第十一章无穷级数 无穷级数是数学分析的一个重要工具,本章首先讨论常数项级数,然后研究函数项级数, 最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题,我们只介绍两种最常用的级数展开式一一 泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式。 第一节常数项级数的概念和性质 教学目的:理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基 本性质及收敛的必要条件 教学重点:级数收敛与发散概念 教学难点:用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性问题 教学内容: 级数的概念 设已给数列 {xn u,,2, ul ,表达式l1+l2+l3+…+ln+…或记为 un,称为无穷级数,简称级数,其中u,叫做级数的通项或一般项 各项都是常数的级数叫做数项级数,如 等 n=i n! n=n(n+D) 各项是函数的级数,称为函数项级数,如∑x,∑温”等 作常数项级数的前n项的和Sn=1+l2+l3+…+un,Sn称为级数的部分和。从而 的一个新的序列:S1 S2=l1 u, +l +ll Sn=a1+l2+l2+…+ln2 定义如果级数∑un的部分和数列{Sn}有极限S,即mSn=S,则称级数∑un收 敛,这时极限S叫做这级数的和,记为∑Un=S 如果Sn}没有极限,则称级数∑ln发散。 此时称=S-Sn为级数第n项以后的余项。 例1证明等比级数(几何级数)a+mg+aq2+…+叫qm1+…(a≠0)当<1时收
第十一章 无穷级数 无穷级数是数学分析的一个重要工具，本章首先讨论常数项级数，然后研究函数项级数， 最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题，我们只介绍两种最常用的级数展开式—— 泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式。 第一节 常数项级数的概念和性质 教学目的：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基 本性质及收敛的必要条件 教学重点：级数收敛与发散概念 教学难点：用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性问题 教学内容： 一、级数的概念 设已给数列 un ：u1 ,u2 ,u3 , un , ，表达式 u1 + u2 + u3 ++ un + 或记为 n=1 n u ，称为无穷级数，简称级数，其中 n u 叫做级数的通项或一般项。 各项都是常数的级数叫做数项级数，如 =1 ! 1 n n ， =1 ( +1) 1 n n n 等。 各项是函数的级数，称为函数项级数，如 =1 2 n n n x ， =1 2 sin n n nx 等。 作常数项级数的前 n 项的和 Sn = u1 + u2 + u3 ++ un ， n S 称为级数的部分和。从而 的一个新的序列： S1 = u1 ， S2 = u1 + u2 ， S3 = u1 + u2 +u3 , ， Sn = u1 + u2 + u3 ++ un , 定义 如果级数 n=1 n u 的部分和数列 Sn 有极限 S ，即 Sn S n = → lim ，则称级数 n=1 n u 收 敛，这时极限 S 叫做这级数的和，记为 u S n n = =1 如果 Sn 没有极限，则称级数 n=1 n u 发散。 此时称 n S Sn r = − 为级数第 n 项以后的余项。 例 1 证明等比级数（几何级数） ( 0) 2 1 + + + + + − a aq aq aq a n 当 q 1 时收
敛,当≥1时发散 证明当q≠1时其前n项和Sn=a+++…+q-}=a.1-q” 若k<1,则lmq=0,于是lS=lmal=,,即当<1时等比级数 q 收敛,且其和为,。当{>1,则ml"=∞。n→∞时,Sn是无穷大量,级数发 散 若q=1,则级数成为a+a+a+…,于是Sn=ma,imSn=∞,级数发散 若q=-1,则级数成为a-a+a-a+…,当n为奇数时,Sn=a,而当n为偶数时, Sn=0。当n→>∞时,Sn无极限,所以级数也发散 例2证明级数 m=n(n+1) 证明 22·3 n(n+1) 0+1/=1-1 n+1 当n→∞时,Sn→>1。所以级数 二、收敛级数的基本性质 由级数收敛性定义,可得下面性质 性质1若级数∑u,收敛其和为S,又k为常数,则∑kun也收敛,且∑kun=k∑un (级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的收敛性不回改变。) 性质2若已知二收敛∑Un=s∑”n=a,则∑(un±vn)=S土 (两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减) 性质3改变级数的有限项的值不改变级数的敛散性 性质4收敛级数中的各项(按其原来的次序)任意合并(即加上括号)以后所成的新级 数仍然收敛,而且其和不变 推论一个级数如果添加括号后所成的新级数发散,那么原级数一定发散 注:例如∑(1-1)是收敛的,但级数1-1+1-1+1-1+…发散
