为最小值,即对于一切P∈D,有 f(P2)≤f(P)≤f(P) 性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,必取得介于最大值和最小值 之间的任何值 切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区 域或闭区域。 由多元初等函数的连续性,如果要求它在点P处的极限,而该点又在此函数的定义区 域内,则极限值就是函数在该点的函数值,即 lm f(P)=f(Po) 例4求limx+y (x,y)→+(1,2) 解函数f(x,y)=xy是初等函数,它的定义域为D={(x,y)x≠0,y≠0} 因D不是连通的,故D不是区域。但D1={(x,y)x>0,y>0}是区域,且D1CD,所 以D是函数∫(x,y)的一个定义区域。因B(1,2)∈D1,故 Im x+y=f(1, 如果这里不引进区域D1,也可用下述方法判定函数f(x,y)在点P(2)处是连续的 因P是f(x,y)的定义域D的内点,故存在P的某一邻域U(P)cD,而任何邻域都是区 域,所以U(P0)是f(x,y)的一个定义区域,又由于f(x,y)是初等函数,因此f(x,y)在点 尸处连续 般地,求Imnf(P),如果f(P)是初等函数,且P是f(P)的定义域的内点,则f(P) 在点P处连续,于是mnf(P)=f(B)。 例5求lmyy+1-1
为最小值，即对于一切 P∈D, 有 ( ) ( ) ( ) 2 P1 f P f P f . 性质 2（介值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值 之间的任何值。 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区 域或闭区域。 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 P0 处的极限，而该点又在此函数的定义区 域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即 lim ( ) ( ) 0 0 f P f P P P = → . 例 4 求 ( , ) (1,2) lim x y x y → xy + . 解 函数 xy x y f x y + ( , ) = 是初等函数，它的定义域为 D ={(x, y) x 0, y 0}。 因 D 不是连通的，故 D 不是区域。但 {( , ) 0, 0} D1 = x y x y 是区域，且 D1 D ，所 以 D 是函数 f (x, y) 的一个定义区域。因 0 1 P (1,2) D , 故 ( , ) (1,2) 3 lim (1,2) x y 2 x y f → xy + = = . 如果这里不引进区域 D1 ，也可用下述方法判定函数 f (x, y) 在点 (1,2) P0 处是连续的： 因 P0 是 f (x, y) 的定义域 D 的内点，故存在 P0 的某一邻域 U(P0 ) D ，而任何邻域都是区 域，所以 ( ) U P0 是 f (x, y) 的一个定义区域，又由于 f (x, y) 是初等函数，因此 f (x, y) 在点 P0 处连续。 一般地，求 lim ( ) 0 f P P→P ，如果 f (P) 是初等函数，且 P0 是 f (P) 的定义域的内点，则 f (P) 在点 P0 处连续，于是 lim ( ) ( ) 0 0 f P f P P P = → 。 例 5 求 ( , ) (0,0) 1 1 lim x y xy → xy + −
解imy9+1-1 xy+1-1 lim √+1+1)(m0)y+1+12 小结 本节在一元函数的基础上,讨论多元函数的基本概念。讨论中我们以二元函数为主, 针对二元函数的极限及连续予以重点介绍。从二元函数到二元以上的多元函数则可 以类推 作业 作业卡p7-8
解 ( , ) (0,0) 1 1 lim x y xy → xy + − = ( , ) (0,0) 1 1 lim ( 1 1) x y xy → xy xy + − + + = ( , ) (0,0) 1 lim 1 1 x y → xy + + = 2 1 小结： 本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念。讨论中我们以二元函数为主， 针对二元函数的极限及连续予以重点介绍。从二元函数到二元以上的多元函数则可 以类推。 作业： 作业卡 p7-8
第二节偏导数 教学目的:学习偏导数的定义,学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。 教学重点:偏导数的定义,判断二元函数偏导数的存在性,计算二元、多元函数 的偏导数。 教学难点:判断二元函数偏导数的存在性,计算多元函数的偏导数。 教学内容 、导数的定义及其计算法 以二元函数=f(x,y)为例,如果只有自变量x变化,而自变量y固定(即看作常量), 这时它就是x的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于x的偏导数,即有 如下定义: 定义设函数=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在 x0处有增量Ax时,相应地函数有增量 f(xo +Ax, yo)-f(xo, yo) 如果 f(xo + Ax, yo)-f(xo, yo) AX 存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x,y)处对x的偏导数,记作 x|x或f1(xy0) x=xo x=xo 例如,极限(1)可以表示为 f1(x0,1)=(x+△x)-f(x23) 类似地,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为 lim /(xo, ]o+ Ay)-/(xo, yo) (3) y 记作 ,,x或f,(x0,y) 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导
第 二 节 偏导数 教学目的：学习偏导数的定义，学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。 教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，计算二元、多元函数 的偏导数。 教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。 教学内容： 一、 导数的定义及其计算法 以二元函数 z = f (x, y) 为例，如果只有自变量 x 变化，而自变量 y 固定（即看作常量）， 这时它就是 x 的一元函数，这函数对 x 的导数，就称为二元函数 z 对于 x 的偏导数，即有 如下定义： 定义 设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的某一邻域内有定义，当 y 固定在 0 y 而 x 在 0 x 处有增量 x 时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y , 如果 0 lim x→ x f x x y f x y ( + , ) − ( , ) 0 0 0 0 (1) 存在，则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处对 x 的偏导数，记作 0 0 y y x x x z = = , 0 0 y y x x x f = = , 0 0 y y x x x z = = 或 x f ( , ) 0 0 x y 例如，极限（1）可以表示为 0 0 0 ( , ) lim → = x x f x y x f x x y f x y ( + , ) − ( , ) 0 0 0 0 . (2) 类似地，函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数定义为 0 lim y→ y f x y y f x y ( , + ) − ( , ) 0 0 0 0 (3) 记作 0 0 y y y x x z = = , 0 0 y y y x x f = = , 0 0 y y x x y z = = 或 y f ( , ) 0 0 x y 如果函数 z = f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导
