在 D 内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数 f (x, y) 的不连续点，即间断点。 前面已经讨论过的函数 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0, xy x y f x y x y x y + = + + = 当 ( , ) (0,0) x y → 时的极限不存在，所以点 (0,0) 是该函数的一个间断点。二元函数的间断点 可以形成一条曲线，例如函数 1 1 sin 2 2 + − = x y z 在圆周 1 2 2 x + y = 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。 与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。 性质 1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有 最大值和最小值。这就是说，在 D 上至少有一点 P1 及一点 P2 ，使得 ( ) P1 f 为最大值而 ( ) P2 f