敛，当 q 1 时发散。 证明 当 q 1 时其前 n 项和 q q S a aq aq aq a n n n − − = + + + + = − 1 2 1 1 若 q 1 ，则 lim = 0 → n n q ，于是 q a q q S a n n n n − = − − = → → 1 1 1 lim lim ，即当 q 1 时等比级数 收敛，且其和为 q a 1− 。当 q 1 ，则 = → n n lim q 。 n → 时， n S 是无穷大量，级数发 散。 若 q = 1 ，则级数成为 a + a + a + ，于是 = = → n n Sn na,lim S ，级数发散。 若 q = −1 ，则级数成为 a − a + a − a + ，当 n 为奇数时， Sn = a ，而当 n 为偶数时， Sn = 0 。当 n → 时， n S 无极限，所以级数也发散。 例 2 证明级数 = = 1 + 1 ( 1) 1 n n n 证明 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 + = − + + + − + − = − + + + + = n n n n n Sn ， 当 n → 时， Sn →1 。所以级数 = = 1 + 1 ( 1) 1 n n n 。 二、收敛级数的基本性质 由级数收敛性定义，可得下面性质： 性质 1 若级数 n=1 n u 收敛，其和为 S ，又 k 为常数，则 n=1 n ku 也收敛，且 = = = 1 n 1 n n kun k u （级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不回改变。） 性质 2 若已知二收敛 = = = =1 1 , n n n n u s v ，则 = = u v s n n n 1 ( ) （两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减） 性质 3 改变级数的有限项的值不改变级数的敛散性 性质 4 收敛级数中的各项（按其原来的次序）任意合并（即加上括号）以后所成的新级 数仍然收敛，而且其和不变。 推论 一个级数如果添加括号后所成的新级数发散，那么原级数一定发散。 注：例如 = − 1 (1 1) n 是收敛的，但级数 1−1+1−1+1−1+ 发散
级数收敛的必要条件 定理若级数∑n,收敛,则mnan=0 证明设∑un=S,即lmSn=S,则mSn1=S,所以 Im um=lims-S-i=lm S,-lim SI=S-S=0 n→① 推论若级数un的通项ln,当n→∞时不趋于零,则此级数必发散 注意:级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件,比如调和级数 它的一般项ln=-→O(n→∞),但是它是发散的 小结: 本节主要是依据级数的定义及其性质判别级数的敛散性。如 In- S 4-√3)+…+Vn+1 =√h+1-2→∞(n→∞) ∴级数发散 级数为∑ 2n3 S1+∑,分别为等比级数且q=23 ,原级数收敛 (3)+÷+3+ ~0(m→∞)∴原级数发散 作业: 作业卡p44-45
三、级数收敛的必要条件 定理 若级数 n=1 n u 收敛，则 lim = 0 → n n u 证明 设 u S n n = =1 ，即 Sn S n = → lim ，则 Sn S n − = → 1 lim ，所以 lim = lim ( − 1 ) = lim − lim −1 = − = 0 → → − → → u S S S Sn S S n n n n n n n n 推论 若级数 n=1 n u 的通项 n u ，当 n → 时不趋于零，则此级数必发散。 注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件，比如调和级数 , 1 3 1 2 1 1+ + ++ + n 它的一般项 0( ) 1 = → n → n un ，但是它是发散的。 小结： 本节主要是依据级数的定义及其性质判别级数的敛散性。如 (1) ( ) = + − 1 1 n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + − → ( → ) = + − = − + − + − + + + − = n n S k k n n n k n 1 2 1 2 1 3 2 4 3 1 1 ∴级数发散 (2) + + + + + + + + + n n 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 3 级数为 = = = = + + 1 1 1 3 1 2 1 3 1 2 1 n n n n n n n ，分别为等比级数且 3 1 , 2 1 q = ∴原级数收敛 (3) + + ++ n + 3 1 3 1 3 1 3 1 3 n un 3 1 = → 0 (n → ) ∴原级数发散 作业： 作业卡 p44-45