数就是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数,记作 或∫2(x,y) 类似地,可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数,记作 或J,(x,y) 偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数=f(x,y,z)在点 (x,y,二)处对x的偏导数定义为 f(x,y,==lim f(x0+Ax,y,=)-f(x,y,=) △x 其中(x,y,z)是函数u=f(x,y,=)的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分 法问题。 例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数 解把y看作常量,得 把x看作常量,得 y 将(1,2)代入上面的结果,就得 x=2·1+3·2=8 =2=31+22=7 例2求z=sn2y的偏导数。 O =l=2x- co 例3设z=x(x>0
数就是 x、y 的函数，它就称为函数 z = f (x, y) 对自变量 y 的偏导数，记作 x z , x f , x z 或 x f (x, y) 类似地，可以定义函数 z = f (x, y) 对自变量 y 的偏导数，记作 y z , y f , y z 或 y f (x, y) 偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数 u = f ( x, y,z ) 在点 ( x, y,z ) 处对 x 的偏导数定义为 x f x x y z f x y z f x y z x x + − = → ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 0 lim 其中 ( x, y,z )是函数 u = f (x, y,z) 的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分 法问题。 例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1, 2)处的偏导数。 解 把 y 看作常量，得 x y x z = 2 + 3 把 x 看作常量，得 x y y z = 3 + 2 将 (1, 2)代入上面的结果，就得 2 1 3 2 8 1 2 = + = = = x y x z ， 3 1 2 2 7 1 2 = + = = = x y y z 例2 求 z = sin 2y 的偏导数。 解 x y x z x y 2 sin 2 1 2 = = = , x y y z x y 2 cos 2 1 2 2 = = = 例 3 设 z = x (x 0 x 1) y ， ,求证：
x=+102=2 y ax In x ay 证因为a av-x'Inx 所以x2 +-xInx=x)+x=2z y x n x 例4求r=√x2+y2+2的偏导数 解把y和二都看作常量,得 ax x2+y2+22 r 由于所给函数关于自变量的对称性,所以 二元函数=f(x,y)在点(x0,y)的偏导数有下述几何意义。 设M0(x,y,f(x0,y)为曲面z=f(x,y)上的一点,过M0作平面y=y0,截此曲 面得一曲线,此曲线在平面y=y0上的方程为2=f(x,y0),则导数f(x,y0)l=x,即 偏导数∫2(x0,y0),就是这曲线在点M处的切线MTx对x轴的斜率。同样,偏导数 f(x0,y0)的几何意义是曲面被平面x=x0所截得的曲线在点M处的切线M。,对y轴 的斜率 我们已经知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续。但对于多元函 数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在 只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P时,函数值∫(P)趋于∫(P),但不能保证点 P按任何方式趋于P时,函数值∫(P)都趋于∫(P)。例如,函数 x,y)=1x+y21+ 0, x2+y2=0, 在点(0,0)对x的偏导数为
x z y x + ln x 1 z y z = 2 证 因为 −1 = y yx x z , x x y z y = ln , 所以 y x x z + ln x 1 y z = y−1 yx y x + x x x x z x y y y ln 2 ln 1 = + = 例 4 求 2 2 2 r = x + y + z 的偏导数。 解 把 y 和 z 都看作常量，得 x r = 2 2 2 x y z x + + = r x 由于所给函数关于自变量的对称性，所以 y r = r y , z r = r z . 二元函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的偏导数有下述几何意义。 设 ( , , ( , )) 0 0 0 0 0 M x y f x y 为曲面 z = f (x, y) 上的一点，过 M0 作平面 0 y = y ，截此曲 面得一曲线，此曲线在平面 0 y = y 上的方程为 ( , ) 0 z = f x y ，则导数 0 ( , ) | 0 x x f x y dx d = , 即 偏导数 ( , ) 0 0 f x y x ,就是这曲线在点 M0 处的切线 M0Tx 对 x 轴的斜率。同样，偏导数 ( , ) 0 0 f x y y 的几何意义是曲面被平面 0 x = x 所截得的曲线在点 M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴 的斜率。 我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续。但对于多元函 数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在 只能保证点 P 沿着平行于坐标轴的方向趋于 P0 时，函数值 f (P) 趋于 ( ) P0 f ,但不能保证点 P 按任何方式趋于 P0 时，函数值 f (P) 都趋于 ( ) P0 f 。例如，函数 + = + = = + 0, 0, , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y z f x y 在点（0，0）对 x 的偏导数为