第二节常数项级数的审敛法 教学目的:掌握数项级数收敛性的判别方法 教学重点:正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,交错级数的莱布尼兹判 别法,绝对收敛与条件收敛的概念。 教学难点:任意项级数收敛性的判别方法 教学内容 正项级数及其审敛法 每项均为非负的级数称为正项级数 设级数a1+l2+l3+…+n+…是一个正项级数(un≥0),它的部分和数列Sn}显然 是一个单调增加数列:S1≤S2≤S3≤…≤Sn≤…,从而有 定理1正项级数∑n收敛→它的部分和数列Sn}有界。 推论:如果正项级数∑n发散,则它的部分和数列Sn→+(n→∞) 定理2(比较审敛法)已知二正项级数u1+l2+n3+…+ln+…(4) v1+v,+V2+…+v (1)若级数(A)收敛且对大于某个正整数的一切n,都有vn≤un则级数(B)也收敛: (2)若级数(4)发散且对大于某个正整数的一切n,都有vn≥un,则级数(B)也发散。 证明设A,和Bn分别表示级数(4)和(B)的前m项和 ()已知imAn=A存在,又因{An}个,故An≤A。根据级数基本性质3,不妨认为 在n≥1时vn≤un,因而∑v≤∑,即Bn≤A,故Bn≤An≤A,即{}有上界, 所以mB存在,即∑vn收敛 (2)用反证法,若∑vn收敛,则因已设ln≤vn,由(1)推知∑un收敛,与题设矛盾
第二节 常数项级数的审敛法 教学目的：掌握数项级数收敛性的判别方法 教学重点：正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，交错级数的莱布尼兹判 别法，绝对收敛与条件收敛的概念。 教学难点：任意项级数收敛性的判别方法 教学内容： 一、 正项级数及其审敛法 每项均为非负的级数称为正项级数 设级数 u1 + u2 + u3 ++ un + 是一个正项级数 ( 0) un ，它的部分和数列 Sn 显然 是一个单调增加数列： S1 S2 S3 Sn ，从而有 定理 1 正项级数 n=1 n u 收敛 它的部分和数列 Sn 有界。 推论：如果正项级数 n=1 n u 发散，则它的部分和数列 Sn → + (n → ) 定理 2（比较审敛法）已知二正项级数 u1 + u2 + u3 ++ un + (A) v v v v (B) 1 + 2 + 3 ++ n + ⑴ 若级数 (A) 收敛且对大于某个正整数的一切 n ，都有 n un v 则级数 (B) 也收敛； ⑵ 若级数 (A) 发散且对大于某个正整数的一切 n ，都有 n un v ，则级数 (B) 也发散。 证明 设 An 和 Bn 分别表示级数 (A) 和 (B) 的前 n 项和 ⑴ 已知 An A n = → lim 存在，又因 An ，故 An A 。根据级数基本性质 3，不妨认为 在 n 1 时 n un v ，因而 = = n k k n k vk u 1 1 ，即 Bn An ，故 Bn An A ，即 Bn 有上界， 所以 n n B → lim 存在，即 n=1 n v 收敛 ⑵ 用反证法，若 n=1 n v 收敛，则因已设 n n u v ，由⑴推知 n=1 n u 收敛，与题设矛盾
故∑v发散 推论设∑n和∑都是正项级数,如果级数∑收敛,且存在自然数N使得心N 时有n≤kn(k>0)成立,则级数∑un收敛:如果级数∑”发散,且当mN时有 n≥k(k>0)成立,则∑vn发散。 例1证明调和级数1+ +-+…是发散的 图11-2-1 证明由微分学可证得一个不等式x>h(1+x),当x>0时,(如图示) 由Sn=1+1+1+…+>h(+1)+hl1+5|+h|1+1+…+h|1+1 =h2+h+h+…+h々小zh/2.34n+ 3 4 ln(1+n)→>+∞(n +∞,所以调和级数发散 例2讨论p-级数1+++…+--+…的收敛性,其中常数p>0 解设p≤1,则≥1,但调和级数发散,由定理2可知,当P1时级数∑发 散
故 n=1 n v 发散。 推论 设 n=1 n u 和 n=1 n v 都是正项级数，如果级数 n=1 n v 收敛，且存在自然数 N，使得 nN 时有 u kv (k 0) n n 成立，则级数 n=1 n u 收敛；如果级数 n=1 n v 发散，且当 nN 时有 u kv (k 0) n n 成立，则 n=1 n u 发散。 例 1 证明调和级数 + + ++ + n 1 3 1 2 1 1 是发散的 图 11-2-1 证明 由微分学可证得一个不等式 x ln(1+ x) ，当 x 0 时，（如图示） 由 ( ) + + + + + = + + + + + + + n n Sn 1 ln 1 3 1 ln 1 2 1 ln 1 1 ln 1 1 3 1 2 1 1 ln(1 ) ( ) 1 3 4 2 3 ln 2 1 ln 3 4 ln 2 3 ln 2 ln = + → + → + = + = + + + + n n n n n n 即 = = + 1 1 n n ，所以调和级数发散。 例 2 讨论 p − 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 的收敛性，其中常数 p 0 解 设 p 1 ，则 n n p 1 1 ，但调和级数发散，由定理 2 可知，当 p 1 时级数 =1 1 n p n 发 散 y = ln(1+ x) y O x y = x